數(shù)據(jù)擬合的非線(xiàn)性模型課件

1、數(shù)據(jù)擬合的非線(xiàn)性模型多項(xiàng)式擬合的正交化方法超定方程組最小二乘解溫度數(shù)據(jù)的平滑處理數(shù)值分析 18數(shù)據(jù)擬合的非線(xiàn)性模型數(shù)值分析 18數(shù)據(jù)擬合的非線(xiàn)性模型求擬合函數(shù) f(x, c0, c1, , cn )滿(mǎn)足觀測(cè)數(shù)據(jù)2/16例1.已知人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用最小二乘法求指數(shù)擬合 y = c e a x x x1 x2 xm f y1 y2 ym 年 1991 1992 1993 1994 1995 1996數(shù)量 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24數(shù)據(jù)擬合的非線(xiàn)性模型求擬合函數(shù) f(x, c0, c1, 指數(shù)函數(shù)擬合人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：億)(1)計(jì)算對(duì)數(shù)值 yk = ln

2、Nk ( k = 1,2,6)(2) 列出未知數(shù)a 、b的超定方程組 a + b t k = y k ( k = 1，2，6)(3)求超定方程組的最小二乘解,得 N= ea+bx , 并預(yù)測(cè) N(2000), N(2008) N2000=12.7971, N2008=13.9783 設(shè) N= ea+bt lnN=a+bt 令 y = lnN, 有 y(t)=a+bt t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 ln N 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.503/16指數(shù)函數(shù)擬合人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：億)(1)計(jì)算對(duì)數(shù)值 yk 例2.利用極坐標(biāo)觀察值確定慧星

3、軌道其中，p 為參數(shù)，e為偏心率 令k=1/r r 2.70 2.00 1.61 1.20 1.02 48 67 83 108 126 k 0.3704 0.5000 0.6211 0.8333 0.9804 0.8378 1.1694 1.4486 1.8850 2.1991線(xiàn)性方程組 ( j= 1,2,3,4,5 ) p=?, e = ?4/16例2.利用極坐標(biāo)觀察值確定慧星軌道其中，p 為參數(shù)，e為偏心r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02;fai=48 67 83 108 126*pi/180;n=length(r);b=ones(n,1);G=1./r cos(fai)

4、;X=Gb;p=X(1);e=X(2); p = 1.4521, e = 0.7027殘差平方和: 0.00225/16fa=pi/4:.1:3.5*pi/2;ro=p./(1-e*cos(fa);polar(fai,r,ro),hold onpolar(fa,ro)R=r-p./(1-e*cos(fai)R=sum(R.2)r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02; 例3. 溫度數(shù)據(jù)的擬合問(wèn)題:中午1:00到第二天中午12:00溫度記錄數(shù)據(jù)如下66, 66, 65, 64, 63, 63, 62, 6160, 60, 59, 58, 58, 58, 58, 5857, 57, 5

5、7, 58, 60, 64, 67, 68用最小二乘法求擬合函數(shù) f(x)=E + A cos(C x) + B sin( D x)E=?, A=？, B=? , C=? , D=?6/16例3. 溫度數(shù)據(jù)的擬合問(wèn)題:中午1:00到第二天中午12:0定義 設(shè) j(x) (j=0,1,n )是多項(xiàng)式系列, 是一點(diǎn)列, 多項(xiàng)式i (x), j (x)在該點(diǎn)列上的值分別為則稱(chēng) k(x) (k=0,1,n )為點(diǎn)列 上的正交多項(xiàng)式系. (j i)如果i = i(x1), i(x2), , i(xm)Tj = j(x1), j(x2), , j(xm)T7/16定義 設(shè) j(x) (j=0,1,n )是

6、多項(xiàng)式 p0(x) = 1, pj(x) = x pj-1(x)( j=1,2,n )( j=2,3,n )8/16 給定數(shù)據(jù)表 x x1 x2 xmf(x) y1 y2 ym超定方程組:正交多項(xiàng)式系: , 組成擬合函數(shù) 9/16給定數(shù)據(jù)表 x x1 x2 正規(guī)方程:由正交性得10/16正規(guī)方程:由正交性得10/16超定方程組最小二乘解 X* 的幾何意義11/16例向量組平面正規(guī)方程超定方程組最小二乘解 X* 的幾何意義11/16例向量組平面Q列正交矩陣; R單位上三角矩陣矩陣的正交三角分解: G = QR12/16矩陣的LDLT 分解DLTX=L-1bA=LDLT超定方程組 AX = b記L

7、TX=D-1 L-1bX=(LT)-1D-1 L-1bQ列正交矩陣; R單位上三角矩陣矩陣的正交三角分解: G矩陣G的QR(正交三角)分解算法 G = ( gij)mn m n將矩陣按列分塊，記為 G = g1, g2 , ,gn 分解算法 q1=g1 q2 = g2 r12q1, 其中 r12 = (g2，q1)/(q1，q1) n其中13/16矩陣G的QR(正交三角)分解算法 G = ( gij)mG = g1 g2 gn = q1 (r12q1+q2) (r1nq1 + + rn-1,nqn-1+ qn) G = q1, q2 , ,qn R G = QR g1 = q1 g2 = r12q1 + q2記 Q = q1, q2 , ,qn 其中14/16G = g1 g2 gn g1 = q多項(xiàng)式擬合用于數(shù)據(jù)平滑處理五點(diǎn)拋物線(xiàn)擬合公式設(shè)擬合函數(shù)為: P(t) = a0+ a1t + a2t2 a0 = yk 3(yk-2 4yk-1 + 6yk 4yk+1+ yk+2)/35 yk = a015/16多項(xiàng)式擬合用于數(shù)據(jù)平滑處理五點(diǎn)拋物線(xiàn)擬合公式設(shè)擬合函數(shù)為: 溫度數(shù)據(jù)的平滑處理66, 66, 65, 64, 63, 63, 62, 61