2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第27講 探索性問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第27講 探索性問題一、解答題 1已知分別為橢圓：（）的左、右焦點, 且離心率為，點橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，使直線與的傾斜角互補，且直線是否恒過定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，說明理由.2橢圓上頂點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且焦距為，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）直線交橢圓于，兩點，判斷是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由3已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為（）求橢圓的標準方程；（）是否存在與橢圓交于兩點的直線：，

2、使得成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.4已知為橢圓C的左、右焦點，且點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線交橢圓C于A，B兩點，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.5（本小題共13分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過點P(0，2)且斜率為k的直線l（）求圓Q的面積；（）求k的取值范圍；（）是否存在常數(shù)k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求明理由6已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，長軸長為，離心率為，經(jīng)過其左焦點的直線交橢圓于兩點（I）求橢圓的方程；（II

3、）在軸上是否存在一點，使得恒為常數(shù)？若存在，求出點的坐標和這個常數(shù)；若不存在，說明理由.7已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A（），且點F（，0）為其右焦點（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l與橢圓C交于B，D兩點，滿足，且原點到直線l的距離為？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.8（本小題12分）已知如圖，圓和拋物線，圓的切線與拋物線交于不同的點，.（1）當直線的斜率為時，求線段的長；（2）設(shè)點和點關(guān)于直線對稱，問是否存在圓的切線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.9已知曲線，動直線與相交于兩點，曲線在處的切線相交于點（1）當時，求證：直線恒過定點，并求出定

4、點坐標；（2）若直線與相切于點，試問：在軸上是否存在兩個定點，當直線斜率存在時，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在求出滿足條件的點的坐標，若不存在，請說明理由10已知橢圓焦點在x軸上，下頂點為D(0，1)，且離心率e=63經(jīng)過點()求橢圓的標準方程；（）求|AM|的取值范圍.（）在x軸上是否存在定點P，使MPA=MPB。若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由11已知直線，圓，橢圓的離心率，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等求橢圓的方程；已知動直線（斜率存在）與橢圓交于兩個不同點，且的面積為，若為線段的中點，問：在軸上是否存在兩個定點使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出的坐標，若不存在，

5、說明理由12已知橢圓:經(jīng)過點且離心率為.（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線，使橢圓上存在不同兩點關(guān)于該直線對稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.13已知橢圓，過右焦點的直線交橢圓于，兩點（1）若，求直線的方程；（2）若直線的斜率存在，在線段上是否存在點，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由14已知橢圓：（）過點，離心率，直線：與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點，使得為定值.若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由.15已知圓經(jīng)過點， ，并且直線平分圓.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于兩點，是否存在直線，使得（為坐標原點），若存在，求出

6、的值；若不存在，請說明理由.16已知橢圓經(jīng)過點，是的一個焦點，過點的動直線交橢圓于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點（異于點），對任意的動直線（斜率存在）都有，若存在求出點的坐標，若不存在，請說明理由.17已知橢圓的離心率為，且過點（1）求C的方程；（2）點M，N在C上，且，D為垂足，問是否存在定點Q，使得為定值，若存在，求出Q點，若不存在，請說明理由18已知點在橢圓上，橢圓離心率為（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點、，在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由第27講 探索性問題一、解答題 1已知分別為橢圓：（）的左、右焦點,

7、且離心率為，點橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，使直線與的傾斜角互補，且直線是否恒過定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論

8、.試題解析：（1）由題意得，聯(lián)立得橢圓方程為 6分（2）由題意,知直線存在斜率,其方程為由 消去 =（4km）24（2k2+1）（2m22）0 設(shè) 則 8分又 由已知直線與的傾斜角互補,得 化簡,得 整理得 10分直線的方程為, 因此直線過定點,該定點的坐標為（2,0） 12分考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與橢圓的綜合應(yīng)用.2橢圓上頂點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且焦距為，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）直線交橢圓于，兩點，判斷是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，離心率為，解得：，故橢

9、圓的標準方程為；（2）設(shè)直線的方程為，代入到得，設(shè)，由韋達定理得：，因為，可得：代入整理可得，解得：，即可求出直線方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標準方程為，焦距為2，故又， 故橢圓的標準方程為 （2）設(shè)，為的垂心， 設(shè)直線的方程為，代入到得，解得且 ， ，即由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得或（舍去） 故存在直線，使點恰為的垂心，且直線的方程為【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和橢圓的關(guān)系，常用方法為：設(shè)而不求利用韋達定理求出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合條件即可得解.要求較高的計算能力，屬于難題.3已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為（）求橢圓的標準方程；（）是否存在與橢圓交

10、于兩點的直線：，使得成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（），（）.【解析】試題分析：（1）由已知條件可推得，由此能求出橢圓的標準方程；（2）存在直線使得成立，直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已知條件，得出，即可求解實數(shù)的取值范圍試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為（），半焦距為依題意，由右焦點到右頂點的距離為，得解得，所以所以橢圓的標準方程是（2）解：存在直線，使得成立理由如下：由得，化簡得設(shè)，則，若成立，即，等價于所以，,化簡得，將代入中，解得，又由，從而，或所以實數(shù)的取值范圍是考點：橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置的應(yīng)用【方法點晴】本題主要

11、考查了橢圓標準方程的求解、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到橢圓的幾何性質(zhì)、不等式求范圍問題，此類問題的解答中，把直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系，以及韋達定理結(jié)合題目的條件進行合理運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生推理與運算能力，同時注意試題中的隱含條件，做到合理加以運用，屬于中檔試題4已知為橢圓C的左、右焦點，且點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線交橢圓C于A，B兩點，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，利用已知條件能求出，由此

