2022年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃講義 專題5：函數(shù)與方程【解析版】

1、2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題5函數(shù)與方程真題特點(diǎn)分析：【2021年北大13】方程的整數(shù)解的組數(shù)為_答案：22.【2020年清華29】已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD3【2020武大2】已知方程，則下列判斷：方程沒有正數(shù)解；方程有數(shù)多個(gè)解；方程有一個(gè)正數(shù)解；方程的實(shí)根小于1其中錯(cuò)誤的判斷有_答案：A 根據(jù)對(duì)稱性可選A二、知識(shí)要點(diǎn)拓展一元二次方程有關(guān)公式 1.一元二次方程的根：2.根與系數(shù)的關(guān)系：，（韋達(dá)定理）3.判別式：二函數(shù)不等式恒成立、能成立、恰成立問題 1.函數(shù)不等式的恒成立問題： （1）不等式在集合上恒成立在集合上 （2）不等式在集合上恒成立在集合上 2.函數(shù)

2、不等式的能成立問題： （1）在集合上存在實(shí)數(shù)使不等式成立在集合上 （2）在集合上存在實(shí)數(shù)使不等式成立在集合上 3.函數(shù)不等式的恰成立問題：不等式在集合上恰成立該不等式的解集為三幾個(gè)常見的函數(shù)方程 1.正比例函數(shù),具有性質(zhì)：.2.指數(shù)函數(shù),具有性質(zhì)：.3.對(duì)數(shù)函數(shù),具有性質(zhì)：.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)2.方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)3.零點(diǎn)存在定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。函數(shù)零點(diǎn)的理解：（1）函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題的三種不同表達(dá)形式，方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

3、，亦即函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù) （2） 函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。 （3）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則是在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件。二高次方程韋達(dá)定理三次方程韋達(dá)定理設(shè)三次方程的三個(gè)根為,那么如果一元次多項(xiàng)式的根為,那么以上定理稱為韋達(dá)定理。它確定了根與系數(shù)的關(guān)系。利用韋達(dá)定理，一元n次方程可直接求方程的根。3. 整系數(shù)多項(xiàng)式設(shè)，若，則稱為的根（或零點(diǎn)）；又若是的重因式，則稱為的k重根，當(dāng)時(shí)，稱為的單根。代數(shù)基本定理： 任意一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。根的個(gè)數(shù)定理： 任意一個(gè)次多項(xiàng)式的復(fù)數(shù)根的個(gè)數(shù)（依重?cái)?shù)累加）恰有

4、個(gè)，依次定理可知任何一個(gè)可以分解為，其中，為兩兩不同的復(fù)數(shù)，且。這是多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。虛根成對(duì)定理：設(shè)為的復(fù)根，即，則，于是也是的根。也就是說實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根成對(duì)出現(xiàn)。實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式分解定理：設(shè),則可分解為，其中且。整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根： 設(shè)是的有理根，則，并且可寫，其中。依上述定理可知，若，的首項(xiàng)系數(shù)為1，則的有理根都是整數(shù)根。三、典例精講例1（復(fù)旦）設(shè)三次方程的3個(gè)根互異，且可成等比數(shù)列，則它們的公比是 。 （B） （C） （D）分析與解答：設(shè)這三個(gè)根為，則由三次方程根的韋達(dá)定理有。 故選A。例2（北大）求的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。分析與解答：原方程即 。 。令。由于。所以原方程無實(shí)根

5、。例3（復(fù)旦）設(shè)，是三次方程的3個(gè)根，則總以為根的三次方程是（ ） （B）（C） （D）分析與解答：由三次方程的韋達(dá)定理：而對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)用韋達(dá)定理檢驗(yàn)，只有選項(xiàng)B適合。例4（清華）請(qǐng)證明：方程在為偶數(shù)的時(shí)候沒有實(shí)數(shù)根，在為奇數(shù)的時(shí)候，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根。分析與解答：用歸納法證明：為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且值域?yàn)?；為偶?shù)時(shí)，恒成立。這里。對(duì)求導(dǎo)有 。時(shí)，它在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椤r(shí)，。故時(shí)結(jié)論成立。設(shè)時(shí)結(jié)論成立。則時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。因?yàn)闉槠鏀?shù)，由歸納假設(shè)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?。故方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以對(duì)而言，只有，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以是的最小值，于是（因?yàn)闉榕紨?shù)）。即為偶數(shù)時(shí)恒

