2018年最新整理彈性力學 第六章 平面問題的直角坐標解

1、 則梁的邊界條件為該邊界條件要完全滿足非常困難。但深入分析發(fā)現(xiàn)，只要梁是細長的，則其上下表面為主要邊界，這是必須精確滿足；而左右端面的邊界條件，屬于次要邊界。根據(jù)圣維南原理，可以使用靜力等效的應(yīng)力分布來替代，這對于離端面稍遠處的應(yīng)力并無實質(zhì)性的影響。因此兩端面的邊界條件可以放松為合力相等的條件。此外由于梁是外力靜定的，固定端的三個反力可以確定，因此在求應(yīng)力函數(shù)時，只要三面的面力邊界條件就可以確定。固定端的約束，即位移邊界條件只是在求解位移時才使用。這樣問題的關(guān)鍵就是選擇適當?shù)膽?yīng)力函數(shù)，使之滿足面力邊界條件。2、邊界條件與應(yīng)力函數(shù)因為在梁的上下邊界上，其彎矩為F(l-x),即力矩與(l-x)成正

2、比，根據(jù)應(yīng)力函嗆二J心)行皿+JOh-y)町少的性質(zhì)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為其中fy)為y的任意函數(shù)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程，可得f(y)=+by+cy+d72?V(=(1刃=0f(y)=+by+cy+d，積分可得由于待定系數(shù)d不影響應(yīng)力計算，可令其為零。所以，應(yīng)力函數(shù)為+卽2+專）將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，可得應(yīng)力分量3、懸臂梁應(yīng)力3、懸臂梁應(yīng)力將上述應(yīng)力分量代入面力邊界條件可以確定待定系數(shù)。在上下邊界9朋=士纟=0在x=l邊界上，6可以確定待定系數(shù)。在上下邊界9朋=士纟=0在x=l邊界上，6円自動滿足。而T_+h二，則要求自動滿足。而則要求聯(lián)立求解上述三式，可得4ah聯(lián)立求解上述三式

3、，可得4ah2+ch=F注意到對于圖示薄板梁，其慣性矩二著。所以應(yīng)力分量為注意到對于圖示薄板梁，其慣性矩二著。所以應(yīng)力分量為所得應(yīng)力分量與材料力學解完全相同。當然對于類似問題，也可以根據(jù)材料力學的解答作為基礎(chǔ)，適當選擇應(yīng)力函數(shù)進行試解，如不滿足邊界條件，再根據(jù)實際情況進行修正。4、懸臂梁變形應(yīng)力分量求解后，可以進一步求出應(yīng)變和位移。將應(yīng)力分量代入幾何方程和物理方程二二2Q+V)_2(1小二二2Q+V)_2(1小科_可得加忘衛(wèi)卽加忘衛(wèi)卽對于上述公式的前兩式分別對x,y積分，可得唁3-討y)+善心其中f(y),g(x)分別為y,x的待定函數(shù)。5、懸臂梁位移推導將上式代入應(yīng)變分量表達式的第三式，并作

4、整理可得辭“-討川笛)-討計力5)與由于上式左邊的兩個方括號內(nèi)分別為x，y的函數(shù)，而右邊卻為常量，因此該式若成立，兩個方括號內(nèi)的量都必須為常量。所以f(y)-y2+Q+17)才二朋孑（工）_（丘_穿）*眈+克=（1+y）上式的前兩式分別作積分，可得將上式回代位移表達式其中m,n,c,d為待定常數(shù)，將由位移邊界條件確定。6、懸臂梁端面位移邊界顯然，上述位移不可能滿足位移邊界條件x=0，u=v=0。懸臂梁左端完全固定的約束條件太強了，要嚴格滿足非常困難。對于工程構(gòu)件，端面完全固定僅僅是一種假設(shè)，真實的端面約束條件是非常復雜的。在彈性力學討論中，重要的是分析一般條件下，懸臂梁的彎曲變形。根據(jù)圣維南原

5、理，真實約束條件對于懸臂梁位移分析的影響主要是端面附近的位移，對于遠離端面處，這個影響主要是剛體位移。因此首先排除剛體位移，平面問題只要有三個約束條件就足夠了。至于選用的約束條件與實際約束的差別，將在本節(jié)最后討論。為此首先假定左端截面的形心不能移動，即當x=y=0u=v=0代入位移表達式，可得c=d=0為了確定m和n,除了利用位移邊界條件，還必須補充一個限制剛體轉(zhuǎn)動的條件。分別考慮兩種情況：一是左端面形心處的水平微分線段被固定；二是左端面形心處的垂直微分線段固定。7、邊界條件一對于第一種情況，即增加約束條件由此條件，可得克二0用二寸Q+v)h2對應(yīng)的位移為懸臂梁變形后的撓曲線方程為這一結(jié)果與材

6、料力學的解答完全相同。這時梁的左端面變形為三次曲面，如圖所其表達式為在左端面的形心，垂直微分線段將產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為竺_FQ+譏2_3F卽丿u4EI2Gh8、邊界條件二對于第二種情況，即增加約束條件由此條件，可得對應(yīng)的位移為梁變形后的撓曲線方程為這時梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示其表達式為在左端面的形心水平微分線段將產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為比較上述結(jié)果可見，假設(shè)的兩種情況實際上僅相差一個剛體轉(zhuǎn)動。如果讓第種情況順時針轉(zhuǎn)動一個角度，即為第二種情況。4EI6.8簡支梁受均布載荷作用學習思路:簡支梁作用均勻分布力問題是又一個經(jīng)典彈性力學平面問題解。采用應(yīng)力解法的關(guān)鍵是確定應(yīng)力函數(shù)，首先根據(jù)邊界條件，確定應(yīng)

