彈塑性力學(xué)定理和公式（word22）

1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)1.htm#性模量 l 性模量 彈彈性模量量 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)1.htm#虎克定律 l 虎克定律 廣義義虎克定定律1.彈性模模量 對對于應(yīng)力力分量與與應(yīng)變分分量成線線性關(guān)系系的各向向同性彈彈性體,常用的的彈性常常數(shù)包括括: aa 彈彈性模量量 單向向拉伸或或壓縮時時正應(yīng)力力與線應(yīng)應(yīng)變之比比,即 bb 切切變模量量 切應(yīng)應(yīng)力與相相應(yīng)的切切應(yīng)變之之比,即即 cc 體體積彈性性模量 三向平平均應(yīng)力力與體積應(yīng)變變(=x+y+

2、z)之比比,即 dd 泊泊松比單單向正應(yīng)應(yīng)力引起起的橫向向線應(yīng)變變1的絕對對值與軸軸向線應(yīng)應(yīng)變的的絕對值值之比,即 此此外還有有拉梅常常數(shù)。對對于各向向同性材材料，這這五個常常數(shù)中只只有兩個個是獨立立的。常常用彈性性常數(shù)之之間的關(guān)關(guān)系見 HYPERLINK javascript:openwindow1() 表表3-11 彈性性常數(shù)間間的關(guān)系系。室溫溫下彈性性常數(shù)的的典型值值見 HYPERLINK javascript:openwindow2() 表33-2 彈性常常數(shù)的典典型值。2.廣義虎虎克定律律 線線彈性材材料在復(fù)復(fù)雜應(yīng)力力狀態(tài)下下的應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)關(guān)系稱為為廣義虎虎克定律律。它是是由實驗驗確

3、定，通通常稱為為物性方方程，反反映彈性性體變形形的物理理本質(zhì)。 AA 各各向同性性材料的的廣義虎虎克定律律表達式式（見 HYPERLINK javascript:openwindow3() 表33-3 廣義胡胡克定律律表達式式） 對于于圓柱坐坐標(biāo)和球球坐標(biāo)，表表中三向向應(yīng)力公公式中的的x 、yy、z分分別用rr、zz和r、代代替。對對于平面面極坐標(biāo)標(biāo)，表中中平面應(yīng)應(yīng)力和平平面應(yīng)變變公式中中的x、yy、z用用r、z代代替。 BB 用用偏量形形式和體體積彈性性定律表表示的廣廣義虎克克定律 應(yīng)應(yīng)力和應(yīng)應(yīng)變張量量分解為為球張量量和偏張張量兩部部分時，虎虎克定律律可寫成成更簡單單的形式式，即 體積彈彈性

4、定律律 應(yīng)力偏偏量與應(yīng)應(yīng)變偏量量關(guān)系式式在直角坐標(biāo)標(biāo)中，ii,j=x,yy,z；在圓柱柱坐標(biāo)中中，i,j=rr,z,在在球坐標(biāo)標(biāo)中i,j=rr,。彈性力學(xué)基本方程及其解法 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#學(xué)基本方程 l 學(xué)基本方程 彈性力學(xué)基本方程 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#邊界條件 l 邊界條件 邊界條件 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#按位移求解的彈性力學(xué)基本方法 l 按位移

5、求解的彈性力學(xué)基本方法 按位移求解的彈性力學(xué)基本方法 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#應(yīng)力求解的彈性力學(xué)基本方程 l 應(yīng)力求解的彈性力學(xué)基本方程 按應(yīng)力求解的彈性力學(xué)基本方程 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#平面問題的基本方程 l 平面問題的基本方程 平面問題的基本方程 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#基本方程的解法 l 基本方程的解法 基本方程的解法 | HYPERLINK /M

6、achineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)2.htm#二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式 l 二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式 二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式1.彈性力學(xué)基本方程 在彈性力學(xué)一般問題中，需要確定15個未知量，即6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量和3個位移分量。這15個未知量可由15個線性方程確定，即 (1)3個平衡方程式（2-1-22），或用腳標(biāo)形式簡寫為 (2)6個變形幾何方程式（2-1-29），或簡寫為 (3)6個物性方程式（3-5）或式（3-6），簡寫為或2.邊界條件 彈性力學(xué)一般問題的解，在物體內(nèi)部滿足上述線性方程組，在邊界上必須滿足給定的邊界條件。

7、彈性力學(xué)問題按邊界條件分為三類。 a 應(yīng)力邊界問題 在邊界S表面上作用的表面力分量為Fx、Fy、Fz.。面力與該點在物體內(nèi)的應(yīng)力分量之間的關(guān)系，即力的邊界條件為式中，lnj=cos(n,j)為邊界上一點的外法線n對j軸的方向余弦。 這一類問題中體積力和表面力是已知的，求解體內(nèi)各點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力。 b 位移邊界問題 在邊界Sx上給定的幾何邊界條件為式中，U*i為表面上給定的位移分量。 這一類問題是已知體積力和表面各點的位移，求解體內(nèi)各點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力。 c 混合問題 部分邊界上給定力，部分邊界上給定位移。3.按位移求解的彈性力學(xué)基本方法 按位移求解時，以3個位移分量為基本未知量，利用幾何

