直線和平面垂直的判定市公開課獲獎?wù)n件

1、第1頁第1頁復(fù)習(xí)回顧：空間直線和平面有幾種位置關(guān)系？A第2頁第2頁大橋橋柱與水面垂直生活中有諸多直線與平面垂直實例實例引入第3頁第3頁第4頁第4頁大漠孤煙直第5頁第5頁AB第6頁第6頁AB第7頁第7頁AB第8頁第8頁AB第9頁第9頁AB第10頁第10頁AB第11頁第11頁AB第12頁第12頁AB第13頁第13頁CC1B1AB內(nèi)過點B直線AB所在直線內(nèi)但是點B直線AB所在直線內(nèi)任意一條直線AB所在直線第14頁第14頁一、直線和平面垂直定義假如一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直.其中直線叫做平面垂線，平面叫做直線垂面.交點叫做垂足.A平面垂線

2、直線垂面垂足第15頁第15頁LP直線和平面垂直畫法: 通常把直線畫成和表示平面平行四邊形一邊垂直。第16頁第16頁進一步理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）1.假如一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有直線都垂直. （ ）2.假如一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直. （ ） ba第17頁第17頁 利用定義，我們得到了鑒定線面垂直最基本辦法，同時也得到了線面垂直最基本性質(zhì).摸索新知： 但是，直接考察直線與平面內(nèi)所有直線都垂直是不也許，這就有必要去尋找比定義法更簡捷、更可行直線與平面垂直辦法!第18頁第18頁摸索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD與

3、桌面垂直嗎？2.如何翻折才干使折痕AD與桌面所在平面垂直？ 請同窗們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）第19頁第19頁 當(dāng)且僅當(dāng)折痕 AD 是 BC 邊上高時，AD所在直線與桌面所在平面 垂直2.如何翻折才干使折痕AD與桌面所在平面垂直？摸索新知：第20頁第20頁摸索新知： 由剛剛分析能夠知道，直線與平面垂直鑒定需要哪幾種條件？你能依據(jù)剛剛分析歸納出直線與平面垂直鑒定定理嗎 (1) 平面有兩條直線 (2) 這兩條直線要相交(3) 平面外直線要與這兩條直線都垂直第21頁第21頁二、 直線與平面垂直鑒定

4、定理： 線線垂直 線面垂直mnP 一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。一相交兩垂直第22頁第22頁判斷下列命題是否正確？(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直( )(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直( )PP第23頁第23頁例1.在下圖長方體中，請列舉與平面ABCD垂直直線。并闡明這些直線有如何位置關(guān)系？第24頁第24頁例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B平面ACB1(1)AC平面D1DBC1BD1ACA1DB1第25頁第25頁C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B平面ACB1由異成直線所成角知D1B平面ACB1第26頁第

5、26頁例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC中點。（1）求證：AC 平面VKB（2）求證：VB ACABCVK(1)連接VK,KB，由VA=VC,K為AC中點，由三線合一可知VK AC,同理可得KB AC，且VKKB=K 因此AC 平面VKB (鑒定定理)(2)由(1)可知，AC 平面VKB又由于VB 平面VKB 因此VB AC (定義)第27頁第27頁變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC 中點，試判斷EF與平面VKB位置關(guān)系 AVBCEFK例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC中點。（1）求證：AC 平面VKB（2）求證：VB AC2、在1條件下

6、，有些人說“VBAC，VBEF， VB平面ABC”，對嗎？第28頁第28頁BCDAFE第29頁第29頁直線與平面垂直的性質(zhì)第30頁第30頁如圖,點Q是是點P到平面垂線段pQ過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上射影； 這點與垂足間線段叫做這點到這個平面垂線段。一.斜線在平面內(nèi)射影.垂線、斜線、射影()垂線點P在平面 內(nèi)射影線段PQ第31頁第31頁（2）斜線 一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面斜線斜線和平面交點叫做斜足。從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間線段叫做這點到這個平面斜線段PR第32頁第32頁如圖：是斜線AC在內(nèi)射影，線段BC是ACB過斜線上斜足以

7、外一點向平面引垂線，過垂足和斜足直線叫做斜線在這個平面上射影 垂足與斜足間線段叫做這點到平面斜線段在這個平面上射影()射影直線BC斜線段AC在內(nèi)射影第33頁第33頁ACBFE闡明：斜線上任意一點在平面上射影，一定在斜線射影上。思考：斜線上一個點在平面上射影會在哪呢？第34頁第34頁思考：從平面外一點向這個平面引垂線段和斜線段，它們射影和線段本身之間有什么關(guān)系？從平面外一點向這個平面所引垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE中，那一條最短？ACBDE 垂線段比任何一條斜線段都短第35頁第35頁 假如兩條直線同時垂直于一個平面，那么 這兩條直線平行。3.直線與平面垂直性質(zhì)定理第36頁第36頁 例2、

