時間序列分析與建模簡介

1、PAGE 1PAGE 9 （2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第五章第五章 時間序列分析與建模簡介 時間序列建模（ Modelling via time series ）。時間序列分析與建模是數(shù)理統(tǒng)計的重要分支，其主要學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)人是Box 和 Jenkins。本章扼要介紹吳憲民和 Pandit的工作，僅要求一般了解當(dāng)前時間序列分析與建模的一些主要結(jié)果。參考書：“時間序列及系統(tǒng)分析與應(yīng)用（美）吳憲民，機(jī)械工業(yè)出版社（1988）TP13/66。引言根據(jù)對系統(tǒng)統(tǒng)觀測得得出的按按照時間間順序排排列的數(shù)數(shù)據(jù)，通通過曲線線擬合和和參數(shù)估估計或者者譜分析析，建立立數(shù)學(xué)模模型的理理論與方方法，理理論基礎(chǔ)礎(chǔ)是數(shù)理理

2、統(tǒng)計。有有時域和頻域兩類類建模方方法，這這里概括括介紹時時域方法法，即基基于曲線線擬合與與參數(shù)估估計（如如最小二二乘法）的的方法。常常用于經(jīng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)統(tǒng)建模（如如市場預(yù)預(yù)測、經(jīng)經(jīng)濟(jì)規(guī)劃劃）、氣氣象與水水文預(yù)報報、環(huán)境境與地震震信號處處理和天天文等學(xué)學(xué)科的信信號處理理等等。51 ARMMA模型型分析一、模型類類 把把具有相相關(guān)性的的觀測數(shù)數(shù)據(jù)組成成的時間間序列 xkk 視為以以正態(tài)同同分布白白噪聲序序列 ak 為輸入入的動態(tài)態(tài)系統(tǒng)的的輸出。用用差分模模型 AARMAA(n,m) 為 (z-1) xxk= (zz-1) aak式（55-1-1）其中： (z-1)= 1-1 z-1-n z-n (z-

3、11)= 1-1 z-1-m z-m離散傳函式（5-11-2） 為與參考書書符號一一致，以以下用BB表示時時間后移移算子即： BB xkk= xxk-11 B即z-1，B2即z-2(B)=00的根為為系統(tǒng)的的極點，若若全部落落在單位位園內(nèi)則則系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定；(B)=0的根根為系統(tǒng)統(tǒng)的零點點，若全全部在單單位園內(nèi)內(nèi)則系統(tǒng)統(tǒng)逆穩(wěn)定定。二、關(guān)于格格林函數(shù)數(shù)和時間間序列的的穩(wěn)定性性1格林函函數(shù)Gi 格格林函數(shù)數(shù)Gi用以把把xt 表示示成at及at既往值值的線性性組合。式（5-11-3）GI可以由由下式用用長除法法求得：例1ARR(1): xtt - 1x t-1 = a t即：Gj = 1j （顯顯示）例

4、2ARRMA(1,11): xxt - 1x t-1 = a t - 1a t G00= 11 ; Gjj =(1- 1)1j-11 ,jj1 （顯顯示）例3ARRMA(2,11) (1- 1B -2B2)x tt = (a t - 1 B )a t得出：G00= 11 G11 =0G0-1 G22 =1G1+2G0 . . . . . Gjj =1Gj-1+2Gj-22（j 2）Gj為滿足足方程 (1- 1B -2B2) GGj= 00 的解解，稱為為隱式表表達(dá)式。該該結(jié)論可可推廣到到ARMMA(nn,m) 模型型。2格林函函數(shù)與系系統(tǒng)穩(wěn)定定性當(dāng)j 時：Gj 有界界，則系系統(tǒng)穩(wěn)定定；Gj 衰

5、減減，則系系統(tǒng)漸進(jìn)進(jìn)穩(wěn)定；Gj發(fā)散，則則系統(tǒng)不不穩(wěn)定。例： ARR(1):Gj = 1j 當(dāng) 1時時，Gj發(fā)散，不不穩(wěn)定。例： ARRMA(2,11)1和2和為為特征方方程的根根，有11 + 2 = 1和 12 = 2 當(dāng) 1 1 且 2 11 時，AARMAA(2,1) 漸進(jìn)穩(wěn)穩(wěn)定；當(dāng)當(dāng) 1= 11 且 2 11 或1 11 且 2= 11時，ARRMA(2,11) 穩(wěn)穩(wěn)定； 當(dāng) 1= 2且 或或1 = 2（兩根根同號）時時，不穩(wěn)穩(wěn)定。由由此得出出ARMMA(22, ) 的穩(wěn)穩(wěn)定域如如下圖所所示。ARMA(2,mm) 的的穩(wěn)定域域三、逆函數(shù)數(shù)與逆穩(wěn)穩(wěn)定性逆函數(shù)Ijj 表示示xt的既往往值對當(dāng)