8、方程和物性方程，15個基本方程簡化為以位移表示的平衡方程： 求解時位移分量在物體內(nèi)部滿足式（3-14），在位移邊界Su上滿足式（3-13），在應(yīng)力邊界S上滿足式（3-12），但式中的應(yīng)力分量應(yīng)利用應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和應(yīng)變-位移關(guān)系變換為位移的形式。求出位移分量后，再利用幾何方程和物性方程，求出應(yīng)變和應(yīng)力分量。4.按應(yīng)力求解的彈性力學(xué)基本方程 按應(yīng)力求解時，以6個應(yīng)力分量為基本未知量。它們必須滿足平衡方程，同時還要滿足以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程，即式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成為按應(yīng)力求解彈性問題的基本方程組。按應(yīng)力求解彈性問題，就是尋求滿足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），

9、以及邊界條件式（3-12）的解。5.平面問題的基本方程 彈性力學(xué)平面問題，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題兩類。通常利用應(yīng)力函數(shù)將彈性力學(xué)平面問題簡化為解雙調(diào)和方程的邊值問題。平面問題基本方程的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)表達式見 HYPERLINK javascript:openwindow4() 表 HYPERLINK javascript:openwindow4() 3-4 平面問題的基本方程。表中除物性方程外，對于其他方程，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中的形式是相同的。比較一下這兩類問題的基本方程后可知，只要將平面應(yīng)力問題的解中的彈性常數(shù)E、v改為E/（1-V2）、V/（1-V）后，就得到對應(yīng)的平面應(yīng)變問題的

10、解。因此，對于截面形狀和邊界條件相同的物體，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題中的應(yīng)力分布（x、y、xy、z除外）是相同的。6.基本方程的解法 15個彈性力學(xué)基本方程簡化為以位移表示的3個平衡方程式（3-14）或以應(yīng)力表示的6個協(xié)調(diào)方程式（3-15）。求解上述方程時，類似在平面問題中應(yīng)用艾雷應(yīng)力函數(shù)所用的方法，常引用應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)，以消去應(yīng)力分量或位移分量，求解以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程，或以位移函數(shù)表示的平衡方程。 HYPERLINK javascript:openwindow5() 表3-5 帕普科維奇-諾埃伯謝函數(shù)和勒夫謝函數(shù) 列出用帕普科維奇-諾埃伯函數(shù)和勒夫函數(shù)表示的無體積力時平衡方程的齊

11、次解。勒夫函數(shù)常用于求解軸對稱問題。7.二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式（見 HYPERLINK javascript:openwindow6() 表3-6 二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式）能量原理 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#1.應(yīng)變能、應(yīng)變余能與應(yīng)變能定理 l 1.應(yīng)變能、應(yīng)變余能與應(yīng)變能定理 應(yīng)變能能、應(yīng)變變余能與與應(yīng)變能能定理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#2.虛位移定理 l 2.虛位移定理 虛位移移定理 | HYPERLINK /Ma

12、chineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#3.最小勢能原理 l 3.最小勢能原理 最小勢勢能原理理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#4.虛力原理 l 4.虛力原理 虛力力原理| HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#5.最小余能原理 l 5.最小余能原理 最最小余能能原理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#6.卡氏定理 l 6.卡氏定理 卡氏定定理 | HYPE

13、RLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#7.互等定理 l 7.互等定理 互互等定理理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)3.htm#8.李茲法 l 8.李茲法 李茲茲法 直直接求解解彈性力力學(xué)基本本方程在在數(shù)學(xué)上上存在困困難，只只有一些些比較簡簡單的問問題已求求得精確確解。而而能量法法把求解解問題的的過程轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橐灰环N極值值問題，它它比直接接求解偏偏微分方方程邊值值問題能能更方便便地得到到近似解解。因此此能量原原理是目目前廣泛泛應(yīng)用的的近似計計算方法法的基礎(chǔ)礎(chǔ)。1.應(yīng)變能能、應(yīng)變變余能

14、與與應(yīng)變能能定理 aa 應(yīng)變變能 單單位體積積的應(yīng)變變能稱為為應(yīng)變能能密度，以以W表示示。W為為應(yīng)變分分量iij的函函數(shù)，WW可用腳腳標(biāo)形式式表示為為對于線彈性性體，其其值為線彈性體的的總應(yīng)變變能為對各向同性性材料，利利用虎克克定律，應(yīng)應(yīng)變能密密度可用用單一的的應(yīng)力分分量或應(yīng)應(yīng)變分量量表示為為 bb 應(yīng)變變余能 單位位體積的的應(yīng)變余余能W*為應(yīng)力力分量ij的的函數(shù)，WW*（ij）定定義為對線彈性體體， cc 用應(yīng)應(yīng)變能和和應(yīng)變余余能表示示力與應(yīng)應(yīng)變的關(guān)關(guān)系 應(yīng)變變能密度度函數(shù)WW（iij），表表示因彈彈性變形形而儲存存于單位位體積內(nèi)內(nèi)的彈性性勢能。應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)應(yīng)變之間間的關(guān)系系，通過過彈性勢勢函