8、如圖，已知AC、AB分別是平面垂線和斜 線，C、B分別是垂足和斜足，a ，aBC。 求證：aABAaCB線面垂直線線垂直三垂線定理:在平面內(nèi)一條直線,假如它和這個平面一條斜線射影垂直,那么它就和這條斜線垂直.第37頁第37頁AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面垂線和斜線,C、B分別是垂足和斜足，a ， 。aAB三垂線定理逆定理:假如平面內(nèi)一條直線與這個平面一條斜線垂直,那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)射影垂直.求證: aBC第38頁第38頁外中垂鞏固練習(xí)：第39頁第39頁已知三棱錐P-ABC三條側(cè)棱PA=PB=PC試判斷點P在底面ABC射影位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形A

9、BC外心第40頁第40頁已知三棱錐P-ABC三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點P在底面ABC射影位置？PABCO為三角形ABC垂心DO第41頁第41頁已知三棱錐P-ABC頂點P到底面三角形ABC三條邊距離相等,試判斷點P在底面ABC射影位置？PABCO為三角形ABC內(nèi)心OEF第42頁第42頁典型：四周體P-ABC頂點P在平面上射影為O(1)P到三頂點距離相等(3)P到三邊AB、BC、AC距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直PABCO外垂內(nèi) O是 ABC心 O是 ABC心 O是 ABC心第43頁第43頁對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四周體P-ABC中，若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則另一組對邊必定垂直O(jiān)

10、是垂心垂 O是 ABC心第44頁第44頁練習(xí)3.假如兩直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行練習(xí)2.過一點只有一個平面和一條直線垂直練習(xí)1.過一點只有一條直線和一個平面垂直結(jié)論1.結(jié)論2.結(jié)論3. 慣用結(jié)論發(fā)散第45頁第45頁結(jié)論1：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。結(jié)論2：假如兩條平行直線中一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。結(jié)論3：假如兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。第46頁第46頁直線和平面垂直鑒定 例 求證：假如兩條平行直線中一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。 已知： ， 。 求證： 。 證實：辦法1設(shè)是 內(nèi) 任意一條直線。 第47頁第

11、47頁小試牛刀第48頁第48頁線面垂直性質(zhì)定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面兩直線互相平行.ab第49頁第49頁例2.如圖，已知ab、a. 求證：b.（線面垂直 線線垂直）（線線垂直 線面垂直）第50頁第50頁例2、如圖，已知ab，a。求證：b。例題示范,鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。ab閱讀P66頁證實過程.第51頁第51頁、判斷下列命題正誤。（2）垂直于同始終線兩條直線互相平行（ ）（3）平行于同一平面兩條直線互相平行（ ）（4）垂直于同一平面兩條直線互

12、相平行（ ）（1）平行于同始終線兩條直線互相平行（ ）五、過程設(shè)計(三) 線面垂直性質(zhì)定理應(yīng)用小牛試刀第52頁第52頁(1)若PA=PB=PC，則O是ABC .PABCO外心例4.關(guān)于三角形四心問題 設(shè)O為三棱錐PABC頂點P在底面上射影.綜合練習(xí)：第53頁第53頁(2)若PA=PB=PC,C=900,則O是AB_點.中PABCO例4.關(guān)于三角形四心問題綜合練習(xí)：第54頁第54頁垂心EFPABCO (3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則O是ABC .例4.關(guān)于三角形四心問題綜合練習(xí)：第55頁第55頁EFPABCO (5)若三條側(cè)棱與底面成相等角，則O是ABC_. 外心例4.關(guān)于三角形四心問題綜合練習(xí)

13、：第56頁第56頁例1、已知直角ABC所在平面外有一點P，且PA=PB=PC，D是斜邊AB中點，求證：PD平面ABC.ABCPD 證實：PA=PB，D為AB中點 PDAB，連接CD， D為RtABC斜邊中點 CD=AD, 又PAPC,PD=PD PADPCD 而PDAB PDCD, CDAB = D PD平面ABC第57頁第57頁例2、如圖 平面、相交于PQ，線段OA、OB分別垂直平面、，求證：PQABPQOAB證實：OA PQ OAPQ OB, PQ OBPQ 又OAOB=0 PQ平面OAB 而AB平面OAB PQAB第58頁第58頁SABCH第59頁第59頁SABCH第60頁第60頁1.如

