多元函數(shù)極值與其求法

1、關(guān)于多元函數(shù)的極值及其求法第1頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義第2頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三例1例例(3)(2)(1)第3頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2、多元函數(shù)取得極值的條件證第4頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三第5頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：第6頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20

2、日，19點(diǎn)35分，星期三第7頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三第8頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三例4 求函數(shù)的極值。解求解方程組：得駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn)第9頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三因此，駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn)第10頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三與一元函數(shù)類(lèi)似，可能的極值點(diǎn)除了駐點(diǎn)之外，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。例如，顯然函數(shù)不存在。第11頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三求最值的一般方法： 將函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比

3、較，其中 最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值第12頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三解令第13頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外， 并無(wú)其他條件.第14頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三實(shí)例：小王有 200 元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急 需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu) 買(mǎi) x 張磁盤(pán)， y 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果， 效果函數(shù)為 U(x, y) = lnx+lny 設(shè)每張磁 盤(pán) 8 元，每盒磁帶

4、10 元，問(wèn)他如何分配這 200 元以達(dá)到最佳效果問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法第15頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值第16頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三求解方程組解出 x, y, z, t 即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).第17頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三解則例6 求表面積為 a2 而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積. 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為 x , y，z. 體積為 V .則問(wèn)題就是條件求函數(shù)的最大值.令下，第18頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35

5、分，星期三則令即由(2), (1)及(3), (2)得第19頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三由(2), (1)及(3), (2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，所以，最大值就在此點(diǎn)處取得。故，最大值最大值一定存在，第20頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三解則由 (1)，(2) 得由 (1)，(3) 得第21頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三將 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。故，最大值第