15、數(shù)WW表示為為如果把應(yīng)變變分量表表示為應(yīng)應(yīng)力分量量的函數(shù)數(shù)時，則則存在如如下關(guān)系系式，即即對線彈性體體，W*=W，式式（3-34）變變?yōu)?dd 應(yīng)變變能定理理 如果果彈性體體在變形形過程中中無能量量耗損，則則彈性體體內(nèi)的應(yīng)應(yīng)變能在在數(shù)值上上等于外外力在變變形過程程中所作作的功，即即式中，A為為外力所所作的功功，包括括體積力力和面力力所作的的功。2.虛位移移定理 彈彈性體在在外力作作用下處處于平衡衡狀態(tài)時時，體內(nèi)內(nèi)各點如如果發(fā)生生一虛位位移uui(所所謂虛位位移，是是指幾何何約束容容許的任任意、微微小的位位移，也也就是指指符合物物體的連連續(xù)條件件和位移移邊界條條件的可可能位移移)，則則外力對對虛

16、位移移所作的的功（虛虛功），等等于虛位位移所引引起的彈彈性體的的虛應(yīng)變變能，即即式中，虛功功A包包括體積積力fii和面力力pi在在虛位移移uii上所作作的功，即即因虛位移而而引起的的虛應(yīng)變變能為 式（33-377）稱為為虛功原原理或虛虛位移原原理。虛虛位移原原理等價價于平衡衡條件。如如結(jié)構(gòu)上上的外力力在虛位位移上所所作的虛虛功等于于結(jié)構(gòu)的的應(yīng)變能能，則結(jié)結(jié)構(gòu)必處處于平衡衡狀態(tài)。在在虛位移移原理推推導(dǎo)過程程中并未未應(yīng)用虎虎克定律律，虛位位移原理理也適用用于非彈彈性體。3.最小勢勢能原理理 如如果外力力可由一一個勢函函數(shù)V導(dǎo)導(dǎo)出，外外力勢VV=-AA,則V=-A.由式（33-377），得得變分方方

17、程式中, 稱稱為系統(tǒng)統(tǒng)的總勢勢能，是是位移的的函數(shù)。式式（3-38）表表明：彈彈性體處處于平衡衡狀態(tài)時時，其內(nèi)內(nèi)力和外外力的總總勢能取取駐值?？煽梢宰C明明，線彈彈性體處處于平衡衡狀態(tài)時時，其總總勢能取取最小值值。因此此，式（33-388）稱為為最小勢勢能原理理。也就就是說，在在所有幾幾何容許許位移中中，滿足足勢能駐駐值條件件=0的位位移解，使使總勢能能取最最小值。在在應(yīng)用中中，可根根據(jù)勢能能駐值條條件去求求解彈性性力學(xué)問問題。 在分析析結(jié)構(gòu)穩(wěn)穩(wěn)定問題題時，在在平衡狀狀態(tài)（=00），總總勢能可能取取極大值值（220，穩(wěn)穩(wěn)定平衡衡）。4.虛力原原理 如如對變形形協(xié)調(diào)的的彈性體體施加某某種虛力力（即

18、平平衡條件件所容許許的，任任意微小小的力的的改變，包包括虛應(yīng)應(yīng)力ij和和虛面力力pII）,則則虛外力力在真實實位移上上的虛余余功AA*等于于虛應(yīng)變變余能，即即式中（3-40）稱稱虛力原原理或余余能原理理，它和和以位移移為變量量的虛位位移原理理相對應(yīng)應(yīng)。式中中虛力原理將將給出協(xié)協(xié)調(diào)條件件，如對對彈性體體施加某某種虛力力，當(dāng)外外虛余功功等于虛虛應(yīng)變余余能時，彈彈性體必必滿足變變形協(xié)調(diào)調(diào)條件。5.最小余余能原理理 令令式中，*稱為系系統(tǒng)的總總余能。由由式（445-40）得得變分方方程式（3-442）表表明，在在滿足平平衡方程程和靜力力邊界條條件的所所有應(yīng)力力中，能能適合幾幾何邊界界條件并并能產(chǎn)生生協(xié)

19、調(diào)應(yīng)應(yīng)變場的的正確解解，使余余能取勝勝駐值?？煽梢宰C明明，在線線彈性小小就形情情況下，在在平衡條條件容許許的所有有應(yīng)力中中，使余余能取駐駐值的應(yīng)應(yīng)力，就就是使余余能為最最小值的的應(yīng)力，也也就是線線彈性小小變形問問題的正正確應(yīng)力力解。因因此，式式（3-42）稱稱為最小小余能原原理。6.卡氏定定理 當(dāng)當(dāng)物體的的表面力力為集中中力時，虛虛力原理理的余能能駐值表表達式可可寫為式中，Qii-廣廣義力 qi-廣義義位移 由由上式得得對于線彈性性系統(tǒng)，*=，U*=U，式式（3-43）變變?yōu)閷τ诰€彈性性系統(tǒng)，卡卡氏定理理表述為為：系統(tǒng)統(tǒng)的應(yīng)變變能對任任一集中中的偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，等等于力作作用點以以力方向向的位移移。

20、7.互等定定理 設(shè)設(shè)彈性體體有兩種種平衡狀狀態(tài)。第第一種平平衡狀態(tài)態(tài)為面力力pi,體積積力fii和相相應(yīng)的位位移uii(ii=x,y,zz);第第二種狀狀態(tài)為面面力pii體積積力fii和相相應(yīng)的位位移uii?；セサ榷ɡ砝肀硎鰹闉椋旱谝灰唤M外力力在第二二組外力力引起的的位移上上所作的的功，等等于第二二組外力力在第一一組外力力引起的的位移上上所作的的功，即即 互互等定理理應(yīng)用于于梁的問問題時，得得影響系系數(shù)對稱稱性關(guān)系系。設(shè)載載荷為橫橫向力pp，撓度度為y，式式（3-45）寫寫成如果梁上只只在x11，x22,，xxn處作作用有集集中力pp1,pp2, ，ppn。把把在xjj處作用用單位集集中引起起

