第1章(3)12 隨機(jī)事件及其概率(二)

1、本節(jié)主要內(nèi)容1.2.1 隨機(jī)事件1.2.2 事件間的關(guān)系及運(yùn)算1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)所謂隨機(jī)事件的概率，概括地說就是用來描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，它是概率論中最基本的概念之一。在概率論的發(fā)展史上，人們?cè)槍?duì)不同的問題，從不同的角度給出了定義概率和計(jì)算概率的各種方法。1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1.頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義【定義1.3】 設(shè)E為任一隨機(jī)試驗(yàn)，A為其中任一事件，在相同條件下，把E獨(dú)立的重復(fù)做n次，nA表示事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)（稱為頻數(shù)）比值fn(A)=nA/n稱為事件A在這n次試驗(yàn)

2、中發(fā)生的頻率頻率有如下性質(zhì) (1) 對(duì)任一事件A，有0 fn(A) 1； (2) 對(duì)必然事件，有fn( ) = 1； (3) 對(duì)互不相容事件A、B，有fn(AB)= fn(A) + fn(B)1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1.頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義將一枚硬幣拋擲 5 、50 、500 次, 各做7 遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗(yàn)序號(hào)1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120

3、.4940.5240.5160.500.5021.2 隨機(jī)事件及其概率波動(dòng)最小隨n的增大, 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1. 頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義歷史上一些概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家的試驗(yàn)從上述數(shù)據(jù)可見：(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性，即對(duì)于同樣的n，所得的f不一定相同;1.2 隨機(jī)事件及其概率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005試驗(yàn)者德 摩根蒲 豐1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1. 頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義歷史上一些概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家的試驗(yàn)從上述數(shù)據(jù)可見：(2)隨n的增大，頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即當(dāng)n逐漸增大時(shí)頻率總是在 0

4、.5 附近擺動(dòng), 且逐漸穩(wěn)定于0.5.1.2 隨機(jī)事件及其概率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005試驗(yàn)者德 摩根蒲 豐1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1. 頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義根據(jù)上述頻率的穩(wěn)定性，可定義頻率的穩(wěn)定數(shù)值為事件發(fā)生的概率：【定義1.4】 設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近波動(dòng)，則稱數(shù)p為事件A的概率，記為：P(A) = p由上例及定義看出：(1) 頻率是依賴于試驗(yàn)的，概率是客觀存在的一個(gè)數(shù)，不依賴于試驗(yàn);1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性

5、質(zhì)1. 頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義根據(jù)上述頻率的穩(wěn)定性，可定義頻率的穩(wěn)定數(shù)值為事件發(fā)生的概率：【定義1.4】 設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近波動(dòng)，則稱數(shù)p為事件A的概率，記為：P(A) = p由上例及定義看出：(2) 概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描述性的，一般不能用來計(jì)算事件的概率，通常只能在試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，用事件出現(xiàn)的頻率來近似計(jì)算事件發(fā)生的概率。1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)1. 頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義根據(jù)頻率和概率的關(guān)系，受頻率性質(zhì)的啟發(fā)，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov于1933年提出了概率的公理化定義，使概率論有了迅速的發(fā)展

6、。1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)2. 概率的公理化定義【定義1.5】 設(shè)是一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，對(duì)于該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(.)滿足下列公理： (1) 非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A) 0； (2) 規(guī)范性：對(duì)于必然事件 ，有P() = 1； (3)可列可加性：設(shè)A1,A2,是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i j，AiAj = ，i，j = 1，2，則有1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)2. 概率的公理化定義 概率的公理化定義使概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，取得了與其他數(shù)學(xué)學(xué)科同等的地位 在公

7、理化的基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論不僅在理論上取得了一系列的突破，也在應(yīng)用上取得了巨大的成就1.2 隨機(jī)事件及其概率學(xué)者生平趣事-KolmogorovKolmogorov（1903-1987）是蘇聯(lián)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，也是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在數(shù)學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域中，都提出了獨(dú)創(chuàng)思想，導(dǎo)入了嶄新方法，而且培養(yǎng)出了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。開始并非在數(shù)學(xué)系，因17歲左右寫了一篇與牛頓力學(xué)有關(guān)的文章到了莫斯科大學(xué)讀書。入學(xué)時(shí)，喜歡歷史，曾寫了一篇出色的歷史學(xué)文章，后一生從事數(shù)學(xué)。1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì) 利用概率的公理化定義，可以導(dǎo)出概率的一些性質(zhì)3. 概率的性質(zhì)(1) 證明：由

8、概率的可列可加性得1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì) 利用概率的公理化定義，可以導(dǎo)出概率的一些性質(zhì)3. 概率的性質(zhì)(1) 問題：事件發(fā)生的概率為0，是否為不可能事件？這個(gè)問題與“事件發(fā)生的概率為1，是否為必然事件？”本質(zhì)相同。作為性質(zhì)1和公理化定義中公理2的反問題，未必成立。 1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)3.概率的性質(zhì)(2) 若A1,A2,，An是兩兩互不相容的事件，則有 證明：由概率的可列可加性得1.2 隨機(jī)事件及其概率概率的有限可加性1.2.3 事件的概率及性質(zhì)3.概率的性質(zhì)(3) 證明：因?yàn)?所以1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性

9、質(zhì)3.概率的性質(zhì)(4)設(shè)A,B為兩個(gè)事件,若BA,則P(A-B)=P(A)-P(B)，P(A)P(B). 證明：因?yàn)锽A 所以 ， 又 得 于是 又因?yàn)?.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)3.概率的性質(zhì) (5) 對(duì)任意兩個(gè)事件A，B，有P(AB)=P(A)P(AB) 證明：因?yàn)锳 B = A AB，且AB A， 所以，由性質(zhì)4得1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)3.概率的性質(zhì) (6)（加法公式）對(duì)于任意兩事件A，B有P(AB)= P(A) + P(B) P(AB) 證明：因AB = A(B AB)， 且A(B AB) = ， 故由性質(zhì)2及性質(zhì)4得1.2 隨機(jī)事

10、件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)3.概率的性質(zhì)加法公式推廣: 三個(gè)事件和的情況n 個(gè)事件和的情況1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)【例1.4】設(shè)事件A，B的概率分別為1/3，1/2在下列二種情況下分別求 的值：(1) A與B互不相容；(2) A B； 解：(1) = P(BA) , 由性質(zhì)5 P(BA) =P(B) P(AB)， 因?yàn)锳B= ，所以 P(AB)=0, = P(B) P(AB) =P(B) =1/21.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)【例1.4】設(shè)事件A，B的概率分別為1/3，1/2在下列二種情況下分別求 的值：(1) A與B互不相容；(2) A B； 解：(2) 因?yàn)锳B，由性質(zhì)4，有 =P(BA)=P(B)P(A)=1/21/3=1/61.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.3 事件的概率及性質(zhì)【例1.5】設(shè)A，B是互不相容的事件，已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，求： 解： 因A，B互不相容，由可列可加性 P(AB)=P(A)+P(B) =0.4+0.5=0.91.2 隨機(jī)事件及其概率小 結(jié)1.