兩個(gè)重要極限64097課件

1、第四講 兩個(gè)重要極限 第四講 兩個(gè)重要極限 兩個(gè)重要的極限 1-4 兩個(gè)重要的極限 1-4預(yù)備知識(shí)1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí) 以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù) y = logex，叫做自然對(duì)數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡(jiǎn)記為 y = ln x. 數(shù) e 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的前八位數(shù)是： e = 2.718 281 8 預(yù)備知識(shí)1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí) 3.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí)4.無(wú)窮小量定義 在某個(gè)變化過(guò)程中，以0為極限的變量稱為在這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，常用字母性質(zhì) 無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小量.3.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí)4.無(wú)窮小量性質(zhì) 無(wú)窮小量

2、與有界變5.極限的運(yùn)算法則5.極限的運(yùn)算法則X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998第一個(gè)重要極限X 1 0.OxBACD證OxBACD證解這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用例 1求解這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用例 1求例 2注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：例 2注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算： 練習(xí)1. 求下列極限: 練習(xí)1. 求下列極限:兩個(gè)重要極限64097課件 例 3

3、解例 4解 例 3解例 4解思考題思考題練習(xí)3：下列等式正確的是（ ） 練習(xí)4：下列等式不正確的是（ ）練習(xí)3：下列等式正確的是（ ） 練習(xí)4：下列等式練習(xí)5. 下列極限計(jì)算正確的是（ ）練習(xí)6. 已知當(dāng)（ ）時(shí)，為無(wú)窮小量.練習(xí)5. 下列極限計(jì)算正確的是（ ）練習(xí)6. 已知，當(dāng) 時(shí)，為無(wú)窮小量 練習(xí)7. 已知練習(xí)8.練習(xí)9.，當(dāng) 時(shí)，為無(wú)窮 X -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828 X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827第二個(gè)重

4、要極限 X -10 -100 兩個(gè)重要極限64097課件兩個(gè)重要極限64097課件解因?yàn)樗?，有?1解因?yàn)樗裕欣?1例 2 解方法一令 u = -x， 因?yàn)?x 0 時(shí) u 0，所以例 2 解方法一令 u = -x， 因?yàn)?x 0方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量例3解例3解練習(xí)1.解練習(xí)1.解練習(xí)2.解練習(xí)2.解練習(xí)3.解練習(xí)3.解兩個(gè)重要極限:小結(jié)兩個(gè)重要極限:小結(jié)練 習(xí) 題練 習(xí) 題兩個(gè)重要極限64097課件思考題解因?yàn)樗粤?u = x - 3 ，當(dāng) x 時(shí) u ，因此思考題解因?yàn)樗粤?u = x - 3 ，當(dāng) x 第一章 作業(yè)2作業(yè)第一章 作業(yè)2作業(yè)附錄

5、兩個(gè)重要極限的證明附錄兩個(gè)重要極限的證明OxRABC證 AOB 面積 扇形AOB 面積 AOC 面積, 即例兩個(gè)重要極限的證明OxRABC證 AOB 面積 扇形AOB 面積 因?yàn)?所以再次運(yùn)用定理 6 即可得因?yàn)?重要極限1 其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.證設(shè)圓心角 過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，又作則sin x =BD，tan x=AC，重要極限1 其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.證設(shè)圓心角 兩個(gè)重要極限64097課件這就證明了不等式(7).從而有這就證明了不等式(7).從而有兩個(gè)重要極限64097課件重要極限2證重要極限2證兩個(gè)重要極限64097課件這是重要極限2常用的另一種形

6、式.這是重要極限2常用的另一種形式.分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運(yùn)算法則求解。極限綜合練習(xí)題(一)分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母兩個(gè)重要極限64097課件例3 求下列極限：例3 求下列極限：解： 當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí)， 當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí),解： 當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí)， 當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí),例5 求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的極限過(guò)程中，分子、分母的 極限均為零，不能直接用極限商的運(yùn)算法則。求解此類極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致

7、零因式，把它們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為： 若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是無(wú)理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。例5 求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。求解。又當(dāng)x0時(shí)，ax0，bx0，于是有求解。又當(dāng)x0時(shí)，ax0，bx0，于是有分析：當(dāng)x0時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1個(gè)重要

8、極限。 分析：當(dāng)x0時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無(wú)理函兩個(gè)重要極限64097課件解法2：解法2：分析：當(dāng) x0時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運(yùn)算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個(gè)重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?。分析：?dāng) x0時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用解：因當(dāng)x時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法則求解，考慮到 解：因當(dāng)x時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法兩個(gè)重要極限64097課件解1. 求極限:極限綜合練習(xí)題(二)解1. 求極限:極限綜合練習(xí)題(二) 解

9、:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即 2.求下列極限： 解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即 2.求下列解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即3. 求下列極限：解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且m=n，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來(lái)計(jì)算。解：分子分母同除以x15，有 分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且m=n，可直接利用上=2 2 + 1 = 5 解5. 求=2 2 + 1 = 5 解5. 求解6. 求極限解6. 求極限 解：容易算出分式分子的最高次項(xiàng)是 ，分式分母的最高次項(xiàng)是 ，所以7. 求極限 解：容易算出分式分子的最高次項(xiàng)是 8. 求極限8. 求極限9. 設(shè)函數(shù)問(wèn)：（1）當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在x=0右連續(xù)； （2）a ,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處有極限存在； （3）當(dāng)a ,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。 處右連續(xù)。在時(shí)，。故當(dāng)，從而，又右連續(xù)，須有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(=+xxfaaaxxxaffxfxxxf9.