21、的在xxI處的的撓度記記為aiij,aaij稱稱為影響響系數(shù)，由由互等定定理得8.李茲法法 李李茲法是是基于變變位移的的最小勢勢能原理理的直接接近似求求解方法法。 根根據(jù)問題題的幾何何邊界條條件，假假設(shè)的一一組位移移解中含含有待定定參數(shù)aaj、bbj、ccj。由由最小勢勢能原理理，在所所有假定定的幾何何容許的的位移函函數(shù)中，真真實的位位移使總總勢取駐駐值。因因此可取取如下一一系列位位移函數(shù)數(shù)的近似似解，即即式中，ajj、bjj、cjj為待定定參數(shù)；uxjj(x，yy，z)、uyyj(xx，y，zz)、uuz（xx，y，zz）為滿滿足位移移邊界條條件的位位移函數(shù)數(shù)。 由由勢能駐駐值條件件，令得到

22、3n個個線性方方程組，解解出ajj、bjj、cjj后，代代入式（33-477），就就得到問問題的位位移解。一一般只要要位移數(shù)數(shù)選擇得得當(dāng)，只只須取有有限幾個個待定參參數(shù)，就就可得到到足夠精精確的位位移解。李茲法也可可以基于于最小余余能原理理的余能能駐值條條件，直直接求得得近似應(yīng)應(yīng)力解。 HYPERLINK javascript:openwindow7() 表3-7 彈彈性基礎(chǔ)礎(chǔ)梁的近近似解與與精確解解的比較較熱應(yīng)力 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)4.htm#1.熱彈性方程 l 1.熱彈性方程 熱熱彈性方方程 | HYPERLINK /M

23、achineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)4.htm#2.熱傳導(dǎo)方程與溫度場 l 2.熱傳導(dǎo)方程與溫度場 熱熱傳導(dǎo)方方程與溫溫度場 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)4.htm#3.熱應(yīng)力問題的應(yīng)用 l 3.熱應(yīng)力問題的應(yīng)用 熱應(yīng)力力問題的的應(yīng)用 物物體加熱熱或冷卻卻時，體體內(nèi)各部部分因溫溫度變化化而伸縮縮，如果果受到約約束就產(chǎn)產(chǎn)生熱應(yīng)應(yīng)力。一一種約束束是由于于物體表表面的邊邊界條件件產(chǎn)生的的。例如如，不同同形狀的的物體均均勻升高高溫度TT時產(chǎn)生生的熱應(yīng)應(yīng)力為棒狀物體，兩兩端固定定 =-ET 平板物體， 周邊固固定

24、 =-ETT/(11-v)塊狀物體，外外表面固固定 =-ETT/(11-2vv)式中，為為線膨脹脹系數(shù)，負負號表示示壓應(yīng)力力。 如如果熱應(yīng)應(yīng)力超過過彈性極極限而產(chǎn)產(chǎn)生塑性性應(yīng)變p，冷冷卻后將將產(chǎn)生殘殘余應(yīng)力力R。如如p小小于彈性性應(yīng)變e時，殘殘余應(yīng)力力R=p/E引起物體熱熱應(yīng)力的的另一種種約束為為物體內(nèi)內(nèi)部存在在不均勻勻溫度場場，物體體各部分分因伸縮縮受陰而而產(chǎn)生熱熱應(yīng)力。熱熱彈性問問題主要要是指這這一類問問題1.熱彈性性方程 熱熱彈性方方程與常常溫下彈彈性力學(xué)學(xué)基本方方程不同同之處在在于物性性方程，其其他平衡衡方程和和幾何方方程不變變。對于于各向同同性均質(zhì)質(zhì)材料，單單元體變變溫時各各方向膨膨

25、脹相同同，只發(fā)發(fā)生線應(yīng)應(yīng)變而無無切應(yīng)變變，因此此只有三三個正應(yīng)應(yīng)力線應(yīng)應(yīng)變之間間的關(guān)系系變?yōu)榛?按位位移求解解的熱彈彈性方程程見 HYPERLINK javascript:openwindow8() 表 HYPERLINK javascript:openwindow8() 3-88 按位位移求解解的熱彈彈性基本本方程。2.熱傳導(dǎo)導(dǎo)方程與與溫度場場 在在熱彈性性問題中中，物體體內(nèi)應(yīng)力力的分布布，取決決于不同同瞬時物物體內(nèi)溫溫度的分分布，即即溫度場場，而溫溫度場則則是根據(jù)據(jù)物體的的初始溫溫度分布布，以及及物體與與環(huán)境之之間的熱熱交換條條件，求求解熱傳傳導(dǎo)方程程而得到到。 A 熱熱傳導(dǎo)方方程 對對于

