計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：(4-1)幾何對象與變換-幾何

1、1Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009幾何對象與變換-幾何2Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009基本內(nèi)容介紹幾何要素標(biāo)量向量點(diǎn)給出這些要素間的與坐標(biāo)無關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算定義基本的幾何圖元線段多邊形坐標(biāo)系3Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009二維坐標(biāo)系三維坐標(biāo)系(右手系)三維坐標(biāo)系(左手系)基本幾何要素幾何研究n維空間中對象之間的關(guān)系在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，我們對三

2、維空間中的對象感興趣希望得到一個(gè)幾何形狀的最小集合，根據(jù)這個(gè)集合可以建立起更復(fù)雜的對象需要三個(gè)幾何要素標(biāo)量向量點(diǎn)4Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009與坐標(biāo)無關(guān)的幾何在初等解析幾何的學(xué)習(xí)中，主要應(yīng)用的是直角坐標(biāo)系點(diǎn)在空間中的位置是p = (x,y,z)通過對這些坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)操作導(dǎo)出結(jié)果這種方法不是基于物理的從物理的角度來講，點(diǎn)的存在性是與坐標(biāo)系的具體位置無關(guān)的絕大多數(shù)幾何結(jié)果是不依賴于坐標(biāo)系的歐氏幾何：兩個(gè)三角形全等是指它們有兩個(gè)對應(yīng)邊和夾角相等5Angel: Interactive Computer Graph

3、ics 5E Addison-Wesley 2009標(biāo)量在幾何中需要三個(gè)基本元素標(biāo)量、向量、點(diǎn)標(biāo)量可以定義為集合中的成員，集合中具有兩種運(yùn)算(加法和乘法)，運(yùn)算遵從一些基本的公理(結(jié)合律、交換律、逆)例：實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)全體，通常的加法與乘法標(biāo)量自身沒有幾何屬性6Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009為什么需要向量？場景：樹與照相機(jī)照相機(jī)需要在視平面上形成一幅圖像表示這棵樹。視平面上哪些點(diǎn)需要被激活？透視投影需要利用向量來構(gòu)造7Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison

4、-Wesley 2009北斗七星的當(dāng)前位置及移動(dòng)方向箭頭末尾的位置表示五萬年后各星的位置8Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量物理定義：向量是具有如下兩條性質(zhì)的量方向大小或長度: |v|例：力速度有向線段這也是圖形學(xué)中最重要的例子可以對應(yīng)到其它類型上用小寫字母表示9Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量運(yùn)算每個(gè)向量都有逆同樣長度但是指向相反的方向每個(gè)向量都可以與標(biāo)量相乘有一個(gè)零向量零長度，方向不定兩個(gè)向量的和為向量三角形法則1

5、0Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009(線性)向量空間處理向量的數(shù)學(xué)系統(tǒng)運(yùn)算一：向量-向量加法w = u + v封閉性：u, v V , u + v V交換律：u+v=v+u結(jié)合律：u+(v+w)=(u+v)+w零向量0：u V , u + 0=u加法逆元-u：u +（-u) =011Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009(線性)向量空間運(yùn)算二：標(biāo)量-向量乘法u = v分配律：(u+v) = u+ v(+)u=u+u在向量空間中，表達(dá)

6、式v = u + 2w 3r有意義向量空間例子：有向線段、實(shí)數(shù)的n元組12Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量沒有位置下述向量是相等的因?yàn)樗鼈兙哂邢嗤姆较蚺c長度對幾何而言只有向量空間是不夠的還需要點(diǎn)13Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009點(diǎn)空間中的位置數(shù)學(xué)上，點(diǎn)沒有大小和形狀。用大寫字母表示點(diǎn)與向量之間可進(jìn)行的運(yùn)算點(diǎn)與點(diǎn)相減得到一個(gè)向量等價(jià)地，點(diǎn)與向量相加得到新點(diǎn)14Angel: Interactive Computer Gr

7、aphics 5E Addison-Wesley 2009仿射空間點(diǎn)加上向量構(gòu)造的空間運(yùn)算：向量與向量的加法向量標(biāo)量與向量的乘法向量點(diǎn)與向量的加法點(diǎn)標(biāo)量與標(biāo)量的運(yùn)算標(biāo)量上述運(yùn)算均是與坐標(biāo)無關(guān)的對于任意點(diǎn)，定義1 P = P0 P = 0 (零向量)15Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量與點(diǎn)的線性組合給定n個(gè)向量 , 以及n個(gè)標(biāo)量 , 則由歸納法可以證明 也是向量，稱為這組向量的線性組合給定n個(gè)點(diǎn), 以及n個(gè)標(biāo)量 則是什么？16Angel: Interactive Computer Graphics 5E A

