可轉(zhuǎn)債期權(quán)定價(jià)模型

1、hhhh可轉(zhuǎn)債期權(quán)定價(jià)模型 （二叉樹模型）業(yè)務(wù)說(shuō)明1、可轉(zhuǎn)換公司債券定價(jià)的理論基礎(chǔ)可轉(zhuǎn)換公司債券可以近似的看作是普通債券與股票期權(quán)的組合體。價(jià)格，債券持有者就可以行使美式買權(quán)從而獲利。（該贖回啟動(dòng)價(jià)要高于轉(zhuǎn)股價(jià)格某一回售啟動(dòng)價(jià)格（該回售啟動(dòng)價(jià)要低于轉(zhuǎn)股價(jià)格，債券持有人有權(quán)按一定金額回售給發(fā)行人。所以，回售條款相當(dāng)于債券持有人同時(shí)擁有發(fā)行人出售的一張美式賣權(quán)。式近似表示：可轉(zhuǎn)換公司債券價(jià)值純粹債券價(jià)2、二叉樹法理論（Binomial Theroy）根據(jù)衍生證券定價(jià)的二叉樹法理論BinomialThero S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新值Su 和Sd SSuSd 1P0 tSd 2 t2、Sud Sd 21i t

2、 時(shí)刻，股票價(jià)格有i+1 種可能，它們是：Su Su j d i j ，j=0,1,.,iSu2SuPSS1-PSdSd2圖 1：股票價(jià)格變動(dòng)二叉樹圖期權(quán)價(jià)格的計(jì)算是從樹圖的末端（時(shí)刻T）T 時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值是已知的。例如一個(gè)買權(quán)的價(jià)值為 ma（SX，而一個(gè)賣權(quán)價(jià)值為 maS，0，其中 STTTT tT 時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的期望值用利率r t點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值可由T- t 時(shí)刻的期望值利用利率r節(jié)點(diǎn)就可得到 0 t在這里我們假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的并利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，可以求出以上各個(gè)參數(shù)的數(shù)值，其計(jì)算公式為：ad1P ,u u ddttu e d e a ertt其中：r 為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； 指可轉(zhuǎn)債對(duì)應(yīng)股票價(jià)

3、格每年波動(dòng)率； t 期權(quán)有效期的時(shí)間間隔；u 指二叉樹圖中股票價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)的幅度； d 指二叉樹圖中股票價(jià)格向下運(yùn)動(dòng)的幅度；可以驗(yàn)證，在極限情況下，即 t0 時(shí)，這種股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的二叉樹模型將符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型。因此，股票價(jià)格二叉樹模型就是股票價(jià)格連續(xù)時(shí)間模型的離散形式。計(jì)算示例（一） 假設(shè)前提1、 利率期限結(jié)構(gòu)是平坦的。2、 現(xiàn)金紅利支付為零3、 不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)對(duì)可轉(zhuǎn)換公司債券收益的影響4、 公司理性地執(zhí)行它的贖回期權(quán)（二） 模型中各參數(shù)的確定1、實(shí)際上，r3 2.422.4%作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。2、 指可轉(zhuǎn)債對(duì)應(yīng)股票價(jià)格每年波動(dòng)率，其計(jì)算公式為：每年的交易日數(shù)股價(jià)年波動(dòng)率（Stock Pri

4、ce Volatility）=每交易日股價(jià)波動(dòng)率每年的交易日數(shù)90180（B-S。39100，債券可以在存續(xù)期2115503010。該公司債券的收益率曲線也為水平，收益率為15。（1） 投資人美式買權(quán)價(jià)值的計(jì)算設(shè)定計(jì)算步長(zhǎng)為 1 年，將下列數(shù)據(jù) 30%, r 2.4%,T 0.75 years, t 0.25代入公式，可求得以下參數(shù)：tu et e0.3 1.16180.25d 1/ u 0.86070.25a ert 1.0060a dp u d 0.546778.4210%67.49G156.8410%58.09134.98D5011.59%104.85A11.09%116.18B5012