26、均質(zhì)質(zhì)各向同同性材料料，如材材料的熱熱學(xué)性能能與溫度度無關(guān)時時，熱傳傳導(dǎo)方程程為式中, kk=/cp為為熱擴散散率 為熱志志率 cc為比熱熱容 pp為密度度 WW為單位位時間內(nèi)內(nèi)單位體體積熱源源的發(fā)熱熱量由熱傳導(dǎo)定定律，熱熱流密度度的大小小與溫度度梯度成成正比，而而方向相相反，即即其中的比例例常數(shù)，即即為熱導(dǎo)導(dǎo)率。 室溫時時常用材材料的熱熱常數(shù),見 HYPERLINK javascript:openwindow9() 表33-9 熱常數(shù)數(shù)(200時)。 B 溫溫度場 溫度場場一般為為位置和和時間的的函數(shù)，即即溫度分布與與時間無無關(guān)的溫溫度場稱稱為定常常溫度場場。物體體內(nèi)無熱熱源時，常常溫度場場

27、的微分分方程簡簡化為拉拉普拉斯斯方程在溫度場的的初始條條件和邊邊界條件件中，一一種情況況是給定定物體表表面的溫溫度分布布函數(shù)TT=F（xx,y,z,tt）。另另一種情情況是給給定物體體溫度和和周圍環(huán)環(huán)境介質(zhì)質(zhì)溫度，以以及兩者者之間的的熱交換換規(guī)律。例例如物體體冷卻時時，傳向向周圍介介質(zhì)的熱熱流密度度為式中，h為為傳熱系系數(shù)；TTB為物物體表面面溫度；TA為為環(huán)境介介質(zhì)溫度度。3.熱應(yīng)力力問題的的應(yīng)用 A 任任意形狀狀薄平板板（圖33-2） 設(shè)溫度度沿板厚厚方向變變化，即即T=TT(z)。圖3-2 任意意形狀平平板 (1)無外力力約束情情況下的的熱應(yīng)力力為 (2)板板邊固定定情況下下的熱應(yīng)應(yīng)力為

28、 BB 矩形形薄平板板 情情況（11）（圖圖3-33） 板板外部無無約束，溫溫度沿xx和z方方向不變變，即TT=T（yy）。平平板的熱熱應(yīng)力為為圖3-3 矩形形板 情況（11） 情情況（22）（圖圖3-44）平板板外部無無約束。在在x=00的y軸軸上溫度度為T11，離開開y軸時時溫度急急憂劇下下降。板板中最低低溫度為為T0。溫溫度沿yy、z方方向不變變，這時時最大拉應(yīng)力力在o、pp處，即即x=Ea（TT1-TT0）OP中點處處的最大大壓應(yīng)力力，為y=-Ea（T11-T00）。圖3-4 矩形形板 情況（22） CC 半無無限體中中有線熱熱源 （圖圖3-55） 設(shè)設(shè)半無限限體表面面（oyyz面）的

29、的溫度為為零。線線熱源MMNooz，與與表面的的距離為為a。單單位長度度的線熱熱源，單單位時間間內(nèi)發(fā)出出的熱量量為H。這這時半無無限體的的熱應(yīng)力力為式中-物體體的熱導(dǎo)導(dǎo)率圖3-5 半無無限體中中的線熱熱源 DD 半無無限體表表面上有有點熱源源（圖33-6） 設(shè)單位位時間內(nèi)內(nèi)點熱源源o發(fā)出出的熱量量為Q。表表面其他他地方完完全絕熱熱，則物物體的溫溫度分布布為物體內(nèi)的熱熱應(yīng)力為為圖3-6 半半無限體體表面上上的點熱熱源塑性力學(xué)基基本方程程 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)5.htm#1.屈服條件 l 1.屈服條件 屈屈服條件件 | HYPER

30、LINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)5.htm#2.塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 l 2.塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 塑性性應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)5.htm#3.滑移線場理論 l 3.滑移線場理論 滑移移線場理理論 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)5.htm#4.極限分析定理 l 4.極限分析定理 極極限分析析定理1.屈服條條件 對對于處于于單向拉拉伸（或或壓縮）的的物體，當(dāng)當(dāng)應(yīng)力達達到屈服服極限時時，材料料開始進進入塑性性狀態(tài)

31、，對對于處于于復(fù)雜應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的物體體，由彈彈性狀態(tài)態(tài)過渡到到塑性狀狀態(tài)的臨臨界條件件稱為屈屈服條件件。在應(yīng)應(yīng)力空間間將初始始屈服的的應(yīng)力點點連成的的彈性和和塑性的的分界面面稱為屈屈服面。描描述屈服服面的數(shù)數(shù)學(xué)表達達式稱為為屈服函函數(shù)。常常用的各各向同性性金屬材材料的屈屈服試驗驗表明，屈屈服應(yīng)力力數(shù)據(jù)點點介于屈屈雷斯卡卡（T ressca）屈屈服條件件和密賽賽斯（MMisees）屈屈服條件件之間，而而更接近近于密賽賽斯屈服服條件。 AA 屈雷斯斯卡屈服服條件（最最大切應(yīng)應(yīng)力條件件） 屈屈雷斯卡卡屈服條條件為：當(dāng)最大大切應(yīng)力力達到某某一極限限值時，材材料開始始進入塑塑性狀態(tài)態(tài)，即 在在主應(yīng)力力空