12、能求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線，由，得，利用韋達定理推導(dǎo)出當不存在時圓面積最大，此時直線方程為試題解析：（1）由已知，可設(shè)橢圓的方程為.因為，所以.所以橢圓的方程為.（2）當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得.設(shè)，則，所以.設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因為的周長為（定值），所以當?shù)拿娣e最大時，內(nèi)切圓面積最大.又，令，則，所以，又當k不存在時，此時，故當k不存在時內(nèi)切圓面積最大，此時直線方程為.考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓的綜合.【方法點晴】本題考查橢圓方程的求法，根據(jù)橢圓的定義設(shè)出橢圓的標準方程，得解；考查三角形內(nèi)切圓面積是否存在最大值的判斷，用到不太常用的三角形內(nèi)切圓半徑公式：，故可得

13、當三角形周長固定時，三角形面積越大內(nèi)切圓面積越大，解題時要認真審題，注意韋達定理和分類討論思想的合理運用，計算難度較大，屬于難題.5（本小題共13分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過點P(0，2)且斜率為k的直線l（）求圓Q的面積；（）求k的取值范圍；（）是否存在常數(shù)k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求明理由【答案】(1)4. (2)(-34【解析】解：（）圓的方程可化為(x-6)2+y故圓的面積為4 -3分（）設(shè)直線l的方程為y=kx+2法一：將直線方程代入圓方程得x2整理得(1+k2)直線與圓交于兩個不同的點A，B等價于=4(k-3)解得

14、-34k0，即k法二：直線l與圓(x-6)2+y|kx-y+2|k化簡得(-8k解得-34k72且a4，【解析】試題分析：（1）借助點在線段F的中垂線上建立等式并化簡即可；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立方程,通過方程有無解的分析析作出推理和判斷即可.試題解析：解: （1）設(shè)(x,y)，依題意，|F|=|，即化簡整理得y2（2）把y=x與y2=4x聯(lián)立，解得(0,0)，(4,4)，則線段若存在C、D兩點，使得、C、D四點共圓，則圓心必在直線y=-x+4上，設(shè)圓心坐標(a,-a+4)，則半徑r=a圓的方程為(x-a)2將x=y24則y(y-4)(y2+4y+32-8a)=0， y1=0 y2+4y+32-

15、8a=0應(yīng)有除y1 0，且32-8a0，42+44+32-8a0，解得a72且存在a72且a4，a8的無數(shù)個圓考點：(1)軌跡方程與探求方法；(2)圓的方程及簡單高次方程的求解等有關(guān)知識的運用.13從拋物線上各點向軸作垂線段，記垂線段中點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；（2）過點的直線交曲線于兩點、，線段的垂直平分線交曲線于兩點、，探究是否存在直線使、四點共圓？若能，請求出圓的方程；若不能，請說明理由【答案】（1）曲線的方程為，曲線是焦點為的拋物線；（2）存在；圓的方程為或【分析】（1）設(shè)拋物線上的任意點為，垂線段的中點為，根據(jù)中點坐標公式得出，代入等式化簡可得出曲線的方

16、程，進而可得出曲線的形狀；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出，求出線段的中點的坐標，進一步求出線段的中垂線的方程，求出，根據(jù)四點共圓結(jié)合垂徑定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，進一步可求得圓的方程，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)拋物線上的任意點為，垂線段的中點為，故，則，代入得，得曲線的方程為，所以曲線是焦點為的拋物線；（2）若直線與軸重合，則直線與曲線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意知，設(shè)、，聯(lián)立，得，則，則，且線段中點的縱坐標為，即，所以線段中點為，因為直線為線段的垂直平分線，可設(shè)直線的方程為，則，故，聯(lián)立，得，設(shè)、，則，故，線段中點為，

17、假設(shè)、四點共圓，則弦的中垂線與弦中垂線的交點必為圓心，因為為線段的中垂線，則可知弦的中點必為圓心，則，在中，所以，則，故，即，解得，即，所以存在直線，使、四點共圓，且圓心為弦的中點，圓的方程為或【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動

18、點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.14在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線為，是拋物線上上一點，且點的橫坐標為，.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線交于、兩點，過點且與直線垂直的直線與準線交于點，設(shè)的中點為，若、四點共圓，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，列出韋達定理，表示出中點的坐標，若、四點共圓，再結(jié)合，得，則即可求出參數(shù)，從而得解；【詳解】解：（1）由拋物線定義，得，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)

19、直線的方程為，代入，得.設(shè)，則，.由，得，所以.因為直線的斜率為，所以直線的斜率為，則直線的方程為.由解得.若、四點共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線的方程為.【點睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.15已知橢圓C：的左右頂點分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動點.（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設(shè)，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點，O為坐標原點，試問：在x軸上是否存在定點T，使得O，M，N，T四點共圓？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析，定值；（2）存在，定點.【分析】（1）由題意知，設(shè)P(x0，y0)，y00，則，然后利用斜率公式求化簡可得結(jié)果；（2）由題意先求出橢圓C的方程為，設(shè)直線AP的方程為，則直線BP的方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可求出，假設(shè)MNO的外接圓恒過定點T(t，0)，t0，然后求出線段MN的垂直平分線所在直線的方程和線段OT的垂直平分線所在直線的方程，從而可求出圓心，再由|OE|=|ME|，可求出的值，進而得O，M，N，T四點共圓【詳解】（1）由題意知，設(shè)P(x0，y0)，y00，則，所以直線AP與BP的斜率之積，即直線AP，BP