2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第9講 蒙日圓問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第9講蒙日圓問題一、解答題 1已知橢圓的一個焦點為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.2給定橢圓C： (ab0)，稱圓心在原點O，半徑為的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為.（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）若點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1，l2交“準(zhǔn)圓”于點M，N.證明：l1l2，且線段MN的長為定值3給定橢圓 C : ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓 C 的“伴隨圓”.若橢圓 C 的一個焦點為 F1(

2、, 0) ，其短軸上的一個端點到 F1 的距離為（1）求橢圓 C 的方程及其“伴隨圓”方程；（2）若傾斜角 45的直線 l 與橢圓 C 只有一個公共點，且與橢圓 C 的伴隨圓相交于 M .N 兩點，求弦 MN 的的長；（3）點 P 是橢圓 C 的伴隨圓上一個動點，過點 P 作直線 l1、l2，使得 l1、l2與橢圓 C 都只有一個公共點，判斷l(xiāng)1、l2的位置關(guān)系，并說明理由.4已知拋物線：（），圓：（），拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離的最小值為. （1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）如圖，點是拋物線在第一象限內(nèi)一點，過點P作圓的兩條切線分別交拋物線于點A，B（A，B異于點P），問是否存在圓使A

3、B恰為其切線？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由.5已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，切點分別，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標(biāo)分別為，求的值.6已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(1，0)，橢圓C1過點，拋物線的頂點為原點(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；(2)設(shè)點P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點，過點P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；若直線AB交橢圓C1于C，D兩點，SPAB，SPCD分別是

4、PAB，PCD的面積，試問：是否有最小值?若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.7已知橢圓的方程為.（1）設(shè)是橢圓上的點，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點；（2）過點作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為，點在直線上的射影為點，求點的坐標(biāo)；（3）互相垂直的兩條直線與相交于點，且都與橢圓只有一個公共點，求點的軌跡方程.8已知橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上運動，若面積的最大值為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作圓：，的兩條切線，分別與橢圓交于兩點，(異于點)，當(dāng)變化時，直線是否恒過某定點？若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中

5、，已知橢圓C1：y21，橢圓C2：1(ab0)，C2與C1的長軸長之比為1，離心率相同(1) 求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)點P為橢圓C2上的一點射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：為定值；過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證k1k2為定值10已知拋物線上一點到焦點的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.11如圖，已知是橢圓:上的任一點，從原點向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點、（1）若直線，的斜率存在，并記為，求證：為定值；（2）試問是否為

6、定值？若是，求出該值；若不是，說明理由12已知拋物線E：過點，過拋物線E上一點作兩直線PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線E于M、N兩點（1）求拋物線E的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若直線MN的斜率為，求點P的坐標(biāo)第9講 蒙日圓問題一、解答題 1已知橢圓的一個焦點為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、三者的關(guān)系求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況進(jìn)行計算：第一種是在從點所引的兩條切線的斜率都存在

7、的前提下，設(shè)兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關(guān)系得到，并設(shè)從點所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，利用得到有關(guān)的一元二次方程，最后利用以及韋達(dá)定理得到點的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標(biāo)軸垂直的情況下求出點的坐標(biāo)，并驗證點是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點的軌跡方程.（1）由題意知，且有，即，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)從點所引的直線的方程為，即，當(dāng)從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設(shè)為、，則，將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，化簡得，即，則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，化簡得；當(dāng)從點所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂

8、直，則的坐標(biāo)為，此時點也在圓上.綜上所述，點的軌跡方程為.考點：本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及動點的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點的個數(shù)利用的符號來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應(yīng)用.2給定橢圓C： (ab0)，稱圓心在原點O，半徑為的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為.（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）若點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1，l2交“準(zhǔn)圓”于點M，N.證明：l1l2，且線段MN的長為定值【答案】（1）橢圓方程為，“準(zhǔn)圓”方程為x2y24；（2）證明見解析.【分

