專題07 雙曲線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點(diǎn)專題突破（全國通用）（解析版）

1、專題07 雙曲線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長問題一、單選題1設(shè)，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足，則的面積為（ ）A2BC4D【解析】由題意，雙曲線，可得，則，因為點(diǎn)在雙曲線上，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由雙曲線的定義可得，又因為，可得，即，又由，可得，解得，所以的面積為.故選：C.2已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為，由得，則，不妨假設(shè)，則，由圖象的對稱性可知，可化為，即，解得，故雙曲線方程為：，故選：C3過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：y21相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|（

2、 ）A2B2C3D4【解析】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因為P(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1x28，解得k1.所以x1x210.所以|AB|4.故選:D.解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因為P(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直線AB的斜率k1.則直線AB的方程

3、為yx2.由消去y并整理，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|4.故選：D4已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，則截得的弦長（ ）ABC10D【解析】雙曲線：的一條漸近線方程是，即，左焦點(diǎn)，雙曲線方程為，直線的方程為，設(shè)，由，消可得，故選:C5已知雙曲線C : (a0，b0)， 過點(diǎn)P(3，6) 的直線與C相交于A， B兩點(diǎn)， 且AB的中點(diǎn)為N(12，15)， 則雙曲線C的離心率為（ ）A2B3CD【解析】設(shè)，由已知可得，相減化簡可得，又AB的中點(diǎn)N(12,15)，直線AB過點(diǎn)P(3,6)， ， ， ， 離心率，故選：C.6已知雙

4、曲線C：，經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）A8xy150B8xy170C4xy90D4xy70【解析】設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則兩式相減得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因為M(2，1)是線段AB的中點(diǎn)，所以x1x24，y1y22.所以16(x1x2)2(y1y2)0，所以kAB8，故直線l的方程為y18(x2)，即8xy150.故選：A7已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，過作軸的垂線交雙曲線的于，兩點(diǎn)，若的周長為25，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD【解析】設(shè)，因為垂直x軸，所以，又A、B

5、在雙曲線C上，所以，又，所以，所以，所以的周長為=，所以或（舍）所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：A8設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若且的面積為,則C的方程為ABCD【解析】為雙曲線的一條漸近線，故設(shè)雙曲線方程為，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為在上，且，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為到直線的距離，故，故選：二、多選題9雙曲線的方程為，分別為左右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且，直線：與交于A，兩點(diǎn)，則（ ）A或B的離心率為C的漸近線與圓相切D滿足的直線有3條【解析】由雙曲線的方程為，則在雙曲線中 選項A，當(dāng)點(diǎn)在右支上時，由，所以點(diǎn)在左支上，則，所以選項A不正確.選項B.雙曲線的離心率為，所以

6、選項B不正確.選項C.雙曲線的漸近線方程為 圓的半徑為1，圓心為到漸近線的距離為 所以的漸近線與圓相切，故選項C正確.選項D. 由直線：恒過點(diǎn)，即直線：過雙曲線的右焦點(diǎn).若直線與雙曲線的右支相交于A，兩點(diǎn)，當(dāng)軸時，由，所以此時滿足條件的直線有2條.若直線與雙曲線的左、右支各有一個交點(diǎn)，此時 則滿足條件的直線即為，故此時只有一條直線滿足條件.綜上所述：滿足條件的直線有3條，故選項D正確故選：CD10已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的動直線與相交于，兩點(diǎn)，則（ ）A曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)B曲線的離心率為，漸近線方程為C的最小值為1D滿足的直線有且僅有4條【解析】對于A：由知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由知橢圓的焦點(diǎn)

