機構學與機器人學chap6

1、第六章 機器人的動力學分析機器器人操作作的動態(tài)態(tài)數(shù)學模模型，主主要采用用下列兩兩種理論論：（1）動力學學基本理理論，包包括牛頓頓-歐拉方程程。（2）拉格朗朗日力學學，特別別是二階階拉格朗朗日方程程。拉格朗日日函數(shù)L被定義為為系統(tǒng)的的動能K和位能P之差，即即:（4.1）其中，K和P可以用任任何方便便的坐標標來表示示。系統(tǒng)動力力學方程程式，即即拉格朗朗日方程程如下：（4.2）式中，為表示動動能和位位能的坐坐標，速度，而而為相應的的Fi是力或是是力矩，由qi為直線坐坐標或角角坐標所所決定。這些力力、力矩矩和坐標標稱為廣廣義力、廣義力力矩和廣廣義坐標標，n為連桿數(shù)數(shù)目。Fi為作用在在第i個坐標上上的力

2、或或是力矩矩。4.1.1剛剛體體的動能能與位能能在理論力力學或物物理力學學部分，曾對如如圖4.1所示示的一般般物體平平動時所所具有的的動能和和位能進進行過計計算，其其求法是是大家所所熟悉的的，如下下：式中，表表示物體體所具有有的動能能K、位位能P，所消耗耗的能量量D和外外力所做做的功W ；M0和M1為支架和和運動物物體的質質量；x0和x1為運動坐坐標；g為重力力加速度度；k為為彈簧虎虎克系數(shù)數(shù)；c為為摩擦系系數(shù)；F為外施施作用力力。對于這一一問題，存在兩兩種情況況。1、為廣義坐坐標其中，左左式第一一項為動動能隨速速度（或或角速度度）和時時間的變變化；第第二項為為動能隨隨位置（或角度度）的變變化

3、；第第三項為為能耗隨隨速度的的變化；第四項項為位能能隨位置置的變化化。右式式為實際際外加力力或力矩矩。代入入相應各各項的表表達式，并化簡簡可得:表示為一一般形式式為:即為所求求x0=0時的的動力學學方程式式。其中中，左式式三項分分別表示示物體的的加速度度、阻力力和彈力力，而右右式兩項項分別表表示外加加作用力力和重力力。2、 均為廣義義坐標這時有下下式:或用矩陣陣形式表表示為:下面來考考慮二連連桿機械械手（見見圖4.2）的的動能和和位能。這種運運動機構構具有開開式運動動鏈，與與復擺運運動有許許多相似似之處。圖中，T1和T2為轉矩，m1和m2為連桿1和連桿桿2的質質量，且且以連桿桿末端的的點質量量

4、表示；d1和d2分別為兩兩連桿的的長度，1和2為廣義坐坐標；g為重力力加速度度。先計算連連桿1的的動能K1和位能P1。因為:，所以有有:再求連桿桿2的動動能K2和位能P2:式中:于是可求求得:以及:這樣，二二連桿機機械手系系統(tǒng)的總總動能和和總位能能分別為為:（4.3）（4.4）將相應各各導數(shù)和和偏導數(shù)數(shù)代入(4.2)，即即可求得得力矩T1和T2的動力學學方程式式：重力項：在分析簡簡單的二二連桿機機械手系系統(tǒng)的基基礎上上，我們分析析由一組組A變換換描述的的任何機機械手，求求出出動力學學方程。推導過過程分五五步進行行。（1）計計算任一一連桿上上任一點點的速度度；（2）計計算各連連桿的動動能和機機械

5、手的的總動能能；（3）計計算各連連桿的位位能和機機械手的的總位能能；（4）建建立機械械手系統(tǒng)統(tǒng)的拉格格朗日函函數(shù)；（5）對對拉格朗朗日函數(shù)數(shù)求導，以得到到動力學學方程式式。圖4.4表示一一個四連連桿機械械手的結結構。我我們先從從這個例例子出發(fā)發(fā)，求得得此機械械手某個個連桿（例如連連桿3）上某一一點（如如點P）的速度度、質點點和機械械手的動動能與位位能、拉拉格朗日日算子，再求系系統(tǒng)的動動力學方方程式。然后，由特殊殊到一般般，導出出任何機機械手的的速度、動能、位能和和動力學學方程的的一般表表達式。4.2.1速速度度的計算算圖4.4中連桿桿3上點點P的位位置為：式中，為總（基基）坐標標系中的的位置矢

