2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(北京卷)文

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)(文科)第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.(2014北京,文1)若集合A=0,1,2,4,B=1,2,3,則AB=().A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.3答案:C解析:因為集合A,B中的公共元素為1,2,所以AB=1,2,應(yīng)選C.2.(2014北京,文2)下列函數(shù)中,定義域是R且為增函數(shù)的是().A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案:B解析:A項,函數(shù)y=e-x為R上的減函數(shù);B項,函數(shù)y=x3為R上的增函數(shù);C項,函

2、數(shù)y=ln x為(0,+)上的增函數(shù);D項,函數(shù)y=|x|在(-,0)上為減函數(shù),在(0,+)上為增函數(shù).故只有B項符合題意,應(yīng)選B.3.(2014北京,文3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a-b=().A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案:A解析:因為2a=(4,8),b=(-1,1),所以2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故選A.4.(2014北京,文4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為().A.1B.3C.7D.15答案:C解析:開始時k=0,S=0.第一次循環(huán),k=03,S=0+20=1,k=0+1=1,第二次循環(huán),k=13,S

3、=1+21=3,k=1+1=2,第三次循環(huán),k=23,S=3+22=7,k=3.此時不滿足條件kb”是“a2b2”的().A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:D解析:當(dāng)a=0,b=-1時,ab成立,但a2=0,b2=1,a2b2不成立,所以“ab”是“a2b2”的不充分條件.反之,當(dāng)a=-1,b=0時,a2=1,b2=0,即a2b2成立,但ab不成立,所以“ab”是“a2b2”的不必要條件.綜上,“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要條件,應(yīng)選D.6.(2014北京,文6)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)

4、間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案:C解析:由題意知f(1)=61-log21=60,f(2)=62-log22=3-1=20,f(4)=64-log24=32-2=-120.故f(2)f(4)0).若圓C上存在點P,使得APB=90,則m的最大值為().A.7B.6C.5D.4答案:B解析:因為A(-m,0),B(m,0)(m0),所以使APB=90的點P在以線段AB為直徑的圓上,該圓的圓心為O(0,0),半徑為m.而圓C的圓心為C(3,4),半徑為1.由題意知點P在圓C上,故兩圓有公共點.所以兩圓的位置關(guān)系為外切、相交或內(nèi)切,故m-1|CO|m+1,即m-

5、15m+1,解得4m6.所以m的最大值為6.故選B.8.(2014北京,文8)加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),右圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為().A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘答案:B解析:由題中圖象可知點(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函數(shù)圖象上,因此有0解得a故p=-0.2t2+1.5t-2,其對稱軸方程為t=-1.52(-所以當(dāng)t=3.75時,p取得最大值

6、.故選B.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2014北京,文9)若(x+i)i=-1+2i(xR),則x=.答案:2解析:由已知得xi+i2=-1+2i,即xi=2i,解得x=2.10.(2014北京,文10)設(shè)雙曲線C的兩個焦點為(-2,0),(2,0),一個頂點是(1,0),則C的方程為.答案:x2-y2=1解析:由題意知雙曲線的焦點在x軸上,且c=2,設(shè)其方程為x2a2-y2b2=又由頂點為(1,0)知a=1,所以b=c2-a故所求雙曲線的方程為x2-y2=1.11.(2014北京,文11)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長棱的棱長為.答

7、案:22解析:由題中三視圖可知,三棱錐的直觀圖如圖所示,其中PA平面ABC,M為AC的中點,且BMAC.故該三棱錐的最長棱為PC.在RtPAC中,PC=PA2+AC12.(2014北京,文12)在ABC中,a=1,b=2,cos C=14,則c=;sin A=答案:215解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-21214=4,故c=2所以cos A=b2故sin A=1-13.(2014北京,文13)若x,y滿足y1,x-y-答案:1解析:如圖,作出不等式組表示的平面區(qū)域(陰影部分所示),目標(biāo)函數(shù)z=3x+y可化為y=-3x+z,作出直線l0:y=-3x并平移.因為k

8、AB=-1-3,所以當(dāng)直線過點A時,z取得最小值.由x解得A(0,1),所以z的最小值為z=30+1=1.14.(2014北京,文14)顧客請一位工藝師把A,B兩件玉石原料各制成一件工藝品.工藝師帶一位徒弟完成這項任務(wù).每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工藝師進行精加工完成制作,兩件工藝品都完成后交付顧客.兩件原料每道工序所需時間(單位:工作日)如下:工序時間原料粗加工精加工原料A915原料B621則最短交貨期為個工作日.答案:42解析:最短交貨期為先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工藝師加工該件工藝品,需21天;徒弟可在這幾天中完成原料A的粗加工;最后由工藝師完成原料A的精加工,需15

