2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國卷2)

1、絕密 啟用前試卷類型:A2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷2,理)本試卷共23題,共150分,共5頁?？荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字跡工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折疊、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題

2、:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.1+2iA.-45-35iB.C.-35-45iD2.已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,則A中元素的個(gè)數(shù)為A.9B.8C.5D.43.函數(shù)f(x)=ex4.已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=A.4B.3C.2D.05.雙曲線x2a2-y2b2=1(a0A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=36.在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=A.42B.30C.29D.27.為計(jì)算S=1-12+13-14+A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D

3、.i=i+48.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是A.112BC.1159.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為A.15BC.5510.若f(x)=cos x-sin x在-a,a是減函數(shù),則a的最大值是A.4BC.3411.已知f(x)是定義域?yàn)?-,+)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=A.

4、-50B.0C.2D.5012.已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上,PF1F2為等腰三角形,FA.23B.12二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.14.若x,y滿足約束條件x+2y-50,x15.已知sin +cos =1,cos +sin =0,則sin(+)=.16.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45.若SAB的面積為515.則該圓錐的側(cè)面積為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

5、程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答,第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.18.(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為

6、1,2,7)建立模型:y=99+17.5t(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.19.(12分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.20.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1)證明:PO平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)

7、=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當(dāng)x0時(shí),f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cos,y=4sin(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.23.選修4-5:不等式選講(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范圍.

8、數(shù)學(xué)(全國卷2,理)1.D1+2i1-2i=2.A當(dāng)x=-1時(shí),y=0或y=1或y=-1,當(dāng)x=0時(shí),y=1或y=-1或y=0,當(dāng)x=1時(shí),y=0或y=1或y=-1.故集合A中共有9個(gè)元素.3.Bf(-x)=e-x-exx2=-f(x),f(x)為奇函數(shù),排除A,令x=10,則f(10)=e10-1e4.Ba(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.5.Ae=ca=3,c2a2=b雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=bax,漸近線方程為y=2x6.Acos C=2cos2C2-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+21535AB=42.7.B由于N=0,T=0

9、,i=1,N=0+11=1,T=0+11+1=12,i=3,N=1+13,T=12+14,i=5最后輸出S=N-T=1-12+18.C不超過30的素?cái)?shù)有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10個(gè).其中和為30的有7+23,11+19,13+17共3種情況,故P=3C9.C以DA,DC,DD1為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3).AD1=(-1,0,3),DB1=(1,1,3).設(shè)異面直線AD1與DB1所成的角為.cos =AD1DB1|10.Af(x)=2cos x+4,圖象如圖所示,要使f(x)在-a,a

10、為減函數(shù),a11.Cf(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期為4.f(x)為奇函數(shù),f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.12.DA(-a,0),PF1F2為等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.過點(diǎn)P作PEx軸,F1F2P=120,PF2E=60.F2E=c,PE=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所

11、在直線方程為y=36(x+a3c=36(2c+a).e=c13.y=2xy=2x+1,當(dāng)x=0時(shí),y=曲線在(0,0)處的切線方程為y=2x.14.9由題意,作出可行域如圖.要使z=x+y取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)(5,4)時(shí),zmax=9.15.-12(sin +cos )2+(cos +sin )2=1,sin2+cos2+cos2+sin2+2sin cos +2sin cos =1+1+2sin(+)=1.sin(+)=-116.402設(shè)O為底面圓圓心,cosASB=78,sinASB=1-782=158.SASB=12SA2=80.SA=45.SA與圓錐底面所成的角為45,SOA=90

12、.SO=OA=22SA=210S圓錐側(cè)=rl=45210=402.17.解 (1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通項(xiàng)公式為an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.18.解 (1)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=-30.4+13.519=226.1(億元)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=99+17.59=256.5(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)

13、據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠(ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明

14、顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)19.解 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(=16k2+160,故x1+x2=2k所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x

15、0,y0),則y0=因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20.解 (1)因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)PAC,且OP=23.連接OB,因?yàn)锳B=BC=22AC,所以ABC為等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23).取平面PAC的法向量OB=(2

16、,0,0),設(shè)M(a,2-a,0)(0a2),則AM=(a,4-a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).由APn=0,AMn=0得2y+23z=9,ax+(4-a)y所以cos=23由已知可得|cos|=32所以23|a-4|23(a所以n=-8又PC=(0,2,-23),所以cos=34所以PC與平面PAM所成角的正弦值為3421.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)1等價(jià)于(x2+1)e-x-10.設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1,則g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.當(dāng)x1時(shí),g(x)0,h(x)沒有零點(diǎn);(ii)當(dāng)a0時(shí),h(x)=ax(x-2)e-

17、x.當(dāng)x(0,2)時(shí),h(x)0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+)單調(diào)遞增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+若h(2)0,即ae24,h(x)在(0,+)若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+)若h(2)e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)由(1)知,當(dāng)x0時(shí),exx2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn).因此h(x)在(0,+)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=e222.解 (1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+當(dāng)cos 0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tan x+2-tan ,當(dāng)cos =0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理