2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(陜西卷)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試陜西文科數(shù)學一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求(本大題共12小題,每小題5分,共60分).1.(2015陜西,文1)設集合M=x|x2=x,N=x|lg x0,則MN=()A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,1答案:A解析:M=0,1,N=x|00)的準線經(jīng)過點(-1,1),則該拋物線焦點坐標為()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案:B解析:由題意知,該拋物線的準線方程為x=-1,則其焦點坐標為(1,0).4.(2015陜西,文4)設f(x)=1-x,x0,2x,x0A.-1B.14C.12答案

2、:C解析:f(f(-2)=f14=1-14=5.(2015陜西,文5)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3B.4C.2+4D.3+4答案:D解析:由三視圖知,該幾何體為半圓柱,故其表面積為S側(cè)+S上底+S下底=(+2)2+=3+4.6.(2015陜西,文6)“sin =cos ”是“cos 2=0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:cos 2=cos2-sin2=(cos +sin )(cos -sin ),cos 2=0cos =-sin 或cos =sin ,故選A.7.(2015陜西,文7)根據(jù)右邊框圖,

3、當輸入x為6時,輸出的y=()A.1B.2C.5D.10答案:D解析:由程序框圖可得流程如下:x=6x=3x=0 x=-3y=(-3)2+1=10.8.(2015陜西,文8)對任意平面向量a,b,下列關系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:當a與b為非零向量且反向時,B顯然錯誤.9.(2015陜西,文9)設f(x)=x-sin x,則f(x)()A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C.是有零點的減函數(shù)D.是沒有零點的奇函數(shù)答案:B解析:當x=0時,f(x)=0,f(x)存在

4、零點.f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),且f(x)=1-cos x0,f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù).10.(2015陜西,文10)設f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b),A.q=rpC.p=rq答案:C解析:f(x)=ln x,p=f(ab)=lnab=12(ln a+ln b)又0alnab,即qr11.(2015陜西,文11)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利

5、潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元答案:D解析:設該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩產(chǎn)品分別為x噸、y噸,由題意知,x,y需滿足約束條件3x+2y12,由約束條件畫出可行域,如圖所示,l0:y=-34x,平移l0得點C,使z取得最大值由3x+2y=12,x+2y=8,得C(2,3),故zmax12.(2015陜西,文12)設復數(shù)z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,則yx的概率為()A.34+12B.C.14-12D.答案:C解析:|z|=(x-1(x-1)2+y21,其幾何意義表示為以(1,0)為圓心,1為半徑的圓面,如圖所示,而y

6、x所表示的區(qū)域如圖中陰影部分,故P=4-12二、填空題:把答案填寫在答題卡相應題號后的橫線上(本大題共4小題,每小題5分,共20分).13.(2015陜西,文13)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2 015,則該數(shù)列的首項為.答案:5解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+an2=1 010,故a1=2 02014.(2015陜西,文14)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin6x+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m答案:8解析:由題中圖象知,ymin=2=-3+k,k=5.函數(shù)解析式為y=3sin6x+5,故y15.(2015陜西,文15)函數(shù)y=x

7、ex在其極值點處的切線方程為.答案:y=-1解析:令y=(x+1)ex=0,得x=-1,則切點為-1,-1e.函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0,即切線斜率為0,16.(2015陜西,文16)觀察下列等式1-12=1-12+13-14=1-12+13-14+15-16=據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為.答案:1-12+13-14+12n-1-12解析:經(jīng)觀察知,第n個等式的左側(cè)是數(shù)列(-1)n-11n的前2n項和,而右側(cè)是數(shù)列1n的第n+1項到第2n項的和,故為1-12+13-14+三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6小題,共70分).17.(本小題滿分12分)(2015陜西,文17)

8、ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面積.解:(1)因為mn,所以asin B-3bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0.又sin B0,從而tan A=3.由于0A0,所以c=3.故ABC的面積為12bcsin A=3解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,從而又由ab,知AB,所以cos B=27故sin C=sin(A+B)=sinB=sin Bcos3+cos Bsin3=所以ABC的面積為12absin C=318.(本小

9、題滿分12分)(2015陜西,文18)如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置,得到四棱錐A圖圖(1)證明:CD平面A1OC;(2)當平面A1BE平面BCDE時,四棱錐A1-BCDE的體積為362,求a的值.(1)證明:在題圖中,因為AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,BAD=2,所以BE即在題圖中,BEA1O,BEOC,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,

10、所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖知,A1O=22AB=22a,平行四邊形BCDE的面積S=BCAB=a從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=36219.(本小題滿分12分)(2015陜西,文19)隨機抽取一個年份,對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率;(2)西安市某學校擬從

11、4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率.解:(1)在容量為30的樣本中,不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計概率,4月份任選一天,西安市不下雨的概率為1315(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如,1日與2日,2日與3日等).這樣,在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對有16個,其中后一天不下雨的有14個,所以晴天的次日不下雨的頻率為78.以頻率估計概率,運動會期間不下雨的概率為720.(本小題滿分12分)(2015陜西,文20)如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)經(jīng)過點A(0,(1)求橢圓E的方程;(2)經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的

12、兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.解:(1)由題設知ca=22,b=結(jié)合a2=b2+c2,解得a=2.所以橢圓的方程為x22+y2=(2)由題設知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=由已知0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,則x1+x2=4k(k-1)1+2k從而直線AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=y1+1=kx1=2k+(2-k)1x1+1x2=2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-21.(本小題滿分12分)(2015陜西,文21)設fn(x)=x

13、+x2+xn-1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)證明:fn(x)在0,23內(nèi)有且僅有一個零點(記為an),且0an-1(1)解法一:由題設fn(x)=1+2x+nxn-1.所以fn(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1,則2fn(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n.-得,-fn(2)=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n所以fn(2)=(n-1)2n+1.解法二:當x1時,fn(x)=x-xn則fn(x)=(1可得fn(2)=-(1-(n+1)2n)+2-(2)證明:因為f(0)=-10,所以fn(x)在0,2因此fn(x)在0,2

14、3內(nèi)有且僅有一個零點由于fn(x)=x-xn所以0=fn(an)=an-a由此可得an=12+12a故12an2所以0an-12=12ann+1考生注意:請在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑.22.(本小題滿分10分)(2015陜西,文22)選修41:幾何證明選講如圖,AB切O于點B,直線AO交O于D,E兩點,BCDE,垂足為C.(1)證明:CBD=DBA;(2)若AD=3DC,BC=2,求O的直徑.(1)證明:因為DE為O直徑,則BED+EDB=90.又BCDE,所以CBD+EDB=90.從而CBD=B

15、ED.又AB切O于點B,得DBA=BED,所以CBD=DBA.(2)解:由(1)知BD平分CBA,則BABC=ADCD=又BC=2,從而AB=32.所以AC=AB2-BC2=由切割線定理得AB2=ADAE,即AE=AB2AD故DE=AE-AD=3,即O直徑為3.23.(本小題滿分10分)(2015陜西,文23)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12t,y=32t(t為參數(shù)),以原點為極點,x(1)寫出C的直角坐標方程;(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.解:(1)由=23sin ,得2=23sin ,從而有x2+y2=23y,所以x2+