32、間，當(dāng)當(dāng)差值1-2、2-3、3-1中任任一個達達到2kk時，材材料進入入塑料性性狀態(tài)。因因此用屈屈雷斯卡卡條件表表示的屈屈服面為為由下列列六個平平面組成成的正六六邊形柱柱體（圖圖3-77a），即即 材材料常數(shù)數(shù)k由實實驗確定定。在拉拉伸試驗驗時，1=2kk=ss，即kk=ss/2。在在純剪切切試驗時時，11-3=2kk=2s，即kk=ss。如果果屈雷斯斯卡條件件成立，必必有ss=1/2ss圖3-7 屈服服面 BB 密密賽斯屈屈服條件件 密賽賽斯條件件為：:當(dāng)切應(yīng)應(yīng)力強度度I等于剪剪切屈服服極限s時，材材料開始始屈服；或者當(dāng)當(dāng)應(yīng)力強強度II等于拉拉伸屈服服極限s時，材材料開始始屈服，即即或式中，

33、j2為應(yīng)力力偏量第第二不變變量對于密賽斯斯條件，s=s。密賽賽斯條件件與屈雷雷斯卡條條件的最最大差別別不超過過15%。 在在主應(yīng)力力空間，密密賽斯屈屈服面為為一外接接于屈雷雷斯卡屈屈服面的的圓柱面面。在平平面應(yīng)力力狀態(tài)，設(shè)設(shè)s0，則則在11、2應(yīng)力平平面上，密密賽斯條條件為一一橢圓，屈屈雷斯卡卡條件為為內(nèi)接六六邊形（圖圖3-77b）。 CC 后后繼屈服服函數(shù)（加加載函數(shù)數(shù)）已產(chǎn)產(chǎn)生塑性性變形的的材料，繼繼續(xù)塑性性變形的的條件，稱稱為后繼繼屈服條條件。在在主應(yīng)力力空間滿滿足后繼繼屈服條條件的應(yīng)應(yīng)力點所所連成的的曲面，稱稱為后繼繼屈服面面（加載載面）。對對于理想想塑性材材料，后后繼屈服服面即為為初

34、始屈屈服面；對于強強化材料料，后繼繼屈服面面隨塑性性變形的的歷史而而變化。描描述后繼繼屈服面面的函數(shù)數(shù)，稱為為后繼屈屈服函數(shù)數(shù)或加載載函數(shù)，一一般可寫寫成式中，H為為應(yīng)變歷歷史和材材料性質(zhì)質(zhì)的函數(shù)數(shù)。在應(yīng)應(yīng)力空間間，加載載面隨HH的變化化而改變變其形狀狀、大小小和位置置。目前前應(yīng)用較較多的兩兩種簡單單的強化化模型為為等向強強化模型型和隨動動強化模模型。圖圖3-88表示按按照屈雷雷斯卡屈屈服條件件在面面（11+ 2+ 3=0的的面）上上的屈服服曲線和和加載曲曲線。圖3-8 屈服服曲線和和加載曲曲線等向強化模模型的加加載函數(shù)數(shù)表示為為式中，H為為決定于于塑性應(yīng)應(yīng)變歷史史的單調(diào)調(diào)遞增正正函數(shù)。加加載

35、面是是初始屈屈服面等等向擴大大，屈服服面中心心位置不不變。這這種模型型不考慮慮材料的的包辛格格效應(yīng)。隨動強化模模型的加加載函數(shù)數(shù)表示為為式中，iij表示示初始屈屈服面中中心在應(yīng)應(yīng)力空間間的殘茶茶剩飯量量。加載載面的大大小，形形狀保持持不變。2.塑性應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變變關(guān)系 塑塑性應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)關(guān)系有增增量（流流動）理理論和全全量（形形變）理理論兩種種類型。 AA 增增量理論論 材材料在塑塑性變形形時，應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)應(yīng)變之間間一般不不存在一一一對應(yīng)應(yīng)的關(guān)系系。增量量理論假假設(shè)在塑塑性流動動的任一一瞬時，塑塑性應(yīng)變變增量矢矢量與加加載面正正交，即即對理想塑性性材料，f。若若取f為為密賽斯斯屈服函函數(shù)時，上上式變

36、為為對于剛塑性性材料，式式（3-70）寫寫成完全全表達式式為式中，式（3-771）稱稱為列維維- 密密賽斯（llevyy-Miisess）關(guān)系系式。若考慮彈性性變形，則則對密賽賽斯理想想塑性材材料有式中，塑性性功增量量式（3-773）稱稱為普朗朗特-勞勞埃斯(praandttl-RReusss)關(guān)關(guān)系式。對于具有密密賽斯等等向強化化加載面面的強化化材料，增增量理論論公式中中的比例例因子dd為與與材料強強化性質(zhì)質(zhì)有關(guān)的的非負標(biāo)標(biāo)量，當(dāng)當(dāng)加載時時式中H為為強化函函數(shù)H對對其自變變量的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)。 BB 全全量理論論 全全量理論論用應(yīng)力力和應(yīng)變變的瞬時時值表示示的塑性性應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系，是塑塑性應(yīng)力力應(yīng)

