2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(安徽卷)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.全卷滿分150分,考試時間120分鐘.參考公式:如果事件A與B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A與B相互獨立,那么P(AB)=P(A)P(B)第卷(選擇題共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014安徽,理1)設(shè)i是虛數(shù)單位,z表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z=1+i,則zi+iz=()A.-2B.-2iC.2D.2i答案:C解析:原式=1+ii+i(1-i)=-i+1+i+1=22.(201

2、4安徽,理2)“x0”是“l(fā)n(x+1)0”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:B解析:由ln(x+1)0得-1x50,故輸出55.4.(2014安徽,理4)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程是x=t+1,y=t-3(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是=4cos ,A.14B.214C.2D.22答案:D解析:由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=2,故弦長=2r2-d25.(2014安徽,理5)x,y滿足約

3、束條件x+y-20,x-2y-A.12或-1B.2或C.2或1D.2或-1答案:D解析:畫出x,y約束條件限定的可行域,如圖陰影區(qū)域所示,由z=y-ax得y=ax+z,當(dāng)直線y=ax與直線2x-y+2=0或直線x+y-2=0平行時,符合題意,則a=2或-1.6.(2014安徽,理6)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x+)=f(x)+sin x.當(dāng)0 x-a2,即a2時f(x)=-其圖象如圖所示,則fmin(x)=f-a2=-a2+1+|-a+a|=3,解得a=8當(dāng)-1-a2,即a2時f(x)=-其圖象如圖所示,則fmin(x)=f-a2=-a2+1+|-a+a|=3,解得a=-4當(dāng)-1=-a2,

4、即a=2時,f(x)=3|x+1|0,不符合題意綜上所述,a=-4或8.10.(2014安徽,理10)在平面直角坐標系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,點Q滿足OQ=2(a+b).曲線C=P|OP=acos +bsin ,02,區(qū)域=P|0r|PQ|R,rR.若C為兩段分離的曲線,則(A.1rR3B.1r3RC.r1R3D.1r3R答案:A解析:由于|a|=|b|=1,ab=0,所以|OQ|=|2(a+b)|=2|a|2+|b|2+2a又|OP|=|acos +bsin |=(=|a|因此曲線C是以原點為圓心,半徑等于1的圓.又區(qū)域=P|0r|PQ|R,rR,所以區(qū)域是以

5、點Q為圓心,半徑分別為r和R的兩個圓之間的圓環(huán),由圖形可知,要使曲線C與該圓環(huán)的公共部分是兩段分離的曲線,應(yīng)有1rR3.第卷(非選擇題共100分)考生注意事項:請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.(2014安徽,理11)若將函數(shù)f(x)=sin2x+4的圖象向右平移個單位,所得圖象關(guān)于y軸對稱,則答案:3解析:把函數(shù)f(x)=sin2x+4的圖象向右平移個單位,得到f(x)=sin2(由于f(x)=sin2x-2+4的圖象關(guān)于y軸對稱,所以-2+4=k即=-k2-8當(dāng)k=-1時,的最

6、小正值是312.(2014安徽,理12)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.答案:1解析:設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a1=a3-2d,a5=a3+2d,由題意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,d=-1,則a1+1=a3+3,故q=1.13.(2014安徽,理13)設(shè)a0,n是大于1的自然數(shù),1+xan的展開式為a0+a1x+a2x2+anxn.若點Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則答案:3解析:由題意得a1=1aCn1n=3a;a2=1a2

7、Cn2-n=8a2.將n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).a=3.14.(2014安徽,理14)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0b4|a|,則Smin0若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,則a與b的夾角為答案:解析:S有3種結(jié)果:S1=a2+a2+b2+b2+b2,S2=a2+ab+ab+b2+b2,S3=ab+ab+ab+ab+b2,錯誤.S1-S2=S2-S3=a2+b2-2aba2+b2-2|a|b|=(|a|-|b|)20,S中最小為S3.若ab,則Smin=S3=b2與|a|無關(guān),正確.若ab,則Sm