9、析】（1）由已知，進(jìn)而可得橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時，分別求出l1和l2，驗證命題成立；當(dāng)l1，l2斜率存在時，設(shè)點P(x0，y0)，其中，聯(lián)立過點P(x0，y0)與橢圓相切的直線方程與橢圓方程，由0化簡整理，可證得l1l2；進(jìn)而得出線段MN為“準(zhǔn)圓”x2y24的直徑，即線段MN的長為定值【詳解】（1）橢圓C的一個焦點為 其短軸上的一個端點到F的距離為.，橢圓方程為，“準(zhǔn)圓”方程為x2y24.（2）證明：當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時，不妨設(shè)直線l1斜率不存在，則l1：x，當(dāng)l1：x時，l1與“準(zhǔn)圓”交于點(，1)，(，1)，此時l2為y1(

10、或y1)，顯然直線l1，l2垂直；同理可證當(dāng)l1：x時，直線l1，l2垂直當(dāng)l1，l2斜率存在時，設(shè)點P(x0，y0)，其中.設(shè)經(jīng)過點P(x0，y0)與橢圓相切的直線為yt(xx0)y0，由得(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230.由0化簡整理，得(3)t22x0y0t10，有(3)t22x0y0t(3)0.設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，l1，l2與橢圓相切，t1，t2滿足上述方程(3)t22x0y0t(3)0，t1t21，即l1，l2垂直綜合知，l1l2.l1，l2經(jīng)過點P(x0，y0)，又分別交其“準(zhǔn)圓”于點M，N，且l1，l2垂直線段MN為“準(zhǔn)圓”x2y24的直

11、徑，|MN|4，線段MN的長為定值【點睛】思路點睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查新定義，考查橢圓的切線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，有關(guān)平面解析問題一些基本解題思想總結(jié)如下：1.常規(guī)求值問題：需要找等式，范圍問題需要找不等式；2.是否存在問題：當(dāng)作存在去求，不存在時會無解；3.證明定值問題：把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明結(jié)果與參數(shù)無關(guān)，也可先猜再證；4.處理定點問題：把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項系數(shù)為，也可先猜再證；5.最值問題：將對象表示為變量的函數(shù)求解3給定橢圓 C : ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓 C 的“伴隨圓”.若橢圓 C 的一個焦點為 F1(, 0) ，其短軸

12、上的一個端點到 F1 的距離為（1）求橢圓 C 的方程及其“伴隨圓”方程；（2）若傾斜角 45的直線 l 與橢圓 C 只有一個公共點，且與橢圓 C 的伴隨圓相交于 M .N 兩點，求弦 MN 的的長；（3）點 P 是橢圓 C 的伴隨圓上一個動點，過點 P 作直線 l1、l2，使得 l1、l2與橢圓 C 都只有一個公共點，判斷l(xiāng)1、l2的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）橢圓方程：；伴隨圓方程： x2 y2 1 ；（2） 2；（3）垂直，（斜率乘積為 1 ，分斜率存在與否）【分析】（1）直接由橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F1的距離為，求出，即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；（2

13、）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用對應(yīng)的判別式為0求出，進(jìn)而求出直線方程以及圓心到直線的距離；即可求弦MN的長；（3）先對直線l1，l2的斜率是否存在分兩種情況討論，然后對每一種情況中的直線l1，l2與橢圓C都只有一個公共點進(jìn)行求解即可證：l1l2（在斜率存在時，是先設(shè)直線方程，把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率為對應(yīng)方程的根來判斷結(jié)論）【詳解】解：（1）因為，所以b1所以橢圓的方程為，伴隨圓的方程為x2+y24（2）設(shè)直線l的方程yx+b，由得4x2+6bx+3b230由（6b）216（3b23）0得b24圓心到直線l的距離為所以（3）當(dāng)l1，l2中有一條無斜率時，不妨設(shè)l1無斜率，因為l1與橢

14、圓只有一個公共點，則其方程為或，當(dāng)l1方程為時，此時l1與伴隨圓交于點，此時經(jīng)過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是y1（或y1），即l2為y1（或y1），顯然直線l1，l2垂直；同理可證l1方程為時，直線l1，l2垂直當(dāng)l1，l2都有斜率時，設(shè)點P（x0，y0），其中x02+y024，設(shè)經(jīng)過點P（x0，y0），與橢圓只有一個公共點的直線為yk（xx0）+y0，由，消去y得到x2+3（kx+（y0kx0）230，即（1+3k2）x2+6k（y0kx0）x+3（y0kx0）230，6k（y0kx0）24（1+3k2）3（y0kx0）230，經(jīng)過化簡得到：（3x02）k2+2x0y0k+1y020

