格林公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用教學(xué)目的：理解和掌握格林公式及應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：格林公式 教學(xué)難點(diǎn)：格林公式的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容：一、Green公式單連通區(qū)域. 設(shè)為單連通區(qū)域，若內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于.稱為單連通區(qū)域（不含洞），否則稱為復(fù)連通區(qū)域（含洞）.規(guī)定平面的邊界曲線的方向，當(dāng)觀看者沿行走時(shí)，內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊，如定理1. 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有=.為的取正向的邊界曲線.即格林公式證：對(duì)既為- 型又為-型區(qū)域：連續(xù)，=： 又 =+ =對(duì)于-型區(qū)域，同理可證 = 原式成立對(duì)于一般情況，可引進(jìn)輔助線分成有限個(gè)符合上述條件區(qū)域，在上應(yīng)用格林公式

2、相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證.幾何應(yīng)用，在格林公式中，取，= 說(shuō)明：1）格林公式對(duì)光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立 2）記法= 3）在一定條件下用二重積分計(jì)算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計(jì)算二重積分. 4）幾何應(yīng)用. 例1 計(jì)算 ： 解： 原式=， ，計(jì)算星形線圍成圖形面積 =二 平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件與路無(wú)關(guān)：是為一開(kāi)區(qū)域，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若內(nèi)任意指定兩點(diǎn)及內(nèi)從到的任意兩條曲線 恒成立，則稱在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).否則與路徑有關(guān). 例1 ：從到的折線從到的直線 解：=3 ：,即 =定理：設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件相互等價(jià)（1）內(nèi)任一閉曲線，=.（

3、2）對(duì)內(nèi)任一曲線，與路徑無(wú)關(guān)（3）在內(nèi)存在某一函數(shù)使在內(nèi)成立.（4），在內(nèi)處處成立.證明：（1）（2） 在內(nèi)任取兩點(diǎn)，及連接的任意兩條曲線， 為內(nèi)一閉曲線 由（1）知，即+=（2）（3）若在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).當(dāng)起點(diǎn)固定在（）點(diǎn)，終點(diǎn)為后，則是的函數(shù)，記為.下證：=的全微分為=. ，連續(xù)，只需證， ， 由定義 =+ =+ =， 即， 同理.（3）（4）若=，往證=， 由具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)故=（4）（1）設(shè)為內(nèi)任一閉曲線，為所圍成的區(qū)域.=.例2曲線積分， 為過(guò)，和點(diǎn)的圓弧.解： 令，則， 與路徑無(wú)關(guān). 取積分路徑為.+=計(jì)算， （1）為以為心的任何圓周. （2）為以任何不含原點(diǎn)的閉曲線.解：（1）

4、令，在除去處的所有點(diǎn)處有=，做以0為圓心，為半徑作足夠小的圓使小圓含在內(nèi)，=，即= （2）= 0三、二元函數(shù)的全微分求積 與路徑無(wú)關(guān)，則為某一函數(shù)的全微分為=+注：有無(wú)窮多個(gè).驗(yàn)證：是某一函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)原函數(shù).解：令，原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取， = 例5 計(jì)算， 為從到再到，是半圓弧 解：令， ， 添加直線，則，原式+= =原式=例6設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，求，其中 為從點(diǎn)到的直線段.解；令， = ，故原積分與路徑無(wú)關(guān)，添構(gòu)成閉路，原式+ 原式= 練習(xí)：1.證明：若為連續(xù)函數(shù)，而為無(wú)重點(diǎn)的按段光滑的閉曲線，則. 2.確定的值，使在不經(jīng)過(guò)直線的區(qū)域上，與路徑無(wú)關(guān)，并求當(dāng)為從點(diǎn)到點(diǎn)的路徑時(shí)的值. ， 3設(shè)，為上的連續(xù)函數(shù)，證明小結(jié)： 1. 格林公式及應(yīng)用，積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題，全微分求積.2. 格林