8、in=S3=4ab+b2與|b|有關(guān),錯誤.若|b|4|a|,則Smin=S3=4|a|b|cos +b2-4|a|b|+b2-|b|2+b2=0,正確.若|b|=2|a|,則Smin=S3=8|a|2cos +4|a|2=8|a|2,2cos =1.=3,錯誤三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).16.(本小題滿分12分)(2014安徽,理16)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a值;(2)求sinA+分析:(1)通過觀察給出的條件及求解的問題,先將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系

9、.首先由A=2B,得sin A=sin 2B,再由倍角公式將2B的三角函數(shù)化為B的三角函數(shù),再由正弦定理、余弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系進行求解.(2)由(1)知三邊都已確定,先由余弦定理求出cos A的值,再利用平方關(guān)系求出sin A的值,最后利用兩角和的正弦公式求解.解:(1)因為A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正弦定理、余弦定理得a=2ba2因為b=3,c=1,所以a2=12,a=23.(2)由余弦定理得cos A=b2+c由于0A0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0,1時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)

10、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,先求導(dǎo),再令其等于0,求出導(dǎo)函數(shù)的零點,即為相應(yīng)的極值點,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的開口方向從而得出導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的正負,從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)討論極值點x2在不在區(qū)間0,1內(nèi)是問題的關(guān)鍵,要通過分類討論,得出函數(shù)f(x)在0,1上的變化趨勢,從而得出f(x)在0,1上的最值情況.若函數(shù)f(x)在0,1上有單調(diào)性,那么f(x)的最值就在區(qū)間的端點處取得.若f(x)在0,1上單調(diào)遞增,那么f(x)在x=0處取得最小值,在x=1處取得最大值.若f(x)在0,1上單調(diào)遞減,那么f(x)在x=0處取得最大值,在x=1處取得最小值.若函數(shù)f(x)在0,1上不單調(diào),就要看能不能把區(qū)間0

11、,1再細分成幾部分,通過討論函數(shù)f(x)在每一部分的單調(diào)性確定其在整個區(qū)間上的最值情況.特別要注意的是函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值要比較大小,以確定哪一個才是最值.解:(1)f(x)的定義域為(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).當(dāng)xx2時,f(x)0;當(dāng)x1x0.故f(x)在(-,x1)和(x2,+)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)因為a0,所以x10.當(dāng)a4時,x21.由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.當(dāng)0a4時,x2

12、1.由(1)知,f(x)在0,x2上單調(diào)遞增,在x2,1上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=x2=-1+4+3又f(0)=1,f(1)=a,所以當(dāng)0a1時,f(x)在x=1處取得最小值;當(dāng)a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;當(dāng)1a0)和E2:y2=2p2x(p20),過原點O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點,l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點.(1)證明:A1B1A2B2;(2)過O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點.記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2,求S1S分析:(1)先將直線l1,l2的方程設(shè)出來,再分

13、別與拋物線y2=2p1x和y2=2p2x聯(lián)立求出A1與A2的坐標,同理再求得B1,B2的坐標,利用向量這一工具,把A1B1與A2B2的坐標求出,由向量共線(平行)條件知A1(2)由(1)中的結(jié)論,得出B1C1B2C2,C1A1C2A2,進而得出A1B1C1A2B2C2,以及A1B1C1與A2B2C2的相似比,再由相似三角形的面積比等于相似比的平方從而求解.(1)證明:設(shè)直線l1,l2的方程分別為y=k1x,y=k2x(k1,k20),則由y=k1x,由y=k1x,同理可得B12p1k22所以A=2p11kA=2p21k故A1所以A1B1A2B2.(2)解:由(1)知A1B1A2B2,同理可得B

14、1C1B2C2,C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此S1又由(1)中的A1故S120.(本小題滿分13分)(2014安徽,理20)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A底面ABCD.四邊形ABCD為梯形,ADBC,且AD=2BC.過A1,C,D三點的平面記為,BB1與的交點為Q.(1)證明:Q為BB1的中點;(2)求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比;(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,求平面與底面ABCD所成二面角的大小.分析:(1)由面面平行判定定理結(jié)合題目中的條件,推出平面QBC平面A1AD,再由面面平行的性質(zhì)定理推出QCA1D,再結(jié)合另