15、，因為x02+y024，所以有（3x02）k2+2x0y0k+（x023）0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，因為l1，l2與橢圓都只有一個公共點，所以k1，k2滿足方程（3x02）k2+2x0y0k+（x023）0，因而k1k21，即l1，l2垂直【點睛】本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題的能力和運算能力4已知拋物線：（），圓：（），拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離的最小值為. （1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）如圖，點是拋物線在第一象限內(nèi)一點，過點P作圓的兩條

16、切線分別交拋物線于點A，B（A，B異于點P），問是否存在圓使AB恰為其切線？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）的方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）存在，【分析】（1）由得到p即可；（2）設(shè)，利用點斜式得到PA的的方程為，由到PA的距離為半徑可得，同理，同理寫出直線AB的方程，利用點到直線AB的距離為半徑建立方程即可.【詳解】解：（1）由題意得，解得， 所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）由（1）知，. 假設(shè)存在圓使得AB恰為其切線，設(shè)，則直線PA的的方程為，即. 由點到PA的距離為r，得，化簡，得，同理，得.所以，是方程的兩個不等實根，故，.易得直線AB的方程為，由點到直線AB的

17、距離為r，得，所以，于是，化簡，得，即.經(jīng)分析知，因此.【點睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，直線與圓、拋物線的位置關(guān)系等，考查運算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想.5已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，切點分別，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標(biāo)分別為，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）因為點在橢圓上，所以，然后，利用，得出，進(jìn)而求解即可（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達(dá)定理，再利用，即可求出的值【詳解】（1）由橢圓的長半軸長為，得.因為點在橢圓

18、上，所以.又因為，所以，所以（舍）或.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，所以.【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，屬于中檔題6已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(1，0)，橢圓C1過點，拋物線的頂點為原點(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；(2)設(shè)點P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點，過點P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；若直線AB交橢圓C1于C，D兩點

19、，SPAB，SPCD分別是PAB，PCD的面積，試問：是否有最小值?若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.【答案】(1) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,橢圓的方程為:,(2)證明見解析,有,最小值為【分析】(1)利用可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)和點在橢圓上列方程組可求得和,從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用=0以及韋達(dá)定理可得結(jié)論;先求出直線過定點,將問題轉(zhuǎn)化為,即求得最小值,當(dāng)直線的斜率存在時,聯(lián)立直線與拋物線,利用弦長公式求出和,然后求比值,此時大于,當(dāng)直線的斜率不存在時,直接求出和可得比值為.從而可得結(jié)論.【詳解】(1)因為拋物線C2有相同的焦點(1，0),且頂點為原點,所以,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

20、,設(shè)橢圓方程為,則且,解得,所以橢圓的方程為:.(2)證明:設(shè),過點與拋物線相切的直線為,由,消去得,由=,得,則.設(shè) 由得,則,所以直線的方程為,所以,即,即直線恒過定點,設(shè)點到直線的距離為,所以,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,設(shè),由,消去得,時,恒成立, ,由消去得,恒成立,則 .所以,當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時,所以的最小值為.【點睛】本題考查了求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與拋物線相切,考查了直線與橢圓相交的問題,考查了三角形的面積公式,考查了分類討論思想,考查了弦長公式,屬于難題.7已知橢圓的方程為.（1）設(shè)是橢圓上的點，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點；

21、（2）過點作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為，點在直線上的射影為點，求點的坐標(biāo)；（3）互相垂直的兩條直線與相交于點，且都與橢圓只有一個公共點，求點的軌跡方程.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得判別式為0，從而方程組只有一組解，進(jìn)而可得答案；（2）設(shè)，得出A，B的坐標(biāo)滿足直線方程，推出直線AB的方程為，聯(lián)立NQ的方程解得Q點坐標(biāo)；（3）設(shè)，分兩種情況：當(dāng)直線與有一條斜率不存在時，當(dāng)直線與有一條斜率存在時，討論點P的軌跡，即可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，直線，即直線，與橢圓只有一個公共點.當(dāng)時，由得，又，有，從而方