8、ddison-Wesley 2009點(diǎn)的線性組合固定坐標(biāo)系，取定其中的兩點(diǎn)，那么P1+ P2是什么？當(dāng)P1為原點(diǎn)時(shí)，P1+ P2等于P2當(dāng)P1與P2關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，P1+ P2為原點(diǎn)所以P1+ P2的位置與坐標(biāo)系有關(guān)組合系數(shù)不能是任意數(shù)17Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009點(diǎn)的特殊線性組合由歸納法，從“點(diǎn)點(diǎn)向量”和“標(biāo)量向量向量”可知當(dāng)組合系數(shù)和 時(shí)，點(diǎn)的線性組合為向量 P1+ P2= P1+ (P2P1) = 點(diǎn)向量點(diǎn)實(shí)際上， P1+ P2表示兩點(diǎn)的中點(diǎn)，這是與坐標(biāo)無關(guān)的定義當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的線性組合為點(diǎn)，稱為給定點(diǎn)

9、的仿射組合除此之外，其它形式的線性組合沒有與坐標(biāo)無關(guān)的意義18Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009直線考慮具有下述形式的所有點(diǎn)P() = P0+ d即所有過P0點(diǎn)，與P0連線平行于向量d的點(diǎn)19Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009參數(shù)形式上述定義直線的形式稱為參數(shù)形式比其它形式更一般和穩(wěn)定可以推廣到曲線和曲面二維形式顯式：y= mx+ h隱式：ax + by + c = 0參數(shù)形式：x() = x0+ (1 ) x1y() = y0

10、+ (1 ) y120Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009射線與線段如果限定 0, 那么P()就是從P0出發(fā)，方向?yàn)閐 的射線如果采用兩點(diǎn)定義向量d, 那么P() = P0+ (P1P0) = (1 ) P0 + P1當(dāng)0 1，那么就會(huì)得到連接P0與P1兩點(diǎn)的線段21Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009兩點(diǎn)線性插值給定兩點(diǎn)A, B，那么它們的仿射組合P(t) = (1 t) A + tB就定義了過這兩點(diǎn)的一條直線線性插值在藝術(shù)和計(jì)算

11、機(jī)動(dòng)畫有許多有趣的應(yīng)用關(guān)鍵幀22Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009多邊形的變形給定兩個(gè)有同樣數(shù)目頂點(diǎn)的折線，那么利用線性插值可以給出從第一個(gè)折線到第二個(gè)折線的平滑過渡23Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009男人女人24Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009名人臉25Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addi

12、son-Wesley 2009凸體一個(gè)對象為凸的當(dāng)且僅當(dāng)在對象中任何兩點(diǎn)的連接線段也在該對象內(nèi)26Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009仿射凸組合考慮“和”式P = 1P1+ 2P2 + nPn當(dāng)1+ 2+ n=1時(shí)上述和式有意義，此時(shí)結(jié)果就稱為點(diǎn)P1, P2 , Pn的仿射和另外，如果i0，那么得到P1, P2 , Pn的凸包(convex hull)27Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009凸包最小的包含P1, P2 , Pn的凸體

13、可以用“收縮包裝”的方式得到28Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009曲線與曲面曲線是形式為P()的單參數(shù)定義的幾何體，其中的函數(shù)為非線性曲面是由形式為P(, )的兩個(gè)參數(shù)定義的幾何體線性函數(shù)對應(yīng)于平面和多邊形29Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009平面平面是由一個(gè)點(diǎn)與兩個(gè)不平行的向量或者三個(gè)不共線的點(diǎn)確定的30Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009三角形31Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量的內(nèi)積內(nèi)積或點(diǎn)積：uv= |u| |v| cos, 為兩個(gè)向量的夾角uv= 0 uv| u| cos=uv/ |v|是u在v上的正交投影32Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量的外積外積或叉積：u v為向量，其長度等于|u| |v| sin,方向垂直于u, v所在的平面，并且保證u,v, u v成為右手系，其中為兩個(gè)向量的