15、外兩組對邊也對應(yīng)平行可知QBCA1AD,從而得出Q為BB1的中點.(2)先分別求出VQ-A1AD與VQ-ABCD,則V下便為兩者之和,再由V上=VA1B1C(3)用一般方法找出二面角的平面角為本題關(guān)鍵所在,通過相關(guān)運算求得此平面角的某個三角函數(shù)值,從而得出該平面角.還可借助于空間向量這一工具,建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?寫出相應(yīng)點的坐標,進而求出兩個平面的法向量,利用兩個法向量與二面角的平面角的關(guān)系求出平面角.(1)證明:因為BQAA1,BCAD,BCBQ=B,ADAA1=A,所以平面QBC平面A1AD.從而平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行,即QCA1D.故QBC與A1AD的對應(yīng)邊相互平行,于是Q

16、BCA1AD.所以BQBB1=BQAA1圖1(2)解:如圖1,連接QA,QD.設(shè)AA1=h,梯形ABCD的高為d,四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為V上和V下,BC=a,則AD=2a.VQ-A1AD=1312VQ-ABCD=13a+2a2d所以V下=VQ-A1AD+V又VA1所以V上=VA1=32ahd-7=1112故V上(3)解法一:如圖1,在ADC中,作AEDC,垂足為E,連接A1E.又DEAA1,且AA1AE=A,所以DE平面AEA1,于是DEA1E.所以AEA1為平面與底面ABCD所成二面角的平面角.因為BCAD,AD=2BC,所以SADC=2SBCA.又因為梯形ABCD的面積為

17、6,DC=2,所以SADC=4,AE=4.于是tanAEA1=AA1AE=1,AEA1故平面與底面ABCD所成二面角的大小為4圖2解法二:如圖2,以D為原點,DA,DD1分別為x設(shè)CDA=.因為SABCD=a+2a22sin 所以a=2sin從而C(2cos ,2sin ,0),A14sin所以DC=(2cos ,2sin ,0),DA設(shè)平面A1DC的法向量n=(x,y,1).由DA1n=4sinx+4=0,又因為平面ABCD的法向量m=(0,0,1),所以cos=n故平面與底面ABCD所成二面角的大小為421.(本小題滿分13分)(2014安徽,理21)設(shè)實數(shù)c0,整數(shù)p1,nN*.(1)證

18、明:當(dāng)x-1且x0時,(1+x)p1+px;(2)數(shù)列an滿足a1c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p分析:(1)考慮到欲證不等式與正整數(shù)p有關(guān),因此可采用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)有兩種思路.一種思路是先用數(shù)學(xué)歸納法證明anc1p,再證明數(shù)列an是遞減數(shù)列,二者結(jié)合即可證得結(jié)論,其中在證anc1p時,要注意第(1)問結(jié)論的應(yīng)用和第(2)問中所給條件式的變形及應(yīng)用;另一種思路是構(gòu)造函數(shù)f(x)=p-1px+cpx1-p,然后利用導(dǎo)數(shù)證得f(x)在c1p,+)上單調(diào)遞增,從而可得f(x)c1(1)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)p=2時,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假設(shè)p=k(k2,kN*)時,不等式(1+x)k1+kx成立.當(dāng)p=k+1時,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以p=k+1時,原不等式也成立.綜合可得,當(dāng)x-1,x0時,對一切整數(shù)p1,不等式(1+x)p1+px均成立.(2)證法一:先用數(shù)學(xué)歸納法證明anc1當(dāng)n=1時,由題設(shè)a1c1p知anc假設(shè)n=k(k1,kN*)時,不等式akc1p由an+1=p-1pan+cpan1-p易知a當(dāng)n=k+1時,a=1+1p由akc1p0得-1c,即ak+1所以n=k+1時,不等式anc1p綜合可得,對一切正整數(shù)