22、程組只有一組解，直線與橢圓的有且只有一個公共點.（2）設(shè)，.由（1）知兩條直線為，又是它們的交點，從而有，的坐標(biāo)滿足直線方程，所以直線：.直線的方程為，由解得，即，（3）設(shè).當(dāng)直線與有一條斜率不存在時，.當(dāng)直線與的斜率都存在時，設(shè)為和，由得，由，整理得，和是這個方程的兩個根，有，得，所以點的軌跡方程是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決第一問主要是通過聯(lián)立直線與橢圓所構(gòu)成的方程組有一個解；解決第二問主要是通過第一問中的結(jié)論得出的方程；解決第三問主要是依據(jù)兩直線的關(guān)系得到.8已知橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上運動，若面積的最大值為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作圓：，的兩條切線，

23、分別與橢圓交于兩點，(異于點)，當(dāng)變化時，直線是否恒過某定點？若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）直線恒過定點.【分析】（1）首先列出關(guān)于的等式，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）首先設(shè)出過點的切線方程，利用，得到關(guān)于斜率的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再與橢圓方程聯(lián)立求得點的坐標(biāo)，寫出直線的斜率，并寫出直線的方程，說明直線過定點.【詳解】（1）由題可知當(dāng)點在橢圓的上頂點時，最大，此時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)過點與圓相切的直線方程為，即，直線與圓：相切，即得.設(shè)兩切線的斜率分別為，則，設(shè)，由，即，；同理：，；，直線的方程為.整理得，直線恒過定點.【點睛】本題考查橢圓

24、方程，直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，重點考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，邏輯推理能力，屬于難題.9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：y21，橢圓C2：1(ab0)，C2與C1的長軸長之比為1，離心率相同(1) 求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)點P為橢圓C2上的一點射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：為定值；過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證k1k2為定值【答案】(1)1；(2)證明見解析，證明見解析【分析】(1)根據(jù)已知條件，求出a，b的值，得到橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)對直線OP斜率分不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)O

25、P斜率存在時，設(shè)直線OP的方程為ykx，并與橢圓C1的方程聯(lián)立，解得點A橫坐標(biāo)，同理求得點P橫坐標(biāo)，再通過弦長公式，求出的表達(dá)式，化簡整理得到定值設(shè)P(x0，y0)，寫出直線l1的方程，并與橢圓C1聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線l1與橢圓C1有且只有一個公共點，得到方程只有一解，即0，整理得2x0y0k110，同理得到2x0y0k210，從而說明k1，k2是關(guān)于k的一元二次方程的兩個根，運用根與系數(shù)的關(guān)系，證得定值【詳解】(1)設(shè)橢圓C2的焦距為2c，由題意，a2，解得b，因此橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)1當(dāng)直線OP斜率不存在時，PA1，PB1，則32.2當(dāng)直線OP斜率存在時，設(shè)直

26、線OP的方程為ykx，代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k21)x24，所以，同理所以，由題意，xP與xA同號，所以xPxA，從而32.所以32為定值設(shè)P(x0，y0)，所以直線l1的方程為yy0k1(xx0)，即yk1xk1x0y0，記tk1x0y0，則l1的方程為yk1xt，代入橢圓C1的方程，消去y，得(41)x28k1tx4t240，因為直線l1與橢圓C1有且只有一個公共點，所以(8k1t)24(41)(4t24)0，即4t210，將tk1x0y0代入上式，整理得，2x0y0k110，同理可得，2x0y0k210，所以k1，k2為關(guān)于k的方程(4)k22x0y0ky10的兩根，從而k1

27、k2.又點在P(x0，y0)橢圓C2：1上，所以，所以k1k2為定值【點睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓中的定值問題，橢圓中的定值問題，一種方法是直接計算，即由直線與橢圓相交求出交點坐標(biāo)，求出直線斜率等，然后計算題中要證定值的量即可得，一種不直接計算，像本題（2）中通過直線與橢圓相切，得出兩直線斜率滿足的關(guān)系式，從而確定這兩個斜率是某個二次方程的根，由韋達(dá)定理直接得證，即建立參數(shù)之間的聯(lián)系，然后推導(dǎo)出定值10已知拋物線上一點到焦點的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）