5、.27%105.56EH58.0910%116.1843.0443.03CI15%13.51%100.0098.0037.0F15%96.3231.88J15%100.00二叉樹上每個(gè)節(jié)點(diǎn)旁邊有三個(gè)數(shù)字，上面的數(shù)字代表股票價(jià)格，中間的數(shù)字代表從后格我們可以首先計(jì)算出圖中所示各個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格。下面我們來(lái)計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)上債券的價(jià)格。在二叉樹末端節(jié)點(diǎn)G、H、I、J 上債券的價(jià)格分別記為Q 、QG、Q 、QI，則：Q 78.42156.84QG 58.09 116.18QQH QI100Q max100,2J 100由于在節(jié)點(diǎn)D 之后，投資者肯定會(huì)將債券轉(zhuǎn)化為股票，因此D 點(diǎn)的折現(xiàn)率就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率

6、10。為了求節(jié)點(diǎn) D 的債券價(jià)格，我們需要計(jì)算由節(jié)點(diǎn) G、H 遞推得到的債券價(jià)格，并和節(jié)點(diǎn) D 的贖回價(jià)格、債券評(píng)價(jià)比較。我們將由節(jié)點(diǎn)G、H 遞推得到的債券價(jià)格記為Q D1 ，則：QD1 0.5467 156.84 0.4533 116.18e 0.10.25 134.98贖回價(jià)格記為QD 2，則：Q115D 2債券平價(jià)記為QD3Q 2 67.49 134.98D3DQD，則：Q Q,QDD1D),QD3 maxmin( 134.98,115),134.98 134.98由于遞推得到的債券價(jià)格與平價(jià)（轉(zhuǎn)換價(jià)值）所謂。公司對(duì)是否贖回債券也無(wú)所謂。在節(jié)點(diǎn)E，折現(xiàn)率為由節(jié)點(diǎn)H、I 遞推得到節(jié)點(diǎn)E 的

7、債券價(jià)格記為QE1，則：Q116.180.453312.27%0.25 105.56E1贖回價(jià)格記為QE 2，則：Q115E 2債券平價(jià)記為QE 3，則：Q 2 50 100E 3DQE，則：Q Q,QEE1E),QE 3 105.56顯然，在這個(gè)價(jià)格水平，債券既不會(huì)轉(zhuǎn)股，也不會(huì)被贖回。在節(jié)點(diǎn) F 之后，由于投資者肯定持有債券到其后贖回，因此，F(xiàn) 點(diǎn)的折現(xiàn)率就是債券的收益率 15。由節(jié)點(diǎn)I、J 遞推得到節(jié)點(diǎn)F 債券的價(jià)格記為QF1，則：Q 100e 0.150.25 96.32F1贖回價(jià)格記為QF 2,則：Q115F 2債券平價(jià)記為Q，則：F 3Q 2 37.04 74.08F 3DQD，則：

8、Q Q,QFF1F),QF maxmin( 96.32,115),96.32 96.32在節(jié)點(diǎn)B，折現(xiàn)率應(yīng)當(dāng)是節(jié)點(diǎn)D 和 E 折現(xiàn)率的加權(quán)平均值，即0.5467100.453312.27=11.03%由節(jié)點(diǎn)D、E 遞推得到債券的價(jià)格記為QB1，則：Q(0.5467134.990.4533105.56)e11.03%0.25 118.34B1贖回價(jià)格記為QB 2，則：Q115B 2債券平價(jià)（轉(zhuǎn)換價(jià)格）記為QB3 2 58.09 116.18BQB，則：Q Q,QB1B),QB3 maxmin( 119.34,115),116.18 116.18顯然，在 B 節(jié)點(diǎn)公司將選擇贖回債券，從而強(qiáng)迫投資者立即轉(zhuǎn)股，得到實(shí)際價(jià)格為116.18。在節(jié)點(diǎn)C，折現(xiàn)率應(yīng)當(dāng)是節(jié)點(diǎn)E 和 F 折現(xiàn)率的加權(quán)平均值，即0.546712.270.45331513.51%由節(jié)點(diǎn)EF遞推得到債券的價(jià)格記為Q，則：C1Q(0.5467105.560.453396.32)e13.51%0.25 98C1債券平價(jià)（轉(zhuǎn)換價(jià)格）記為Q，則：C 2Q115C 2CQC，則：Q Q,Q),Q 98C1C2C3顯然，在C 點(diǎn)債券既不會(huì)轉(zhuǎn)股，也不會(huì)被贖回。為了求AB10%（因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)BA0.5467100.453313.51=11.59%在節(jié)點(diǎn)A 債券的價(jià)格為Q(0.5467100.4533