機(jī)械控制工程基礎(chǔ)第二章解析

1、習(xí)題2.1什么是線性系統(tǒng)?其最重要的特點是什么?以下用微分方程表示的系統(tǒng)中,x表示系統(tǒng)輸出,x表示系統(tǒng)輸入,哪些是線性系統(tǒng)?oi(1)xo2xoxo2xo2xi(2)xo2xo2txo2xi(3)xo2xo2xo2xi(4)xo2xoxo2txo2xi解:凡是能用線性微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個最重要特點就是它滿足疊加原理。該題中（2）和（3）是線性系統(tǒng)。2.2圖（題2.2）中三同分別表示了三個機(jī)械系統(tǒng)。求出它們各自的微分方程，圖中x表示輸入位移，x表示輸出位移，假設(shè)輸出端無io負(fù)載效應(yīng)。圖(題2.2)解:(1)對圖(a)所示系統(tǒng)，由牛頓定律有c1(xixo)c2xomxo即

2、mxo(c1c2)xoc1xi(2)對圖(b)所示系統(tǒng)，引入一中間變量x,并由牛頓定律有(xix)k1c(xxo)(1)c(xxo)k2xo(2)除掉中間變量有c(k1k2)xok1k2xock1xi(3)對圖(c)所示系統(tǒng)，由牛頓定律有即c(xicxoxo)(k1k1(xik2)xoxo)cxik2xok1xi2.3求出圖(題2.3)所示電系統(tǒng)的微分方程。圖（題2.3）解:(1)對圖(a)所示系統(tǒng),設(shè)i為流過R的電流,i為總電流,則有111uoR2iidtuiuoR1i1uiuo1(ii1)dtC1除掉中間變量,并化簡有C1R2uo(1R1C1)uo1R2C2uoC2R2C1R2ui(R2C

3、1)ui1uiR1C2C2R1對圖(b)所示系統(tǒng)，設(shè)i為電流，則有uiuoR1i1idtC11uoC2idtR2i除掉中間變量,并化簡有(R1R2)uo(11)uoR2ui1uiC1C2C22.4求圖(題2.4)所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程。圖中M為輸入轉(zhuǎn)矩,Cm為圓周阻尼，J為轉(zhuǎn)動慣量。解：設(shè)系統(tǒng)輸入為M（即），輸出(即)，分別對圓盤和質(zhì)塊進(jìn)行動力學(xué)解析，列寫動力學(xué)方程以下：MJCmRk(Rx)k(Rx)mxcx除掉中間變量x,即可獲取系統(tǒng)動力學(xué)方程mJ(4)22Cm）(mCmcJ)(RkmCmcKJ)k（cRmMcMKM2.5輸出y(t)與輸入x(t)的關(guān)系為y(t)=2x(t)+0.5x3(t

4、)。（1）求當(dāng)工作點為x=0,x=1,x=2時相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)時輸出值；ooo2）在這些工作點處作小偏差線性化模型，并以對工作的偏差來定義x和y，寫出新的線性化模型。解:(1)將xo=0,xo=1,xo=2分別代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中,即當(dāng)工作點為xo=0,xo=1,xo=2時相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出值分別為yo0,y02.5,yo8。依照非線性系統(tǒng)線性化的方法有，在工作點(xo,yo)周邊,將非線性函數(shù)張開成泰勒級數(shù),并略去高階項得yo32oxy2xo0.5xo(21.5x)|xxy(21.5x2)|xxox若令xx,yy有y(221.5x0)x當(dāng)工作點為xo0時,y(221.5x0)x