7、在軸上，所以焦點(diǎn)不相同，故選項A不正確；對于B：由雙曲線可得，所以，所以雙曲線的離心率為，漸進(jìn)線方程為，即，故選項B正確；對于C：當(dāng)，兩點(diǎn)位于雙曲線的異支時，直線的斜率為時最小，此時，兩點(diǎn)分別為雙曲線的左右頂點(diǎn)，此時，當(dāng)，兩點(diǎn)位于雙曲線的同支時，直線的斜率不存在時最小，直線的方程為代入可得，所以，所以的最小值為1，故選項C正確；對于D：由選項C知，當(dāng)，兩點(diǎn)位于雙曲線的異支時，此時只有一條，當(dāng)，兩點(diǎn)位于雙曲線的同支時，根據(jù)對稱性可知，此時存在兩條直線使得，所以滿足的直線有且僅有條.故選項D不正確；故選：BC.11已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，若為等邊三

8、角形，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）A雙曲線C的離心率為B的面積為C的內(nèi)心在直線上D內(nèi)切圓半徑為【解析】對于C，設(shè)的內(nèi)心為I，作過作的垂線，垂足分別為，如圖，則，所以，所以的內(nèi)心在直線上，故C正確；為等邊三角形,若在同一支，由對稱性知軸，.,；, 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得；若分別在左右兩支，則，則，解得，離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得；所以結(jié)論一定正確的是BC.故選：BC.12已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線分別交軸與雙曲線右支于點(diǎn)，下列判斷正確的是（ ）ABC的離心率等于D的漸近線方程為【解析】，即為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，A錯誤，B正確；由知：，又，即，解得：，C正確；，的漸近

9、線方程為，D正確.故選：BCD.三、填空題13過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為_.【解析】過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，兩式相減可得：，因為為的中點(diǎn)，則，所以直線的方程為，即為故答案為：14已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則_.【解析】依題意，設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義、余弦定理、三角形的面積公式得，由于，所以，所以.故答案為：15已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由雙曲線定義得又，解得：，為以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，解得：，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：16已知雙

10、曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時，四邊形的面積為_.【解析】設(shè)，由，得，由韋達(dá)定理得，所以，當(dāng)時，有最小值，設(shè)到直線的距離分別為，所以四邊形的面積為四、解答題17已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足條件記動點(diǎn)的軌跡為（1）求的方程；（2）過曲線的一個焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求【解析】（1）因為，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實軸長為的雙曲線，所以，所以，所以的方程為：；（2）不妨設(shè)焦點(diǎn)，則直線：由消去得：設(shè)，則，所以18已知雙曲線的離心率為，且其頂點(diǎn)到其漸近線的距離為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的值.【解析】（1）由題得頂點(diǎn)到漸近線，即的距離為，

11、即，離心率，又，則可解得，故雙曲線方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立可得，則，解得，則，解得.19已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方）（1）若，求直線l的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值【解析】（1）設(shè)直線方程為，由過右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則，由點(diǎn)P在x軸上方，則直線l方程為（2）由方程可得，設(shè)，則，所以 ,所以要證為定值，只需證為定值，由（1）可知，為定值20已知過點(diǎn)的雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是.（1）求雙曲線的方程；（2）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與雙曲線的兩支各有一個交點(diǎn)

12、，且交點(diǎn)分別是，的面積為，求實數(shù)的值.【解析】（1）因為雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是，所以可設(shè)雙曲線的方程是，則，解得.所以雙曲線的方程是.（2）由消去整理，得.由題意知解得且.設(shè)，則，.因為與雙曲線的交點(diǎn)分別在左右兩支上，所以，所以，所以，則.所以，即，解得或，又，所以.21直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求與滿足的關(guān)系；（2）求證：點(diǎn)到直線的距離是定值，并求的最小值【解析】（1）設(shè)點(diǎn)A,B,聯(lián)立消得,由得代入化簡可得和滿足的關(guān)系為:;（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得:,由(1)得代入可解得為定值;由直線與雙曲線交點(diǎn)弦弦長公式可得:,令(t3)化簡可得,由t3可得當(dāng),t=3時.22已知圓錐曲線的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且離心率為；（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在條件（2）下，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值【解析】（1）由e=知，曲線E是以F1（，0），F(xiàn)2（，0）為焦點(diǎn)的雙曲線，且c=，解得，b2=21=1，故雙曲線E的方程是x2y2=1 （2）由消去整理得設(shè)A（x1，y1）