6、矢量；為局部（相對關關節(jié)O3）坐標系系中的位位置矢量量；T3為變換矩矩陣，包包括旋轉轉變換和和平移變變換。對于任一一連桿i上的一一點，其其位置為為:（4.14）點P的速速度為:式中，所以有有對于連桿桿i上任任一點的的速度為為P點的加速速度P點速度度的平方方對于任一一機械手手上一點點的速度度平方為為式中，Trace表示示矩陣的的跡。對對于n階階方程來來說，其其跡即為為它的主主對角線線上各元元素之和和。4.2.2動動能和位位能的計計算令連桿3上任一一質點p的質量量為dm，則其其動能為為任一機械械手連桿桿i上位位置矢量量其動能如如下式表表示：的質點，對連桿3積分dK3，得連桿桿3的動動能為式中，積積

7、分稱為連桿桿的偽慣慣量矩陣陣，并記記為這樣，任何機械械手上任任一連桿桿i動能能為（4.17）式中，Ii為偽慣量量矩陣，其一般般表達式式為根據(jù)理論論力學或或物理學學可知，物體的的轉動慣慣量、矢矢量積以以及一階階矩量為為如果令于是可把把Ii表示為（4.18）具有n個個連桿的的機械手手總的動動能為（4.19）此外，連連桿i的的傳動裝裝置動能能為式中，Iai為傳動裝裝置的等等效轉動動慣量，對于平平動關節(jié)，Iai為等效質質量；為關節(jié)i的速度度。所有關節(jié)節(jié)的傳動動裝置總總動能為為于是得到到機械手手系統(tǒng)（包括傳傳動裝置置）的總總動能為為（4.20）下面再來來計算機機械手的的位能，一個在在高度h處質量量為m的

8、的物體，其位能能為連桿i上上位置處的質點點dm，其位能能為式中，其中，mi為連桿i的質量量：關節(jié)坐標標系的重重心位置置。為連桿i相對于于其由于傳動動裝置的的重力作作用Pai一般是很很小的，可以略略之不計計，所以以，機械械手系統(tǒng)統(tǒng)的總位位能為（4.21）4.2.3動動力力學方程程的推導導據(jù)式（4.1）求拉格格朗日函函數(shù)（4.22）再據(jù)式（4.2）求動動力學方方程。先先求導數(shù)數(shù)據(jù)式（4.18）知，Ii為對稱矩矩陣，即即，所以下下式成立立當pi時，后后面連桿桿變量qp對前面各各連桿不不產(chǎn)生影影響，即。這樣可可得因為所以再求 項在上列兩兩式運算算中，交交換第二二項和式式的啞元元j和k，然后后與第一一項

9、和式式合并，獲得化化簡式。把上述述兩式代代入（4.2）的右式式得交換上列列各和式式中的啞啞元，以以i代替替p，以以j代替替i，以以m代替替j，即即可得具具有n個個連桿的的機械手手系統(tǒng)動動力學方方程如下下這些方程程式是與與求和次次序無關關的。我我們把式式（4.23）寫成下下列形式式：（4.24）（4.25）(4.26)（4.27）式中取n=6，而且慣量項加速度系系數(shù)項重力項上述各方方程與4.1.2節(jié)的的慣量項項及重力力項一樣樣。這些些項在機機械手控控制中特特別重要要，因為為它們直直接影響響機械手手系統(tǒng)的的穩(wěn)定性性和定位位精度。只有當當機械手手高速運運動時，向心力力和哥氏氏力才是是重要的的。這時時

10、，它們們所產(chǎn)生生的誤差差不大。傳動裝裝置的慣慣量Iai往往具有有相當大大的值，而且對對減少有有效慣量量的結構構相關性性和耦合合慣量項項的相對對重要性性有顯著著影響。4.3.1二二連桿桿機械手手動力學學方程在前面討討論過二二連桿機機械手的的動力學學方程，下面討討論二連連桿機械械手慣量量項及重重力項的的計算。首先，規(guī)規(guī)定機械械手的坐坐標系，如圖，并計算算A矩陣陣和T矩矩陣。表表4.2表示各各連桿參參數(shù)。表4.2 二連連桿機械械手連桿桿參數(shù)連桿變量ad110d10220d20A矩陣和和T矩陣陣如下：對于旋轉轉關節(jié)，可得微微分平移移矢量和和微分旋旋轉矢量量如下：對于平移移關節(jié)，可得各各矢量如如下：以 為基礎，有下式式(p=1，i=1)以 為基礎，可得下下式(p=2，i=2)以 為基礎，可得下下式(