廣義坐標形式的虛位移原理課件

1、第4節(jié)廣義坐標形式的靜力學普遍方程第4節(jié)廣義坐標形式的靜力學普遍方程靜力學普遍方程的特點作為對比，單個質(zhì)點平衡時F=0在質(zhì)點系中，通常受某些約束，各點的虛位移不獨立，因此靜力學普遍方程的特點作為對比，單個質(zhì)點平衡時F=0在質(zhì)點系 若坐標獨立，其虛位移（變分）是否獨立？今天的課堂內(nèi)容，就是解決這樣幾個問題：廣義坐標的概念自由度的概念如果虛位移都是獨立的，會有什么結(jié)果？怎樣選取獨立的坐標？廣義力的概念不獨立 若坐標獨立，其虛位移（變分）是否獨立？今天的課堂內(nèi)容，就能夠唯一地確定質(zhì)系可能位置的獨立參數(shù)稱為廣義坐標。廣義坐標數(shù)為：根據(jù)需要可以任選k個可以確定質(zhì)系可能位置的獨立參數(shù) 作為廣義坐標，它們可

2、以是距離、角度、面積等。廣義坐標空間質(zhì)點系平面質(zhì)點系N質(zhì)點的數(shù)目；r約束方程的個數(shù)空間剛體系平面剛體系N剛體的數(shù)目；r約束方程的個數(shù)能夠唯一地確定質(zhì)系可能位置的獨立參數(shù)稱為廣義坐標。廣義坐標數(shù)實例分析利用廣義坐標描述質(zhì)系運動，幾何約束自然滿足OxyrlAB把A、B看成是兩個可運動的質(zhì)點，廣義坐標數(shù)為：N = 2OA、AB長度為約束，B點上下運動也受約束，共有3個約束方程r = 3如果考慮系統(tǒng)有A、B、O共3個質(zhì)點，N3，則約束也增加，r5，廣義坐標數(shù)k2Nr1因此，在考慮廣義坐標系時，只需考慮運動的質(zhì)點實例分析利用廣義坐標描述質(zhì)系運動，幾何約束自然滿足Oxyrl另一個問題：廣義坐標獨立，但是其

3、變分是否獨立？OxyrlAB如果把桿OA、桿AB、滑塊B看成是剛體，則原先的A、B、O點看成是約束，廣義自由度該如何計算？3個剛體，N3約束方程：每個平面鉸鏈有2個約束方程，共6個；對滑塊B，不能轉(zhuǎn)動，不能上下運動，有2個約束方程；r = 6 + 2 = 8廣義坐標數(shù)目K = 3N r = 9 8 = 1廣義坐標的計算有不同的方法，結(jié)果都應該相同另一個問題：廣義坐標獨立，但是其變分是否獨立？OxyrlAB獨立的虛位移數(shù)就是質(zhì)系的自由度。自由度N 質(zhì)點總數(shù) r 完整約束的總數(shù)； s 非完整約束的總數(shù)；自由度數(shù)目比較：廣義坐標數(shù)為：如果是完整約束，kn如果是非完整約束，kn獨立的虛位移數(shù)就是質(zhì)系的

4、自由度。自由度N 質(zhì)點總數(shù) 自由完整約束的例子OxyrlAB廣義坐標數(shù)目為1，自由度數(shù)為1剛性桿廣義坐標數(shù)目為1，自由度數(shù)為1彈簧廣義坐標數(shù)目為2，自由度數(shù)為2完整約束的例子OxyrlAB廣義坐標數(shù)目為1，剛性桿廣義坐標為了描述圓球在水平面上作純滾動，獨立的參數(shù)為非完整約束的例子獨立的廣義坐標數(shù)為5；自由度為3。為了描述圓球在水平面上作純滾動，獨立的參數(shù)為非完整約束的例子廣義坐標形式的靜力學普遍方程廣義坐標形式的靜力學普遍方程Qj 稱為對應于廣義坐標 qj 的廣義力。廣義力是廣義坐標和時間的函數(shù)。廣義力是主動力的某種代數(shù)表達式，但不一定具有力的量綱。廣義力和廣義坐標變分的乘積一定具有功的量綱。

5、廣義力與真實力相比，數(shù)目大為減少。Qj 稱為對應于廣義坐標 qj 的廣義力。廣義力是廣義坐具有完整理想約束的質(zhì)系，其平衡的充分必要條件是：所有的廣義力等于零。靜力學普遍方程上述結(jié)論的條件是什么？廣義坐標獨立，與廣義坐標的變分獨立，是否是一回事？具有完整理想約束的質(zhì)系，其平衡的充分必要條件是：所有的廣義力例1惰鉗機構(gòu)由六根長桿和兩根短桿組成，長桿長2a，短桿長a，各桿之間用鉸鏈相連。它在頂部受力P的作用，問下部力Q的大小為多少才能使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。圖中 為已知角。例1惰鉗機構(gòu)由六根長桿和兩根短桿組成，長桿長2a，短桿長a，解取為廣義坐標解取為廣義坐標例2均質(zhì)桿OA和AB用鉸A連接，用鉸O固定。

6、兩桿的長度為 和 ，重量為均為P 。在B端作用一水平力 ，求平衡時兩桿與豎直方向夾角例2均質(zhì)桿OA和AB用鉸A連接，用鉸O固定。兩桿的長度為 取a、b 為廣義坐標解 解析法取a、b 為廣義坐標解 解析法廣義坐標形式的虛位移原理課件解 幾何法首先取 解 幾何法首先取 再取再取例3已知： m1, m2, M, , , 且接觸面光滑。求：平衡時， m1, m2, M 的關(guān)系。 M例3已知： m1, m2, M, , , 且接觸面光滑。解二自由度的平衡問題選獨立的廣義坐標 x1, x2m2gm1gMgM解二自由度的平衡問題選獨立的廣義坐標 x1, x2m2gm1第5節(jié)主動力有勢情況下的靜力學普遍方程第

7、5節(jié)主動力有勢情況下的靜力學普遍方程力場若在空間某區(qū)域，質(zhì)點所受的作用力只依賴于空間位置和時間，而與其速度無關(guān)，則稱該空間區(qū)域存在力場，如重力場、萬有引力場、彈性力場、電場、磁場等。若存在標量函數(shù)V，只依賴于質(zhì)點Pi的坐標xi、 yi、 zi，并且質(zhì)點Pi在力場中所受的力等于則稱力場有勢，函數(shù)V為勢能，F(xiàn)i為有勢力。力場若在空間某區(qū)域，質(zhì)點所受的作用力只依賴于空間位置和時間，主動力有勢情況下的靜力學普遍方程設(shè)質(zhì)系所受的主動力有勢：質(zhì)系的平衡方程主動力有勢情況下的靜力學普遍方程設(shè)質(zhì)系所受的主動力有勢：質(zhì)系對主動力有勢的質(zhì)系，其勢能在平衡位置取駐值。拉格朗日定理：對完整保守系統(tǒng)若勢能函數(shù)在平衡位置取孤立極小值, 則該平穩(wěn)位置穩(wěn)定。 qVqV對主動力有勢的質(zhì)系，其勢能在平衡位置取駐值。拉格朗日定理：對結(jié)果與前相同。Ma已知： m1, m2, M, , , 且接觸面光滑。求：平衡時， m1, m2, M 的關(guān)系。 例1結(jié)果與前相同。Ma已知： m1, m2, M, , , 例2已知：燈G的質(zhì)量為m，A、C為鉸鏈，B為套筒。桿的質(zhì)量不計。當 = 180 時