14、圖,已知點M是菱形ABCD所在平面外一點，且MA=MC求證：AC平面BDMMABCDO第61頁第61頁ABCD證實：E 2. 在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求證：對角線AC BD。 CEAEEBD,連接中點取ACBDACEAC,平面Q=ACEBDECEAE,平面又QBDCEDCBC=,QBDAEADAB=,Q第62頁第62頁PABCO3.如圖，圓O所在一平面為 ，AB是圓O 直徑，C 在圓周上, 且PA AC, PA AB,求證：（1）PA BC （2）BC 平面PAC第63頁第63頁典例 平面內(nèi)有一個三角形ABC，平面外有一點P，自P向平面作斜線PA，PB，PC，且PAP

15、BPC，若點O是ABC外心，求證：PO平面ABC.第64頁第64頁【解】如圖所表示，分別取AB，BC中點D，E，連接PD，PE，OD，OE.由于PAPBPC，因此PDAB，PEBC，由于O是ABC外心，因此ODAB，OEBC，又由于PDDOD，OEPEE，因此AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，從而推得PO平面ABC.第65頁第65頁中外垂重心:三條中線交點垂心:三條高交點外心:三條垂直平分線交點(到三個頂點距離相等)內(nèi)心:三角平分線交點中心:正重心、垂心、內(nèi)心、外心重疊點第66頁第66頁鞏固練習(xí)VABC第67頁第67頁直線與平面垂直鑒定與性質(zhì) 解題分析:第6

16、8頁第68頁第69頁第69頁解題小結(jié):第70頁第70頁/10/10例1：如圖，已知AC、AB分別是平面垂線 和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a ， aBC求證：aAB ACBa射影垂直，斜線垂直第71頁第71頁/10/10例2：如圖，BAC在平面內(nèi)，P為平面外一 點，PABPAC求證：點P在平面上 射影在BAC平分線上 ACBPOEF第72頁第72頁例1 如圖,在RtABC中,已知C=90, AC=BC=1,PA面ABC,且PA= , 求(1)PB與面ABC所成角 (2)PB與面PAC所成角.BCAP第73頁第73頁鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=PB=PC=PD，

17、求證：點P與平行四邊形對角線交點O連線PO垂直于AB、AD.CABDOP第74頁第74頁/10/10例2：如圖，在棱長為1正方體中 (1)求B1D 與平面ABCD所成角正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1 與平面ABC1D1所成角；(3)求BB1 與平面A1BC1所成角正切MH第75頁第75頁/10/10例5：ABC定點在平面內(nèi)，點A、C在平面 同側(cè)，AB、BC與所成角分別是300和 450若AB3，BC42，AC5，求AC 與平面所成角 ABCA1C1E第76頁第76頁/10/10例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點， PA平面ABCD，AE PD，PA3AB求 直線AC

18、與平面ABE所成角正弦值 PABCDE第77頁第77頁 【5】如圖, AB為平面一條斜線, B為斜足,AO平面, 垂足為O, 直線BC在平面內(nèi),已知ABC=60,OBC=45, 則斜線AB和平面所成角是_.ACODB45設(shè)OB=2,補充練習(xí)第78頁第78頁引課我們知道,當(dāng)直線和平面垂直時,該直線叫做平面垂線。假如直線和平面不垂直,是不是也該給它取個名字呢?此時又該如何刻畫直線和平面這種關(guān)系呢?直線與平面所成的角第79頁第79頁1.平面的斜線如圖,若一條直線PA和一個平面相交,但不垂直,那么這條直線就叫做這個平面斜線,斜線和平面交點A叫做斜足。PA斜足斜線第80頁第80頁A1B1C1D1ABCD

19、例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直線A1B和平面BCC1B1所成角。（2）直線A1B和平面A1B1CD所成角。O例題示范,鞏固新知分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)射影,就能夠求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成角。閱讀教科書P67上解答過程第81頁第81頁AGFEDCBHHC與平面ABCD 所成角是？BG和EA與平面ABCD所成角 分別是？GBC與EABHCDEC和EG與平面ABCD所成角分別是？ACE練習(xí):正方體ABCDEFGH中第82頁第82頁2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中射影（2）AB1在面A1B1CD中射影（3）AB1在面CDD1C1中射影A1D1C1B1ADCB鞏固練習(xí)第83頁第83頁2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中射影（2）AB1在面A1B1CD中射影（3）AB1在面CDD1C1中射影A1D1C1B1ADCBO線段B1O鞏固練習(xí)第84頁第84頁2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中射影（2）AB1在面A1B1CD中射影（3）AB1在面CDD1C1中