28、由題意確定p的值即可確定拋物線方程；（2）很明顯切線斜率存在，由圓心到直線的距離等于半徑可得是方程的兩根，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得點的橫坐標(biāo) .結(jié)合韋達(dá)定理將原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域的問題即可.【詳解】（1）由拋物線定義,得，由題意得：解得所以，拋物線的方程為.（2）由題意知，過引圓的切線斜率存在，設(shè)切線的方程為，則圓心到切線的距離，整理得，.設(shè)切線的方程為,同理可得.所以，是方程的兩根，.設(shè)，由得，由韋達(dá)定理知，所以，同理可得.設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則 .設(shè)，則，所以，對稱軸，所以【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11如

29、圖，已知是橢圓:上的任一點，從原點向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點、（1）若直線，的斜率存在，并記為，求證：為定值；（2）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由【答案】（1）見解析；（2）為定值【解析】試題分析：（1）設(shè)直線的直線方程分別為、，由圓心到直線的距離等于半徑可以得到、，由此可得是方程的兩個不相等的實數(shù)根,由違達(dá)定理可知，由點在橢圓上可得；（2）分直線與直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，直接計算，并將代入表達(dá)式即可得到的和為定值試題解析：（1）因為直線：以及：與圓相切，所以 , 化簡得： 同理：， 所以， 因為點在橢圓C上，所以，即，所以 （2）是定值，定值為9理由如下：法一：（i

30、）當(dāng)直線、不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè),聯(lián)立解得 所以，同理，得， 由，所以 （ii）當(dāng)直線、落在坐標(biāo)軸上時,顯然有，綜上： 法二：（i）當(dāng)直線、不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè),因為，所以， 因為在橢圓C上，所以， 即 ， 所以，整理得，所以，所以（ii）當(dāng)直線、落在坐標(biāo)軸上時,顯然有，綜上：考點：1橢圓的定義與幾何性質(zhì)；2直線與圓的位置關(guān)系；3直線與橢圓的位置關(guān)系12已知拋物線E：過點，過拋物線E上一點作兩直線PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線E于M、N兩點（1）求拋物線E的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若直線MN的斜率為，求點P的坐標(biāo)【答案】（1）拋物線E的方程為，焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（2）

31、或【分析】（1）將點代入拋物線方程，可求出拋物線E的方程，進(jìn)而可求出焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，可表示出直線及的斜率的表達(dá)式，進(jìn)而可表示出兩直線的方程，再結(jié)合直線和圓相切，利用點到直線的距離等于半徑，可得，滿足方程，從而得到，又直線MN的斜率為，可求出的值，即可求出點P的坐標(biāo).【詳解】（1）將點代入拋物線方程得，所以拋物線E的方程為，焦點坐標(biāo)為：，準(zhǔn)線方程為： （2）由題意知，設(shè)，則直線的斜率為，同理，直線PN的斜率為，直線MN的斜率為，故，于是直線的方程為，即，由直線和圓相切，得，即，同理，直線PN的方程為，可得， 故，是方程的兩根故，即，所以，解得或當(dāng)時，；當(dāng)時，故點P的坐標(biāo)為或 【點睛

32、】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查直線的方程，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.第10講 非對稱韋達(dá)一、解答題 1已知橢圓E：的離心率是，分別為橢圓E的左右頂點，B為上頂點，的面積為直線l過點且與橢圓E交于P，Q兩點求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；求面積的最大值；設(shè)直線與直線交于點N，證明：點N在定直線上，并寫出該直線方程2已知A，B分別為橢圓的左右頂點，E為橢圓C的上頂點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，E與F關(guān)于直線對稱，的面積為，過的直線交橢圓C于兩點M，N(異于A，B兩點).（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線與的交點P在一條定直線上.3已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率

33、是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，直線與交于點M.(1)求橢圓的方程；(2)()求證直線與交點M在一條定直線l上；()N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值4已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.5已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q證明：點Q在定直線上6已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別