37、變增增量關(guān)系系沿加載載途徑的的積分形形式。當(dāng)當(dāng)滿足小小變形及及簡單加加載（應(yīng)應(yīng)力分量量成比例例增長）條條件，應(yīng)應(yīng)力強度度ai和應(yīng)變變強度i之間間存在單單一的函函數(shù)關(guān)系系。這時時全量理理論表達達為式中，應(yīng)變變強度3.滑移線線場理論論 滑滑移線場場理論，是是基于塑塑性材料料在屈服服流動時時，沿最最大切應(yīng)應(yīng)力方向向，成為為塑性變變形區(qū)內(nèi)內(nèi)的特征征性質(zhì)。據(jù)據(jù)此來對對整個變變形區(qū)進進行應(yīng)力力分布的的數(shù)值分分析。 此此處所討討論的滑滑移線場場理論，只只限于各各向同性性的理想想剛塑性性材料的的平面應(yīng)應(yīng)變問題題，并假假設(shè)屈服服條件與與靜水壓壓力無關(guān)關(guān)。 AA 應(yīng)應(yīng)力方程程不滑移移線場的的幾何性性質(zhì) (1) 應(yīng)

38、力力方程 在塑性性變形區(qū)區(qū)內(nèi)，連連接最大大切應(yīng)變變方向的的線，稱稱為滑移移線。兩兩族正交交的滑移移線組成成的網(wǎng)絡(luò)絡(luò)，稱為為滑移線線場。這這兩簇曲曲線，分分別稱為為簇和和簇。從從線到到逆時時針轉(zhuǎn)動動時，最最大主應(yīng)應(yīng)力方向向在線線和線線之間。從從x軸到到線的的逆時針針轉(zhuǎn)角用用表示示（圖33-9）。、的的曲線方方程為圖3-9 、線和應(yīng)應(yīng)力圖由于主切應(yīng)應(yīng)力面上上的切應(yīng)應(yīng)力k=s，如果果正應(yīng)力力(=xx+y/2)和角角已知時時，滑移移線場內(nèi)內(nèi)任一點點的應(yīng)力力僅取決決于、的變化化，即由單元體平平衡條件件，應(yīng)力力沿滑移移線變化化規(guī)律為為式（3-880）稱稱為漢基基（Heenckky）應(yīng)應(yīng)力方程程 (2) 滑

39、滑移線場場的幾何何性質(zhì) 1. 沿線性性質(zhì) 由應(yīng)力力方程,沿同一一滑移線線移動時時,和和的變變換成正正比,即即在直線段上上,和和都是是常量。 2. 跨線性性質(zhì) （圖圖3-110）位位于兩根根同簇滑滑移線之之間的另另一簇滑滑線段上上，的的變化相相等，即即相應(yīng)地，的變化化也相等等，即圖3-100 跨跨線性質(zhì)質(zhì) BB 速度方方程和速速端曲線線 在剛剛塑性體體平面應(yīng)應(yīng)變問題題中，沿沿滑移線線上的線線應(yīng)變?yōu)闉榱恪Ｒ蛞虼藢⑷稳我稽c處處的質(zhì)點點速度沿沿線和和線分分解為vv和v（圖33-111），得得到速度度沿線變變化規(guī)律律為圖3-111 速速度的分分解式（3-884）稱稱為蓋林林格（GGeirringger）

40、速速度方程程。 可可以把速速度方程程改寫成成差分方方程，求求出節(jié)點點速度，建建立速度度場。也也可以用用作圖法法作速度度圖（速速度矢端端曲線）來來表示速速度分布布。由于于沿滑移移線上線線應(yīng)變?yōu)闉榱?，同同一滑線線相鄰兩兩點的相相對速度度必與該該滑移線線線元正正交。因因此滑移移線上各各點的速速度矢端端曲線與與該滑移移線線元元正交。圖圖3-112中代代表P11點的速速度平面面上的映映象即為為速度圖圖。圖3-122 速速度場和和速端曲曲線(a)物理理平面 (bb)速端端曲線4.極限分分析定理理 在在設(shè)計中中把加載載的極限限狀態(tài)作作為設(shè)計計準則的的分析方方法，稱稱為極限限分析。理理想剛塑塑性結(jié)構(gòu)構(gòu)的極限限

41、載荷，是是指載荷荷增加到到某一數(shù)數(shù)值時，結(jié)結(jié)構(gòu)達到到極限狀狀態(tài)，這這時即使使載荷不不再增加加，塑性性變形繼繼續(xù)發(fā)展展。由于于求解彈彈塑性結(jié)結(jié)構(gòu)極限限狀態(tài)對對應(yīng)的極極限載荷荷比較復(fù)復(fù)雜，因因此需要要尋求一一種計算算極限載載荷的近近似方法法，即利利用極限限分析上上下限定定理，來來估計極極限載荷荷的近似似值范圍圍。在分分析中，把把材料假假定為理理想剛塑塑性體。 剛剛塑性材材料平面面應(yīng)變問問題的真真實解，在在應(yīng)力方方面體內(nèi)內(nèi)應(yīng)滿足足平衡方方程、屈屈服條件件和應(yīng)力力邊界條條件，在在幾何方方面應(yīng)滿滿足體積積不變條條件和速速度邊界界條件，并并使外力力對速度度場作正正功率。在在實際問問題中，要要同時滿滿足全部