9、個工作日.故交貨期為6+21+15=42個工作日.三、解答題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15.(本小題滿分13分)(2014北京,文15)已知an是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列bn滿足b1=4,b4=20,且bn-an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式;(2)求數(shù)列bn的前n項和.分析:(1)先由等差數(shù)列an中的a1,a4求出公差d,即可求其通項an,然后根據(jù)b1,b4的值及bn-an為等比數(shù)列,從而求出該數(shù)列的第1項和第4項,得出其公比,從而寫出其通項公式,即可求得bn的通項.(2)根據(jù)bn的通項公式的結(jié)構(gòu)特征即可利用分組求和的方法求得b

10、n的前n項和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d=a4-a所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).設(shè)等比數(shù)列bn-an的公比為q,由題意得q3=b4-a4b1-所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.從而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).數(shù)列3n的前n項和為32n(n+1),數(shù)列2n-1的前n項和為11-2n1-所以,數(shù)列bn的前n項和為32n(n+1)+2n-116.(本小題滿分13分)(2014北京,文16)函數(shù)f(x)=3sin2x+(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0,y0的值;(2)求f(

11、x)在區(qū)間-2分析:(1)首先利用公式求得f(x)=3sin2x+6的最小正周期,然后根據(jù)圖形確定y0,即f(x)的最大值,再根據(jù)(2)先根據(jù)x的范圍確定2x+6的范圍,進而求得f(x)的最值解:(1)f(x)的最小正周期為.x0=76,y0=(2)因為x-所以2x+6于是,當(dāng)2x+6=0即x=-12時,f(x)取得最大值0當(dāng)2x+6=-2,即x=-3時,f(x)取得最小值17.(本小題滿分14分)(2014北京,文17)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點.(1)求證:平面ABE平面B1BCC1;(2)求

12、證:C1F平面ABE;(3)求三棱錐E-ABC的體積.分析:(1)首先利用側(cè)棱垂直于底面得到BB1AB,然后結(jié)合已知即可證得AB平面BCC1B1,最后利用面面垂直的判定定理即得結(jié)論.(2)取AB的中點G,然后利用三棱柱的性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)可得GFEC1,進而轉(zhuǎn)化為C1FEG,最后利用線面平行的判定定理證得結(jié)論.(3)先求出ABC的三邊長,由已知可得該三棱錐的高等于AA1,然后代入錐體體積公式即得結(jié)果.(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB.又因為ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)證明:取AB的中點G,連接EG,F

13、G.因為E,F分別是A1C1,BC的中點,所以FGAC,且FG=12因為ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形.所以C1FEG.又因為EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)解:因為AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=AC所以三棱錐E-ABC的體積V=13SABCAA1=1312318.(本小題滿分13分)(2014北京,文18)從某校隨機抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746

14、,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合計100(1)從該校隨機選取一名學(xué)生,試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫出結(jié)論)分析:(1)直接根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)事件的頻數(shù),然后代入頻率公式求值.(2)先根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率,然后根據(jù)頻率分布直方圖中縱軸表示頻率組距即可求出a,b的值(3)根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的分布情況即可估計平均數(shù)所在位置

15、.解:(1)根據(jù)頻數(shù)分布表,100名學(xué)生中課外閱讀時間不少于12小時的學(xué)生共有6+2+2=10名,所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時間少于12小時的頻率是1-10100=0.9從該校隨機選取一名學(xué)生,估計其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組4,6)的有17人,頻率為0.17,所以a=頻率組距=0.17課外閱讀時間落在組8,10)的有25人,頻率為0.25,所以b=頻率組距=0.25(3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.19.(本小題滿分14分)(2014北京,文19)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點.若點A在直線y=

16、2上,點B在橢圓C上,且OAOB,求線段AB長度的最小值.分析:(1)先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,分別求出a,c,即可求其離心率e.(2)分別設(shè)出A,B兩點的坐標(biāo),先利用OAOB求出兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后用相應(yīng)坐標(biāo)表示出|AB|2,代入坐標(biāo)之間的關(guān)系,根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征求其最值.解:(1)由題意,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故橢圓C的離心率e=ca(2)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x00.因為OAOB,所以O(shè)AOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y又x02+2y0所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0 x02=x02=x02=x022+8x02+4因為x022+