34、為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程. （結(jié)論不要求證明）7已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當(dāng)PF1F1F2時，|PF2|2|PF1|（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點Q（4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為點M，證明：直線NM過定點8已知橢圓過點，且（）求橢圓C的方程：（）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點求的值9如圖，為坐標(biāo)原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1

35、）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點求證：點的縱坐標(biāo)為定值310橢圓y2a2+x2b2=1(ab0) 的兩頂點為A,B如圖，離心率為22，過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點，并與（）當(dāng)|CD|=322（）當(dāng)點P異于A,B兩點時，求證：OP11已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k12k2，求直線l斜率的值12已知橢圓的長軸長為6，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)

36、橢圓C的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.13已知橢圓的長軸長為6，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左右焦點分別為，左右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，直線的斜率為，記直線AM，BN的斜率分別為，試證明:的值為定值.14已知橢圓的左、右頂點分別為，離心率為，過點作直線交橢圓于點，（與，均不重合）.當(dāng)點與橢圓的上頂點重合時，.（1）求橢圓的方程（2）設(shè)直線，的斜率分別為，求證：為定值.第10講 非對稱韋達(dá)一、解答題 1已知橢圓E：的離心率是，分別為橢圓

37、E的左右頂點，B為上頂點，的面積為直線l過點且與橢圓E交于P，Q兩點求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；求面積的最大值；設(shè)直線與直線交于點N，證明：點N在定直線上，并寫出該直線方程【答案】（1）（2）（3）見證明【分析】根據(jù)離心率和三角形的面積即可求出，分兩種情況，當(dāng)PQ斜率不存在時，當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)PQ的方程為，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、，函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出的面積的最大值分兩種情況，PQ斜率不存在時，易知，當(dāng)直線PQ的斜率存在時，直線的方程為，直線的方程為，即可整理化簡可得，解得即可【詳解】解：由題意知，即，的面積為2，解得，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，斜率不存在時，易知，此時，

38、當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)PQ的方程為，設(shè)，將代入，整理可得，令，故面積的最大值證明斜率不存在時，易知，當(dāng)直線PQ的斜率存在時，直線的方程為，直線的方程為，解得，即N點的橫坐標(biāo)為4，綜上所述，點N在定直線上【點睛】本題考查橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、考查考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題2已知A，B分別為橢圓的左右頂點，E為橢圓C的上頂點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，E與F關(guān)于直線對稱，的面積為，過的直線交橢圓C于兩點M，N(異于A，B兩點).（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線與的交點P在一條定直線上.【答案】（1）；（2）證

39、明見解析.【分析】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，得到，求出AM、BN的交點坐標(biāo)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出結(jié)論.【詳解】（1）由得，（2）由題可知，直線與x軸不重合，設(shè)為由得由橢圓的對稱性可知，交點必在一條垂直于x軸的直線上直線，即直線，即聯(lián)立得：直線與的交點P在定直線上.【點睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)而不求是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.3已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，直線與交于點M.(1)求橢

40、圓的方程；(2)()求證直線與交點M在一條定直線l上；()N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值【答案】(1)(2) ()見證明；()見證明【解析】【分析】(1)由題意可得，可以求出，從而求出橢圓的方程；(2)()由點斜式分別寫出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而可以得到點M在一條定直線x2上；()由于，結(jié)合點P在橢圓上，可以求出為定值?！驹斀狻?1)設(shè)橢圓的焦距是2c，據(jù)題意有：，則，所以橢圓的方程是. (2) ()由(1)知，設(shè)直線PQ的方程是，代入橢圓方程得：，易知，設(shè)，則， 直線的方程是： ，直線的方程是： ，設(shè)，既滿足也滿足，則，故直線與交點M在一

41、條定直線l：x2上. ()設(shè)，則，.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與直線的綜合問題，考查了學(xué)生綜合分析能力及計算能力，屬于難題。4已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后寫出直線方程并變形后代入，可得定點坐標(biāo)，再驗證直線斜率不存在時，直線也過這個定點即可【詳

42、解】解：（1）由題意得，則，所以， 又，所以，所以橢圓E的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則，由，消去y得.由，得，所以，.，直線的方程為， 即， 因為，所以，直線的方程為可化為，則直線恒過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，直線也過點，綜上知直線恒過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題解題方法是設(shè)而不求思想方法設(shè)出動直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，利用此結(jié)論求出直線方程，可確定定點坐標(biāo)5已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N

