2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江西卷)文

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷1至2頁,第卷3至4頁,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.考生注意:1.答題前,考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.第卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.第卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.在試題卷上作答,答案無效.3.考試結(jié)束,監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第卷一、選擇題:本大題共

2、10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2013江西,文1)復(fù)數(shù)z=i(-2-i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在(). A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:D解析:z=i(-2-i)=1-2i,在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為(1,-2),在第四象限,故選D.2.(2013江西,文2)若集合A=xR|ax2+ax+1=0中只有一個(gè)元素,則a=().A.4B.2C.0D.0或4答案:A解析:當(dāng)a=0時(shí),顯然不成立;當(dāng)a0時(shí).由=a2-4a=0,得a=4.故選A.3.(2013江西,文3)若sin 2=33,則cos =A.-23B.

3、-13C.13答案:C解析:cos =1-2sin22=1-23324.(2013江西,文4)集合A=2,3,B=1,2,3,從A,B中各任意取一個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是().A.23B.12C.13答案:C解析:從A,B中各任取一個(gè)數(shù)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6種情況,其中兩個(gè)數(shù)之和為4的有(2,2),(3,1),故所求概率為26=135.(2013江西,文5)總體由編號為01,02,19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來的第5個(gè)

4、個(gè)體的編號為7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01答案:D解析:所取的5個(gè)個(gè)體依次為08,02,14,07,01.故選D.6.(2013江西,文6)下列選項(xiàng)中,使不等式x1x0,x2無解,解得x-1.故選A.7.(2013江西,文7)閱讀如下程序框圖,如果輸出i=4,那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是().A.S8B.S9C.S10D.S11答案:B解析:i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9,結(jié)束.所以填入的條件是“S0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋.(

5、1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值;(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解:(1)X的所有可能取值為-2,-1,0,1.(2)數(shù)量積為-2的有OA2OA5,數(shù)量積為-1的有OA1OA5,OA1OA6,OA數(shù)量積為0的有OA1OA3,OA1OA數(shù)量積為1的有OA1OA2,OA2OA故所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為p1=715因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜2=415,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-419.(2013江西,文19)(本小題滿分12分)如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=2,AA1=3,E為CD上一點(diǎn),DE=1,EC=3

6、.(1)證明:BE平面BB1C1C;(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離.(1)證明:過B作CD的垂線交CD于F,則BF=AD=2,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBFE中,BE=3.在RtCFB中,BC=6.在BEC中,因?yàn)锽E2+BC2=9=EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1,所以BE平面BB1C1C.(2)解:三棱錐EA1B1C1的體積V=13AA1S在RtA1D1C1中,A1C1=A1D1同理,EC1=EC2+CA1E=A1A2故SA1設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d,則三棱錐B1A1C1E的體積V=13dS從而5d=2,d=10520.(2013江西,文20

7、)(本小題滿分13分)橢圓C:x2a2+y2b2=1(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2m-k為定值.解:(1)因?yàn)閑=32所以a=23c,b=1代入a+b=3,得c=3,a=2,b=1.故橢圓C的方程為x24+y(2)方法一:因?yàn)锽(2,0),P不為橢圓頂點(diǎn),則直線BP的方程為y=k(x-2)k0代入x24+y2=1,解得P直線AD的方程為:y=12x+1.與聯(lián)立解得M4k+22k由D(0,1),P8k2-24k2+1,-4k4k2+1所以MN的斜率為

8、m=4k2k則2m-k=2k+12-k=12(定值方法二:設(shè)P(x0,y0)(x00,2),則k=y0直線AD的方程為:y=12(x+2直線BP的方程為:y=y0 x0直線DP的方程為:y-1=y0-1x0 x,令y=0,由于y0聯(lián)立y=解得M4y因此MN的斜率為m=4=4=4=y0所以2m-k=2=2=2=2=12(定值)21.(2013江西,文21)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=1ax,0 xa,1(1)當(dāng)a=12時(shí),求ff(2)若x0滿足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,則稱x0為f(x)的二階周期點(diǎn).證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),并求二階周期點(diǎn)x1,x2;(3)對

9、于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(a2,0),記ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間13,解:(1)當(dāng)a=12時(shí),f13=23,ff(2)f(f(x)=1當(dāng)0 xa2時(shí),由1a2x=x解得因?yàn)閒(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2xa時(shí),由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-因fa-a2故x=a-a2+a+1為f(當(dāng)axa2-a+1時(shí),由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-因f12-a故x=12-a不是f(x當(dāng)a2-a+1x1時(shí),由1a(1-a)(1-x)=x解得x=1-a2+a+1(a2故x=1-a2+a+1為f(因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),x1=a-a2+a+1,x(3)由(2)得Aa-B1-則S(a)=12a2(1-a)-a2因?yàn)閍13,12