5、2x當(dāng)工作點為xo1時,y(21.5x02)x3.5x當(dāng)工作點為xo2時,y(228x1.5x0)x2p2.6已知滑閥節(jié)流口流量方程式為Qcwx，式中Q為經(jīng)過v節(jié)流閥流口的流量；p為節(jié)流閥流口的前后油壓差；xv為節(jié)流閥的位移量；c為疏量系數(shù)；w為節(jié)流口面積梯度；為油密度。試以Q與p為變量（立刻Q作為P的函數(shù)）將節(jié)流閥流量方程線性化。解：利用小偏差線性化的看法，將函數(shù)Q=F(xv，p)在預(yù)定工作點F(o，po)處按泰勒級數(shù)張開為xQF(xvo,po)(F)(xvo,po)xv(F)(xvo,po)pxvP除掉高階項，有QF(xvo,po)(F)(xvo,po)xv(F)(xvo,po)pxvPQ

6、F(xv,p)F(xvo,po)FFF(xvo,po)()(xvo,po)xv(P)(xvo,po)pF(xvo,po)xvFxv(F)(xvo,po)p()(xvo,po)Pxv1(F)（|p）2Fvo,p）若令()（|Kx，Kx，ooxvvo,pQK1xvK2p將上式改寫為增量方程的形式QK1xvK2p2.7已知系統(tǒng)的動力學(xué)方程以下,試寫出它們的傳達(dá)函數(shù)Y(s)/R(s)。（1）y(t)15y(t)50y(t)500y(t)r(t)2r(t)（2）5y(t)25y(t)0.5r(t)（3）y(t)25y(t)0.5r(t)（4）y(t)3y(t)6y(t)4y(t)dt4r(t)解：依照傳

7、達(dá)函數(shù)的定義，求系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)，只需將其動力學(xué)方程兩邊分別在零初始條件下進(jìn)行拉式變換，爾后求Y(s)/R(s)。(1)3250sY(s)500Y(s)2R(s)2sR(s)sY(s)15sY(s)s22sY(s)/R(s)s215s250s500s(2)225sY(s)0.5sR(s)5sY(s)Y(s)/R(s)0.5s5s225s(3)225SY(s)0.5R(s)sY(S)Y(S)/R(s)0.5s225s(4)241Y(s)4Y(s)sY(s)3sY(S)6Y(s)sY(s)/R(s)4ss33s26s42.8如圖（題2.8）為汽車或摩托車懸浮系統(tǒng)簡化的物理模型，試以位移x為輸入量，位

8、移y為輸出量，求系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)Y(s)/X(s)。2.9試解析當(dāng)反響環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳達(dá)函數(shù)G(s)分別為慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)時，輸入、輸出的閉環(huán)傳達(dá)函數(shù)。解：由于慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)的傳達(dá)函數(shù)分別為G(s)K,G(s)Ts,G(s)K,而閉環(huán)傳達(dá)函數(shù)為Ts1sG(s)GB(s),則1G(s)H(s)(1)當(dāng)反響環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳達(dá)函數(shù)G(s)為慣性環(huán)節(jié)時，G(s)KKTs1GB(s)KTs1K1G(s)H(s)1Ts1(2)當(dāng)反響環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳達(dá)函數(shù)G(s)為微分環(huán)節(jié)時，GB(s)G(s)Ts1G(s)H(s)1Ts(3)當(dāng)反響環(huán)節(jié)H(s)=

9、1,前向通道傳達(dá)函數(shù)G(s)為積分環(huán)節(jié)時，G(s)KKGB(s)s1G(s)H(s)1KsKs2.10證明圖（題2.10）與圖（題2.3（a）所示系統(tǒng)是相似系統(tǒng)（即證明兩系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)擁有同樣形式）。解：對題2.4(a)系統(tǒng)，可列出相應(yīng)的方程。uo21idt(1)C2RuiuoR1i1(2)uiuo1(ii1)dt(3)C1對以上三式分別作Laplce別換，并注意到初始條件為零,即I(0)I(0)0I1(0)I2(0)0則UO(s)R2I(s)I(s)(R21)I(s)（）C2sC2s4Ui(s)UO(S)R1Ii(s)（5）Ui(s)UO(S)I(s)I(s)（6）C1sC1s111(5),