43、兩點，直線AM與BN相交于點Q證明：點Q在定直線上【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）用離心率公式和列方程求得，即可得橢圓方程；（2）方法一：設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理得關(guān)系，由直線和方程聯(lián)立求解交點坐標(biāo)，并化簡得，即可證明問題；方法二：設(shè)，兩兩不等，因為P，M，N三點共線，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三點共線與B，N，Q三點共線也得到兩方程，再結(jié)合三條方程求解，即可證明問題.【詳解】解：（1）因為橢圓的離心率，又，因為，所以，所以橢圓C的方程為（2）解法一：設(shè)直線，可得，所以直線AM的方程：直線BN的方程：由對稱性可知：點Q在垂直于x軸的直線上，聯(lián)立可得因為，所以所以

44、點Q在直線上解法二：設(shè)，兩兩不等，因為P，M，N三點共線，所以，整理得：又A，M，Q三點共線，有：又B，N，Q三點共線，有將與兩式相除得：即，將即代入得：解得（舍去）或，（因為直線與橢圓相交故）所以Q在定直線上【點晴】求解直線與圓錐曲線定點定值問題：關(guān)鍵在于運用設(shè)而不求思想、聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，構(gòu)造坐標(biāo)點方程從而解決相關(guān)問題.6已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程. （結(jié)論不要求證明）【答案】（） ，離心

45、率 （） （） 【分析】（）由題意可知：m1，可得橢圓方程，根據(jù)離心率公式即可求出（）設(shè)直線CD的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由SACBDSACB+SADB，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ACBD面積的最大值（）點M在一條定直線上，且該直線的方程為x4【詳解】（）由題意，得 , 解得. 所以橢圓方程為. 故，.所以橢圓的離心率. （）當(dāng)直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，又因為，所以四邊形的面積. 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程 消去，得. 由題意，可知恒成立，則， 四邊形的面積 ， 設(shè)，則四邊形的面積，所以.綜上，四邊形面積的最大值為. （）結(jié)論

46、：點在一條定直線上，且該直線的方程為.【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，函數(shù)性質(zhì)的運用，計算量大，要求能力高，屬于難題7已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當(dāng)PF1F1F2時，|PF2|2|PF1|（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點Q（4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為點M，證明：直線NM過定點【答案】（1）；（2）直線過定點.【分析】（1）由橢圓的定義和已知條件得，又由可得出點P的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可解出，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線l的方程，

47、點M、N的坐標(biāo)，直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點M、N的坐標(biāo)的關(guān)系，再表示出直線的方程，將點M、N的坐標(biāo)的關(guān)系代入可得直線NM所過的定點.【詳解】（1）由得，由橢圓的定義得，所以點P的坐標(biāo)為，將點P的坐標(biāo)代入橢圓的方程中有，又，解得或，當(dāng)，故舍去；當(dāng)，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得， ，解得，又，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時，所以直線過定點.【點睛】本題考查橢圓的定義和簡單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系中直線過定點的問題，關(guān)鍵在于將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點的坐標(biāo)上去，屬于較難題.8已知橢圓過點，

48、且（）求橢圓C的方程：（）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點求的值【答案】（）；（）1.【分析】()由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；()首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設(shè)，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注

49、意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題9如圖，為坐標(biāo)原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點求證：點的縱坐標(biāo)為定值3【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標(biāo)表示的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，

50、利用韋達(dá)定理化簡的縱坐標(biāo)后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，由得，故，整理得到，故故點的縱坐標(biāo)為3【點睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.10橢圓y2a2+x2b2=1(ab0) 的兩頂點為A,B如圖，離心率為22，過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點，并與（）當(dāng)|CD|=322（）當(dāng)點P異于A,B兩點時，求證：OP【答案】（）y=2x+1（【解析】試題分析：（I）根據(jù)ca=22,c=1，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x試題解析：（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由已知得：c=1,ca=22當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C1將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得(k則x1+x|CD|=1+=22(所以直線l的方程為y=2（）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，(k0,k1)，C(x1,y