安徽省江淮名校2019屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理科）試題+Word版含解析

1、數(shù)學（理科）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，進而可得，求解函數(shù)定義域可得集合B，利用交集求解即可.【詳解】因為集合，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了集合的補集及交集的運算，屬于基礎題.2.復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內對應的點位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由題意得，則復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，故選A.3.已知向量，若，則（

2、）A. B. C. -3 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用兩個向量平行的坐標表示列出方程求解即可.【詳解】向量，若，則，解得.故選B.【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎題.4.已知函數(shù)，則是（ ）A. 奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】先判斷定義域是否關于原點對稱，進而利用可得函數(shù)為奇函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調性可判斷函數(shù)的單調性.【詳解】定義域為R，關于原點對稱， ，有，所以是奇函數(shù)，函數(shù)，顯然是減函數(shù).故選C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷，屬于基礎題

3、.5.已知一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐側面的4個三角形面積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】還原幾何體得四棱錐，其中面，分別計算各側面的面積即可得解.【詳解】還原三視圖可得幾何體如圖所示，四棱錐，其中面，.中有，由，所以.所以.所以面積最大值是的面積，等于2.【點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，并計算幾何體的側面積，需要一定的空間想象力，屬于中檔題.6.已知等比數(shù)列的前項和為，且，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式，利用基本量運算可得通項公式，進而可得前n項和，從而可得，令求解即可.【詳解】由，可得；

4、由.兩式作比可得：可得，所以，所以.故選D.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及前n項公式，屬于公式運用的題目，屬于基礎題.7.把函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向左平移，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換可得函數(shù)，再由 ，可解得單調增區(qū)間，即可得解.【詳解】函數(shù) 的圖象上每個點的橫坐標擴大到原來的2倍，可得的圖象，再向左平移，得到函數(shù) 的圖象.由 ，得，.當時，函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間，故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的單調性，注意三角函數(shù)的平移變換，平移是針對自

5、變量“x”而言的，所以需要將x的系數(shù)提出，屬于中檔題.8.若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式的可行域，的幾何意義是可行域內的點與點連線的斜率的倒數(shù)，由斜率的最大值即可得解.【詳解】作出不等式組構成的區(qū)域，的幾何意義是可行域內的點與點連線的斜率的倒數(shù)，由圖象知的斜率最大，由得，所以，此時.故選A.【點睛】常見的非線性目標函數(shù)問題，利用其幾何意義求解：的幾何意義為可行域內的點到直線的距離的倍的幾何意義為可行域內的點到點的距離的平方。的幾何意義為可行域內的點到點的直線的斜率.9.如圖，在矩形中的曲線是，的一部分，點，在矩形內隨機取一點

6、，則此點取自陰影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由幾何概型可知，再利用定積分求陰影面積即可.【詳解】由幾何概型，可得 .【點睛】本題主要考查了幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應用，關鍵是正確計算出陰影部分的面積，屬于中檔題.10.的斜邊等于4，點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】結合三角形及圓的特征可得，進而利用數(shù)量積運算可得最值，從而得解.【詳解】 .注意，所以當與同向時取最大值5，反向時取小值-3.故選C.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積運算，以及幾何圖形中向量問

7、題的求解.屬于中檔題.11.體積為的三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，則球的表面積的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把三棱錐放在長方體中，由面積公式及基本不等式可得，進而有，結合即可得最值.【詳解】把三棱錐放在長方體中，由已知條件容易得到，所以 ，因此，注意，所以球的表面積的最小值是. 故選C.【點睛】本題考查空間幾何體的外接球問題，利用四面體構造長方體是解題的關鍵，利用長方體的體對角線等于球的直徑是本題的突破點12.設函數(shù)的導數(shù)為，且，則當時， （ ）A. 有極大值，無極小值 B. 無極大值，有極小值C. 既有極大值又有極小值 D. 既無極大值又無極小值【答案

8、】B【解析】【分析】由題設，結合條件可得存在使得，再由，可得在上單調遞增，分析導數(shù)的正負，即可得原函數(shù)的極值情況.【詳解】由題設，所以，所以存在使得，又 ，所以在上單調遞增.所以當時，單調遞減，當時，單調遞增.因此，當時，取極小值，但無極大值，故選B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)導數(shù)的應用：研究函數(shù)的極值，但函數(shù)一次求導后導函數(shù)的單調性不明確時，仍可以繼續(xù)求導，即二次求導，屬于常見的處理方式，考查了學生的分析問題的能力，屬于難題.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由是的充分不必要條件，可

9、得是的充分不必要條件，從而得且，列不等式求解即可.【詳解】，由題意是的充分不必要條件，等價于是的充分不必要條件，即，于是且，得，經檢驗.故答案為：.【點睛】邏輯聯(lián)結詞，且：全真為真，一假為假；或：一真為真，全假為假；非：真假相反.本題中是的充分不必要條件，也可以考慮逆否命題來解決.14.已知函數(shù)在上恰有一個最大值點和最小值點，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得的范圍，由條件可知右端點應該在第一個最小值后第二個最大值前，即得，解不等式即可得解.【詳解】由題設，所以應該在第一個最小值后第二個最大值前，所以有，得，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質，考查