6、成立。為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，由歸納假設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增。再注意到為奇數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且值域?yàn)?。綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，故沒有實(shí)數(shù)根；為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，故有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。例5（復(fù)旦）方程的實(shí)根是（ ） 不存在 （B）有一個(gè) （C）有兩個(gè) （D）有三個(gè)分析與解答：此方程屬于超越方程，沒有精確解，只能用數(shù)形結(jié)合法來解決，畫出與的函數(shù)圖象草圖，顯然方程有且只有一個(gè)小于0的解，那么有多少個(gè)大于0的解呢？許多同學(xué)誤認(rèn)為只有一個(gè)。事實(shí)上，認(rèn)真分析后就可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)大于0的解。理由如下：令，則，由于，由零值定理，知開區(qū)間和內(nèi)各有一根。故方程有兩正根一

7、負(fù)根，本題應(yīng)選D。練習(xí)1：函數(shù)與它的反函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)答案C分析與解答：、還有一個(gè)交點(diǎn)在直線上，共3個(gè)。練習(xí)2：關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根其中假命題的個(gè)數(shù)是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3分析：本題是關(guān)于函數(shù)、方程解的選擇題，考查換元法及方程根的討論，屬一題多選型試題，要求考生具有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力.解答：方法一：根據(jù)題意可令，則方程化為，(*)作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：

8、當(dāng)或時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的根，當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，原方程有3個(gè)根.(1)當(dāng)時(shí)，方程(*)有一個(gè)正根，相應(yīng)的原方程的解有2個(gè)；(2)當(dāng)時(shí)，方程(*)有兩個(gè)相等正根，相應(yīng)的原方程的解有4個(gè)；(3)當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不等根或，故此時(shí)原方程有5個(gè)根；(4)當(dāng)時(shí)，方程(*)有兩個(gè)不等正根，且此時(shí)方程(*)有兩正根且均小于1，故相應(yīng)的滿足方程的解有8個(gè)，故選A.方法二：由函數(shù)的圖象(如下圖)及動(dòng)直線可得出答案為.3. 設(shè)，方程的判別式為，由的取值依據(jù)、從而得出解的個(gè)數(shù).4. 設(shè)函數(shù)，利用數(shù)軸標(biāo)根法得出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)，以及函數(shù)的單調(diào)性大體上畫出函數(shù)的圖象，從而得出答案.點(diǎn)評(píng)：方法

9、一、方法二、方法四都是利用函數(shù)圖象求解，但研究的目標(biāo)函數(shù)有別，方法二利用函數(shù)的奇偶性以及交軌法直觀求解，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)形結(jié)合法中值得肯定的一種方法；方法三利用方程的根的個(gè)數(shù)問題去求解，但討論較為復(fù)雜，又是我們的弱點(diǎn)，有利于培養(yǎng)我們思維的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、邏輯推理能力等基本素質(zhì).例6（交大）設(shè)，試證明對(duì)任意實(shí)數(shù)：方程總有相同的實(shí)根；存在，恒有。分析與解答：本題若看成關(guān)于的四次多項(xiàng)式，則很難因式分解，若展開重新整理成關(guān)于的一次多項(xiàng)式：顯然總有相同實(shí)根；當(dāng)時(shí)，。注：本題從另一個(gè)角度，轉(zhuǎn)換參數(shù)，將看成一個(gè)關(guān)于的一次函數(shù)，值得回味！例7（復(fù)旦）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程的實(shí)數(shù)根。分析

10、與解答：解法一：顯然，移項(xiàng)后兩邊四次方是不可取的，不妨先作一個(gè)換元：令，則。，從而，解得：或（舍去）。聯(lián)立，可得：或故或。解法二：由，聯(lián)想到等差中項(xiàng)的概念?？稍O(shè)，則+得：，即，解得：，從而或。例8（交大）已知函數(shù)，且沒有實(shí)數(shù)根。問：是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論。分析與解答：此問題的解法較多，提供以下三種解法。解法一：先介紹一個(gè)引理。引理：若，則。引理的證明：，有，故，由的任意性知?；氐皆}。即，這是一個(gè)4次方程，由上述引理知，一定可以分解出這樣一個(gè)因式。，即由于無實(shí)根。下面只要求出方程是否有實(shí)根即可。，其判別式。又無實(shí)根，故，由此可知。所以方程亦無實(shí)根。綜上，也無實(shí)根。解法二：數(shù)形結(jié)合，圖像法