10、得C1sUi(s)U0(s)C1sI1(s)(7)1sCR1I(s)R(6)R1,得R1Ui(s)U0(s)1(s)(8)C1sC1sI(7)(8),得11)i(s)0(s)R1(s)(UUIC1sC1s即Ui(s)UO(s)R1C1sI(s)R1I(s)1s1CsC1C11RR則Ui(s)U0(s)1R1I(s)(9)CR1將(4)式中的U(s)代入(9)式01RUi(s)(R2)I(s)1I(s)C2s1R1C1(21R1)I(s)RC2s1R1C1s再用(4)式與上式對照以消去I(s),即得電系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)為U0(s)(R2G(s)1U1(s)(R2C2sR21R2C2s)I(s)C2s

11、R1)I(s)(11C1s)R1C2sR1(1R1C1s)而本題中，引入中間變量x,依動力學(xué)知識有(xi-x0)k2(xixo)c2(xo-x)c1(xixo)c1k1x對上二式分別進(jìn)行拉式變換有k2XiX0(s)sc2Xi(s)-X0(s)XO(s)X(s)sc1c1sX0(s)X(s)k1c1s除掉X(s)有X0(s)k2c2sc2k2sk1c1sG(s)Xi(s)c2sk2c1k2k1c1sc2s1c1sk1比較兩系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)有k211c2R2c1R1k1C2C1故這兩個系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。2.11一齒輪系如圖（題2.11）所示。圖中，z、z、z和z分別1234為各齒輪齒數(shù)；J1、J2、和

12、J3表示各種傳動軸上的轉(zhuǎn)動慣量，1、2和3為各軸的角位移；Mm是電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩。試列寫折算到電動軸上的齒輪系的運(yùn)動方程。2.12求圖（題2.12）所示兩系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)。圖（題2.12）解：(1)由圖(a)中系統(tǒng)，可得動力學(xué)方程為xi(t)xo(t)kmxo(t)cxo(t)作Laplce別換，得Xi(s)Xo(s)kms2Xo(s)csXo(s)G(s)X0(s)/Xi(s)2則有k/(mscsk)(2)由圖(b)中系統(tǒng),設(shè)i為電網(wǎng)絡(luò)的電流，可得方程為uiRiLdi1idtdtCuo1idtC作Laplce別換，得Ui(s)RI(s)LsI(s)1I(s)CsUo(s)1I(s)Cs除掉中間變

13、量有G(s)U0(s)/Ui(s)12RCs1LCs2.13某直流調(diào)速系統(tǒng)如圖（題2.13）所示，us為給定輸入量，電動機(jī)轉(zhuǎn)速n為系統(tǒng)的輸出量，電動機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL為系統(tǒng)的擾動量。各環(huán)節(jié)的微分方程：比較環(huán)節(jié)unus-ufn比率調(diào)治器ucKkun（Kk為放大系數(shù)）晶閘管觸發(fā)整流裝置udKkuc(Ks為整流增益)電動機(jī)電樞回路udiaRddiaeLddt(Rd為電樞回路電阻,Ld為電樞回路電感,ia為電樞電流)電樞反電勢eKdn(Kd為反電勢系數(shù))電磁轉(zhuǎn)矩MeKmia(Km為轉(zhuǎn)矩系數(shù))負(fù)載平衡方程MeJGdnTL(JG為轉(zhuǎn)動慣量，TL為負(fù)dt載轉(zhuǎn)矩)測速電動機(jī)ufnn(為轉(zhuǎn)速反響系數(shù))試依照所給出