10、學生的計算能力，屬于中檔題.在應用函數(shù)y=Asin（ x + ）的圖像和性質研究函數(shù)的單調性和最值時，一般采用的是整體思想，將 x +看做一個整體，地位等同于sinx中的x.15.已知正數(shù)，滿足，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】令，則，可得，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】令，則，所以 ，當且僅當可以取到最大值，此時.故答案為：.【點睛】本題主要考查了均值不等式的性質和應用，解題時要注意公式的正確應用，屬于基礎題在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的

11、條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.16.在四邊形中，則的最大值為_【答案】【解析】試題分析：因為，所以由正弦定理可得，在以為直徑的圓上，要使最大，就是到圓周上動點的最大值，為到圓圓心的距離加半徑，即是，故答案為.考點：1、正弦定理、余弦定理應用；2、圓的性質.【方法點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理應用以及圓的性質，屬于難題. 在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù)，對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件. 對正弦定理也是要注意兩方面的應用：一是邊角互化；二是求邊求角.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過

12、程或演算步驟.） 17.如圖，在梯形中，四邊形是正方形，且，點在線段上. （）求證：平面；（）當平面時，求四棱錐的體積.【答案】（）見解析；（）.【解析】【分析】（）分析梯形的角度可得，即得，又，從而得證；（）設對角線，交于點，連接，易得四邊形是平行四邊形，得，由梯形面積公式可得底面積，高為，利用椎體的體積公式即可得解.【詳解】（）由題設易得，所以，（第2問用）因此，又，和為平面內兩條相交直線，所以平面（）設對角線，交于點，連接，則由平面可得，進而四邊形是平行四邊形，所以.四棱錐的底面積是.由（）知四棱錐的高是所以體積.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明及線面平行的性質，還有椎體的體積公式，

13、考查一定的空間想象力，屬于中檔題.18.如圖，是的外角平分線，且.（）求；（）若，求的長.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由角平分線及互補的關系可得，可得 ，從而得解；（）在和中，分別用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.【詳解】（）由題設，所以 （）在中，由余弦定理，在中，又，所以，進而.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的靈活應用，需要對圖形的幾何特征進行分析，需要一定的能力，屬于中檔題.19.已知數(shù)列的前項的和，是等差數(shù)列，且.（）求數(shù)列的通項公式；（）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由及時，可得，再由是等差數(shù)列，利用基本量運算求解即可；（）由，利用

14、錯位相減法求和即可.【詳解】（），時， ，也符合此式，所以.又，可得，所以（） ，所以 ，所以 ，錯位相減得 ，所以【點睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等.20.在四棱錐中，側面底面，.（）求與平面所成角的正弦值；（）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）在平面內作交于點，可得平面，以點為原點，所在直線分別為，軸，通過解方程求得平面的法向量，利用，即可得解；（）求得平面

15、的法向量，通過求解，即可得二面角銳角的余弦值.【詳解】在平面內作交于點，又側面底面，所以平面，以點為原點，所在直線分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.易得，.由已知條件， ，得，所以點坐標為所以向量，（）設平面的法向量，則 ，設求與平面所成角為，則，（）設平面的法向量則 ，所以，.平面與平面所成的銳二面角的余弦值等于【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角

16、和距離.21.已知.（）求的最小值；（）若對任意都成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（）最小值；（）3.【解析】【分析】（）通過求導分析 函數(shù)單調性即可得最小值；（）由條件可得對任意都成立，記，通過求導分析函數(shù)單調性可得存在唯一的，在取唯一的極小值也是最小值，結合極值的等量關系可得，從而得解.【詳解】（）的定義域是，令 ，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處取唯一的極小值，也是最小值（） （注意），記，則考查函數(shù)， ，在定義域上單調遞增.顯然有，所以存在唯一的使得.在上，單調遞減；在上，單調遞增.所以在取唯一的極小值也是最小值，注意此時 ，所以 ，所以整數(shù)的最大值可以取3【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值與最值，考查了用變量分離求新函數(shù)的最值解決恒成立問題的等價轉化，也考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題22.已知，其中.（）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若恒成立，求的最大值.【答案】（）在上單調遞減，在上單調遞增；（）.【解析】【分析】（）求函數(shù)導數(shù),利用導數(shù)可研究函數(shù)的單調性;（）由條件可得 在上恒成立, 求導得,分別討論,和三種情況,研究的最小值的取值情況,從而即可得解.【詳解】（）時，定義域是全體實數(shù)，求導得，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增（）令 在上恒成立，則 在上恒成立求導得.若，顯然可以任意小，不符合題意.若，則最