6、當(dāng)前值的的影響，與與格林函函數(shù)Gj表示既既往的aat值對xt的影響響正相反反。定義：即：或：at = ( 1- I1B-I2B2-) xt at格格林函數(shù)數(shù) xxtxt 逆函函數(shù) at系統(tǒng)逆穩(wěn)定定的條件件是 (B) 的根 1，即即意味著著過時愈愈久的xxt的老數(shù)數(shù)據(jù)對xxt的現(xiàn)在在值影響響愈大，這這顯然是是不合理理的。5. 自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)與偏偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)及及其截尾尾性(略略)52時時間序列列建模及及其應(yīng)用用一、關(guān)于吳吳憲民 andd Paandiit的建建模策略略簡介ARMA(n,mm)模型型,當(dāng)nn 和m 設(shè)定后后,可由由非線心心、非線線性最小小二乘法法估計參參數(shù),并并計算出出殘差平平方

7、總和和(R.S.SS.)。設(shè)設(shè)定不同同的n和m值，用用F檢驗比比較R.S.SS.，確確定合理理的n 、m值。窮舉法（最最笨的建建模策略略）：高高階模型型要做很很多次搜搜索，計計算量大大。吳憲民 Pannditt 建模模策略目的是減少少建模的的搜索次次數(shù)。策策略可概概括為：10. 按按照ARRMA(2n,2n-1) 擬擬合模型型，即當(dāng)當(dāng)nn+1時，模模型增加加2階，理理由是過過程的基基點往往往是成對對的。20. 檢查AARMAA(2nn,2nn-1) 模模型的高高階項參參數(shù)2n和2n-1 的的絕對值值是否很很小，它它們的置置信區(qū)間間是否包包含零在在內(nèi)？若若是，則則進(jìn)一步步擬合下下降一階階后的模模

8、型ARRMA(2n-1,2nn-2)，并并用F檢檢驗檢查查。30. 探索進(jìn)進(jìn)一步降降低MAA的階次次的可能能性，即即設(shè)ARRMA(2n-1,m) ，mm2n 1 ，用用F檢驗驗確定。補(bǔ)充：關(guān)于于參數(shù)估估計誤差差的置信信區(qū)間假定參數(shù)估估計符合合正態(tài)分分布N（0，2）則估估計值的的置信區(qū)區(qū)間(995%置置信度)為： j 11.966j參數(shù)的估計計誤差協(xié)協(xié)方差陣陣為：j的置信區(qū)區(qū)間為：j = 11, 22, 二、時間序序列建模模應(yīng)用舉舉例 太陽黑子子年均數(shù)數(shù),由117499-19924年年共計1176個個觀測數(shù)數(shù)據(jù)。擬擬合ARRMA（22，1）模模型，F(xiàn)F檢驗AARMAA（4，33）較前前者沒有有明

9、顯改改善。AARMAA（2，11）模型型估計結(jié)結(jié)果為： 參數(shù)估估計 995%置置信區(qū)間間1 = 11.422 ( 1.226 1.58 )2 = - 0.72 ( - 0.886 - 0.58 )1= 0.15 ( - 0.07 00.377 )因為1的值值較小，而而且置信信區(qū)間包包括零在在內(nèi)，所所以進(jìn)一一步實驗驗降為AAR（22）模型型。估計計結(jié)果： 參數(shù)估估計 995%置置信區(qū)間間1 = 11.433 ( 1.223 1.45 )2 = - 0.65 ( - 0.76 - 0.54 )F檢驗表明明ARMMA（22，1）模模型較之之AR（22）模型型并沒有有明顯改改善，而而且2 的置信信區(qū)間

10、不不包含零零，所以以AR（22）模型型合適。例2IBBM股票票每天值值（611.5.162.11.2）按按照吳憲憲民Pannditt建模策策略，得得出ARRMA（66，5）模模型。例3航空空公司月月銷售額額（499.1 660.112 ）建建模結(jié)果果- AARMAA(133,133)趨勢項和季季節(jié)性恒定趨勢即總的趨勢勢保持在在同一水水平，均均值0。引引入算子子，定義義為： =（11-B） ， 即 xt = xxt - xt-11 可以消消除恒定定趨勢。例例如IBBM股票票模型用用 xt =（11-1B）aat 更更為合適適。有恒恒定趨勢勢的模型型有一個個極點的的絕對值值接近為為1。線性趨勢總趨勢按照照線性規(guī)規(guī)律增減減，即模模型有兩兩個極點點的絕對對值接近近為1的的情況。用用算子2 = (1B )2可以消除線線性趨勢勢，例如如：2 xt =（11-1B）aat 多項式趨趨勢有多個極點點的絕對對值接近近于1 , 引入算算子3 = (1B )3例如：3 xt =（11-1B-2 B2）at4. 季節(jié)節(jié)性有的時間序序列按照照一定的的周期波波動,例例如月平平均溫度度是按照照12個個月的周周期波動動的，每每小時用用電量按按照244小時的的周期變變化，稱為為季節(jié)性性。為消消除季節(jié)節(jié)性的影影響，引引入算子子