14、的微分方程，繪制各環(huán)節(jié)相應(yīng)的傳達(dá)函數(shù)方框圖和控制系數(shù)的傳達(dá)函數(shù)方框圖，并由方框圖求取傳達(dá)函數(shù)N(s)和N(s)Us(s)。TL(s)2.14試?yán)L制圖（題2.14）所示機(jī)械系統(tǒng)傳達(dá)函數(shù)方框圖。2.15若系統(tǒng)傳達(dá)函數(shù)方框圖為圖（題2.15）。求以R(s)為輸入，當(dāng)N(s)0時，分別以C(s)、Y(s)、B(s)、E(s)為輸出的閉環(huán)傳達(dá)函數(shù)；求以N(s)為輸入，當(dāng)R(s)0時，分別以C(s)、Y(s)、B(s)、E(s)為輸出的閉環(huán)傳達(dá)函數(shù)；比較以上各傳達(dá)函數(shù)的分母，從中可以得出什么結(jié)論？圖(題2.15)解:(1)求以R(s)為輸入，當(dāng)N(s)0時:若以C(s)為輸出,有GC(s)C(s)G1(s

15、)G(s)12R(s)G1(s)G2(s)H(s)若以Y(s)為輸出,有GY(s)Y(s)G1(s)1G1(s)G2(s)H(s)R(s)若以B(s)為輸出,有GB(s)B(s)G1(s)G(s)H(s)2R(s)1G1(s)G2(s)H(s)若以E(s)為輸出,有E(s)1GE(s)1(s)2(s)H(s)R(s)1GG(2)求以N(s)為輸入，當(dāng)R(s)0時:若以C(s)為輸出,有GC(s)C(s)G2(s)1G1(s)G2(s)H(s)R(s)若以Y(s)為輸出,有GY(s)Y(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)11(s)G2(s)H(s)G若以B(s)為輸出,有GB(s)B(s)

16、G2(s)H(s)11(s)2(s)H(s)R(s)GG若以E(s)為輸出,有GE(s)E(s)G2(s)H(s)1G1(s)G2(s)H(s)R(s)(3)從上可知：對于同一個閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)輸入的取法不同樣時，前向通道的傳達(dá)出數(shù)不同樣，反響回路的傳達(dá)函數(shù)不同樣，系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)也不同樣，但系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)的分母保持不變，這是由于這一分母反響了系統(tǒng)的固有特點，而與外界沒關(guān)。2.16已知某系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)方框圖為圖（題2.16），其中，Xi(s)為輸入，XO(s)為輸出,N(s)為攪亂，試問：G(s)為何值時，系統(tǒng)可以除掉攪亂的影響。圖（題2.16）解：方法一：依照線性系統(tǒng)的疊加原理，令X(s)0,N(

17、s)為輸i入，系統(tǒng)的輸出為XoN(s)N(s)G1B(s)G(s)K4G2B(s)其中K1K2K3G1B(s)STs1K2K31K1sTs1K3G2B(s)Ts1K2K31K1K1K2K3Ts2sK1K2K3K3sTs2sK1K2K3XoN(s)N(s)G1B(s)G(s)K4G2B(s)K1K2K3G(s)K4sK1K22s123TsKKK令XoN(s)0有G(s)K4sK1K2方法二：令Xi(s)0，N(s)為輸入，則系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)方框圖可以表示成圖（題）所示。圖（題）依照相加點前后搬動的規(guī)則可以將其進(jìn)一步簡化成圖（題2.16.c）和圖（題2.16d）所示的形式。圖（題）圖（題）因此，系統(tǒng)

18、在N(s)為輸入時的傳達(dá)函數(shù)為K1K2K3G(s)K4sGN(s)K1K2Ts2sK1K2K3同樣可得G(s)K4s時，系統(tǒng)可除掉攪亂的影響。K1K22.17系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖(題2.17)所示，求系統(tǒng)傳達(dá)函數(shù)。C(s)(G1G4)G2GB(s)2(1G)R(s)11GG32.18求出（題2.18）所示系統(tǒng)的傳達(dá)函數(shù)XO(s)/Xi(s)。圖(題2.18)解：方法一：利用梅遜公式，可得XO(s)G1G2G3G4GB(s)1G1G2G3G4H3G1G2G3H2G2G3H1G3G4H4Xi(s)方法二：利用方框圖簡化規(guī)則，有圖（題）圖（題）XO(s)G1G2G3G4GB(s)1G1G2G3G4H3G1G2