42、部條件是是困難的的。如果果只滿足足應(yīng)力方方面的條條件，這這時所得得到的應(yīng)應(yīng)力場稱稱稱為靜靜力許可可應(yīng)力場場。根據(jù)據(jù)這個應(yīng)應(yīng)力場求求得的載載荷為真真實極限限載荷的的下限。如如果只滿滿足應(yīng)變變和位移移條件所所求得的的速度場場，稱為為運動許許可速度度場，由由此求得得的載荷荷為真實實極限載載荷的上上限。如如果上下下載荷相相等，所所求得的的載荷，即即為真實實的極限限載荷。 AA 下下限定理理 由任任何靜力力許可應(yīng)應(yīng)力場所所求得的的載荷，恒恒小于或或等于極極限載荷荷。在塑塑性狀態(tài)態(tài)下，物物體發(fā)生生一微小小變形速速度vii時，在在非作用用力表面面Sv上上，任一一靜力許許可應(yīng)力力場所引引起的表表面力TTi所所

43、作的功功率，恒恒小于或或等于極極限載荷荷表面力力Ti所所作的功功率，即即 B 上限定定理 任一與與運動許許可速度度場相對對應(yīng)的載載荷，恒恒大小或或等于極極限載荷荷。在塑塑性狀態(tài)態(tài)下，任任一運動動許可速速度場上上所作的的功率，恒恒大于或或等于極極限載荷荷表面力力，在真真實應(yīng)變變速度場場上所作作的功率率，即式中，V*I-任任一運動動許可速速度場 kk-剪剪切屈服服應(yīng)力 S*DD-速速度不連連續(xù)面 V*-SS*D面上速速度不連連續(xù)量 *ij和*ij由V*i導(dǎo)出的的應(yīng)力和和應(yīng)變速速度率 如如果塑性性機構(gòu)按按剛性塊塊在速度度不連續(xù)續(xù)面上相相互移動動，則上上式左邊邊第一項項為零，在在許多實實際問題題中，力

44、力的邊界界條件，這時式（33-866）簡化化為粘彈性 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)6.htm#1.粘彈性模型與本構(gòu)關(guān)系 l 1.粘彈性模型與本構(gòu)關(guān)系 粘粘彈性模模型與本本構(gòu)關(guān)系系 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/彈塑性力學(xué)/彈塑性力學(xué)6.htm#2.三維性粘彈性理論的基本方程與對應(yīng)原理 l 2.三維性粘彈性理論的基本方程與對應(yīng)原理 三維性性粘彈性性理論的的基本方方程與對對應(yīng)原理理 彈彈性理論論和塑性性理論中中的應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)關(guān)系，都都不考慮慮時間和和速率的的影響。近近代某些些工程材材料，在在一定條條

45、件下，顯顯示出與與時間有有關(guān)的性性質(zhì)。例例如，金金屬、陶陶瓷和高高聚合物物在較高高溫度下下發(fā)生蠕蠕變，即即在不就就應(yīng)力下下應(yīng)變隨隨時間綬綬慢增加加的現(xiàn)象象。在定定應(yīng)變下下，應(yīng)力力隨時間間綬慢衰衰減的現(xiàn)現(xiàn)象，稱稱為松弛弛。具有有明顯時時間效應(yīng)應(yīng)的本構(gòu)構(gòu)關(guān)系的的物體，稱稱為粘彈彈性理論論。1.粘彈性性模型與與本構(gòu)關(guān)關(guān)系 AA 基基本元件件 粘粘彈性體體的力學(xué)學(xué)模型，可可看作具具有理想想彈性元元件（彈彈簧，用用S表示示）的組組合體。在簡單拉伸伸情況下下，理想想彈性元元件（圖圖3-114a）的的應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系為=E而理想粘性性元件（圖圖3-114b）的的應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變率關(guān)關(guān)系為圖3-144 彈彈簧阻尼尼

46、器式中,-粘性性系數(shù) BB 馬馬克思威威爾體 由SS和D串串聯(lián)的粘粘彈性模模型稱為為馬克思思威爾體體（圖33-155a）。用用字母MM或S-D表示示，其本本構(gòu)方程程為式中，p11、q11為材料料常數(shù)，pp1/E，qq1。方程程的解含含有時間間t在定應(yīng)力下下應(yīng)變隨隨時間的的變化規(guī)規(guī)律，即即蠕變特特性為變形隨時間間t線性性（圖33-155b），表表現(xiàn)出流流體粘性性性質(zhì)。在定應(yīng)變0下的的松弛特特性（圖圖3-115c）為為圖3-155 馬馬克思威威爾體(a) 粘粘彈性模模型 (b) 蠕變變曲線 (cc) 松松弛曲線線 CC 開開爾文體體 （圖圖3-116a）為為S和DD并聯(lián)組組成的粘粘彈性模模型。用用字母KK或S/D表示示。開爾爾文體的的本構(gòu)方方程為圖3-166 開開爾文體體(a) 粘粘彈性模模型 (b) 蠕變變曲線 (cc) 松松弛曲線線式中 q00=E q1=開爾文體在在定應(yīng)力力0下下蠕變特特性（圖圖3-116b）為為式中 =q1/q0在定應(yīng)變o的松松弛特性性（圖33-166c）為為=q00+ q10(t)其中，（tt）為狄狄拉克函函數(shù)，即即當(dāng)t0時，（t）0；tt0時時，（tt）+ DD 多元元件模型型的本構(gòu)構(gòu)方程 實實際材料料的粘彈彈性特性性與上述述兩