11、。若，由于無實(shí)根，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，從而y=xf(x)=ax2+bx+c(a0)，故y=xf(x)=ax2+bx+c(a0)yyyyy=xy=xxxoxooxof(x)=axf(x)=ax2+bx+c(a0) 圖4-1 圖4-2同理，若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，也無實(shí)根（如圖4-2）。解法三：反證法。若存在，令，則，即是圖像上的點(diǎn)；又，即也是圖像上的點(diǎn)，顯然這兩點(diǎn)不重合。且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。而與必有交點(diǎn)，從而必有實(shí)數(shù)解，矛盾！注：從解法三可以看出，此題的結(jié)論不只針對(duì)二次函數(shù)是對(duì)的，對(duì)一般的連續(xù)函數(shù)都有一樣的結(jié)論。例9（交大）當(dāng)時(shí)，的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)。證明：若有唯一不動(dòng)點(diǎn)，則也有唯一不動(dòng)點(diǎn)。分析與解答：不妨設(shè)

12、是的唯一不動(dòng)點(diǎn)，即。令，則，那么，而，故，這說明也是的不動(dòng)點(diǎn)。又只有唯一不動(dòng)點(diǎn)知，。從而，這說明也是的不動(dòng)點(diǎn)，存在性得證。下證唯一性：若還有另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即，則，這說明還有另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，與題設(shè)矛盾！注:利用不動(dòng)點(diǎn)原理可以解決某些問題，比如某類遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題，不動(dòng)點(diǎn)問題也是自主招生考試中的熱點(diǎn)問題之一。四、重點(diǎn)總結(jié)掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：方程法，圖像法，定理法。注意在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能大于1個(gè)。對(duì)于解無理方程，需要注意利用配方法，換元法，倒數(shù)法以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去解方程。關(guān)于三次方程或者高次方程，巧妙利用韋達(dá)定理，不同方程可以利用換元將根轉(zhuǎn)化，便于解方程。五、強(qiáng)化訓(xùn)練(A組)1.

13、方程的實(shí)數(shù)解為 【解析】利用換元思想，設(shè)代入原方程2. 方程組共有 組實(shí)數(shù)解?！窘馕觥坑傻?，且可以變形為，令，則或，進(jìn)一步求得，。所以方程組共有4組實(shí)數(shù)解。3. 已知方程，其中兩個(gè)滿足條件，則此方程的根為 ?！窘馕觥?，則方程的根為原方程各根的倒數(shù)，即方程有二根滿足條件。設(shè)其另一根為，由根與系數(shù)的關(guān)系得，。由此得且。又由根與系數(shù)的關(guān)系知為方程的根，解之得的值為。故原方程的根為。4. 求一切實(shí)數(shù)P，使得三次方程的三個(gè)根均為自然數(shù)。【解析】因?yàn)闉樵匠痰母?，原問題等價(jià)于 的兩個(gè)根均為自然數(shù)。設(shè)是方程的兩個(gè)根，則，消去參數(shù)P，得。顯然，是的模5同余于4的正因子，即或229，即或，因此，5. 解方程：【

14、解析】?jī)蛇吶∫?為底的對(duì)數(shù)得：即：構(gòu)造函數(shù)：所以：易得是奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，所以：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，為原方程的根。此題較繁瑣，既有無理式，又有指數(shù)式，但解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)方程的過程，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵?？偨Y(jié)：此題關(guān)鍵在于等式右端的處理，我們需要將自變量從指數(shù)位置上“搬下來”，所以兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)方程，然后利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為整式方程。6. 試求多項(xiàng)式 的有理根【解析】利用換元法，令，代入得現(xiàn)分析函數(shù) 的有理根，得到?jīng)]有正根。利用韋達(dá)定理可得：是其全部有理根。所以的有理根為。7. 已知為方程的根，則的值為 。 【解析】。故方程的根為。因此方程的。運(yùn)用此方程經(jīng)簡(jiǎn)單運(yùn)算可得8. 解方程：?！窘馕觥吭匠袒癁椋?，構(gòu)造函數(shù)，原方程等價(jià)于。而依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，于是又，為原方程的解。（B組）1.已知多項(xiàng)式的四個(gè)根中，有兩個(gè)根的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，試求的有理數(shù)根。【解析】設(shè)的四個(gè)根為，以代既得的根。于是，有公共根。因 ，顯然 ，再將去除得無實(shí)根，故多項(xiàng)式的有理根是。2. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將適合且使關(guān)于t的方程沒有實(shí)數(shù)根的點(diǎn)所成的集合記為N，則由點(diǎn)集N所成區(qū)域的面積為 。A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 8