《微積分基本定理》疑難點撥

1、PAGE6微積分基本定理疑難點撥一、對微積分基本定理的理解一般地,如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),并且,那么,這個結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓-萊布尼茨公式其中,叫做的一個原函數(shù),為了方便,我們常把記作,即說明1微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,最重要的是它也提供了計算定積分的一種有效方法2利用微積分基本定理計算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)通常,我們可以運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則逆向求出,這個過程與求導(dǎo)運算互為逆運算為避免出錯,在求出后,可利用進(jìn)行驗證3在微積分基本定理中,函數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)因為為常數(shù)）,所以也是函數(shù)的一個原函數(shù)4微積分基本定理告訴我們

2、可以借助求原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量來計算定積分,也就是說,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于的任意一個原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量5由于,所以在計算定積分時,只需寫出的一個原函數(shù)即可,不需要再加上任意常數(shù)例11若,則被積函數(shù)的原函數(shù)為（ABCD2如果,則_解題導(dǎo)引1根據(jù)微積分基本定理判斷；2利用定積分的性質(zhì)求解二、計算定積分的步驟1把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；2利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個定積分的和與差；3分別用求導(dǎo)公式找到,使得；4利用微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）求出各個定積分的值；5計算所求定積分的值例2計算下列定積分:1；2；3解題導(dǎo)引

3、（13先求被積函數(shù)的原函數(shù),然后利用微積分基本定理求解；（2先化為分段函數(shù),然后求解三、定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在軸上方的面積為,在軸下方的面積為則:1當(dāng)曲邊梯形在軸上方時,如圖1,則2當(dāng)曲邊梯形在軸下方時,如圖2,則3當(dāng)曲邊梯形在軸上方、軸下方均存在時,如圖3,則,若,則例3由曲線與直線,所圍成的圖形的面積為_解題導(dǎo)引畫出函數(shù)在上的圖像分段求面積并相加參考答案例1答案:1C；2見解析解析:1由微積分基本定理知,選C2,所以,所以導(dǎo)師點睛（1求定積分要先找到一個導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的原函數(shù)；（2求連續(xù)函數(shù)的定積分可以把原函數(shù)分成幾段進(jìn)行,轉(zhuǎn)化為各區(qū)間上定積分的和例2答案:見解析解析:1,23,導(dǎo)師點睛計算定積分要注意:正確選擇被積函數(shù)的原函數(shù)；結(jié)果是原函數(shù)在上的改變量,而且定積分的值可能是正值,也可能是負(fù)值,還可能是0；帶絕對值的解析式,可先化為分段函數(shù),然后求解例3答案:見解析解析:如圖,在區(qū)間和上,定積分的值為負(fù),所以部分的面積應(yīng)為定積分值的相反數(shù),在軸上方的積分值取正號,在軸下方的積分值取負(fù)號,面積為正值由條件知