7、力函數(shù)的基本形式。將待定的應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程得到多項式表達的函數(shù)形式。對于待定系數(shù)的確定，需要再次應(yīng)用面力邊界條件。應(yīng)該注意的是簡支梁是幾何對稱結(jié)構(gòu)，對稱載荷作用時應(yīng)力分量也是對稱的。對稱條件的應(yīng)用將簡化問題的求解難度。學習要點：1、簡支梁及其邊界條件；2、應(yīng)力函數(shù)分析；3、應(yīng)力函數(shù)；4、待定系數(shù)確定；5、端面邊界條件簡化；6、簡支梁應(yīng)力分析。1、簡支梁及其邊界條件試考察一個承受均勻分布載荷的簡支梁q，其跨度為l，橫截面高度為h(hVVl),單位厚度。并且設(shè)其自重可以忽略不計。由于簡支梁是外力靜定的，兩端的支座反力是已知的。因此在求解時，不妨將支座看作外力已知的邊界，于是可寫出下列邊界條件

8、CF.=0CF=0上述條件中，上下表面的邊界條件是主要的，必須精確滿足。至于兩端的邊界條件可以根據(jù)圣維南原理放松為合力滿足。采用半逆解法求解。首先對應(yīng)力狀態(tài)做一個基本分析，由材料力學分析可知：彎曲正應(yīng)力主要是由彎矩引起的；彎曲切應(yīng)力主要由剪力引起的；而擠壓應(yīng)力應(yīng)由分布載荷引起的。2、應(yīng)力函數(shù)分析根據(jù)上述分析，因此假設(shè)擠壓應(yīng)力不隨坐標x而改變，即y為坐標y的函數(shù)，巧=f(y)因此根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式，可得將上式對x積分，可得饕二h(y)+胃(y)其中f(y),g(y),h(y)均為任意待定函數(shù)。對于上述應(yīng)力函數(shù)還需要考察其是否滿足變形協(xié)調(diào)方程，代入變形協(xié)調(diào)方程，則上式為關(guān)于x的二次方程

9、。對于變形協(xié)調(diào)方程，要求在彈性體的任意點滿足。因此要求所有的x均滿足，所以這個二次方程的系數(shù)和自由項都必須為零。即3、應(yīng)力函數(shù)上述公式的前兩式要求fy)=Ay3+By2+Cy+Dg(y)=Ey3+Fy2+Gy這里應(yīng)力函數(shù)的線性項已經(jīng)略去。而第三式則要求dydXy)=_2ZW=_w_4BdyKy)=-彳才+珊+爐即其中線性項已被忽略不計。將上述各式代入應(yīng)力函數(shù)公式，則趴S)=討(4/+站+6+。)+估+6)嶋才一歆+砒+審將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達式十_滬爲十_滬伊f_ESf貝一石廠，占一冠一，忘齊可得6、=y(64v+2S)+X(6y+2F)-24y3-25y2+6/Yy+2(ry=Ay3

10、+By2+Cy+D=-x(34y2+2+C)-(32+2?+G)4、待定系數(shù)確定上述應(yīng)力分量已經(jīng)滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程，現(xiàn)在的問題是根據(jù)面力邊界條件氏=crj+m坊二匸丿+b嚴確定待定系數(shù)。在考慮邊界條件之前，首先討論一下問題的對稱性，這樣往往可以減少計算工作。由于y軸是結(jié)構(gòu)和載荷的對稱軸，所以應(yīng)力分量也應(yīng)該對稱于y軸，因此和應(yīng)該是x的偶函數(shù)，而t應(yīng)為x的奇函數(shù)。因此xyxyE=F=G=0對于細長梁，由于梁的高度遠小于跨度，所以上下邊界為主要邊界，其邊界條件必須精確滿足，我們首先考慮上下兩邊的邊界條件。+%十匚血十=0%842%k3+-h2-h+D=-q842-x(lAh2-Bh+U)

11、=02Bh+C=05、端面邊界條件簡化根據(jù)上述主要邊界的面力邊界條件，可得將上述七個待定系數(shù)分別代入應(yīng)力分量表達式將上述七個待定系數(shù)分別代入應(yīng)力分量表達式可得以下考慮簡支梁左右兩端面的面力邊界條件，確定剩余的兩個待定系數(shù)。由于對稱性已經(jīng)討論，所以只需要考慮其中的一個端面，比如右端面。如果右端面的邊界條件能滿足，左端面的邊界條件由對稱性自然滿足。首先，在梁的右端面沒有水平面力，這要求在x=-處，b二0，根據(jù)應(yīng)力2x分量計算公式，如果該條件滿足，只有q=0。但是這與問題是矛盾的，因此這個邊界條件只能利用圣維南原理，放松為合力邊界條件，將應(yīng)力分量分別代入上述兩式，則m將應(yīng)力分量分別代入上述兩式，則m

12、另外在梁的右邊切應(yīng)力的合力應(yīng)等于支反力。將切應(yīng)力計算公式代入，積分可見這個條件已經(jīng)滿足。綜上所述，已經(jīng)求出了所有的待定系數(shù)。將上述結(jié)論代入應(yīng)力分量表達式，并作整理，可得6、簡支梁應(yīng)力分析下面討論簡支梁的應(yīng)力分布注意到梁的慣性矩為，靜矩為s=妒-壬才，而梁的彎曲內(nèi)力為則應(yīng)力分量表達式可以改寫為讓我們將上述應(yīng)力分量，即彈性力學解答結(jié)果與材料力學的結(jié)果作一比較。首先考慮橫截面，即沿鉛垂方向的應(yīng)力分布，如圖所示在彎曲正應(yīng)力的表達式中，第一項是主要項，與材料力學的解完全相同，X而第二項是彈性力學提出的修正項。對于細長梁，這個修正項很小，可以忽略不計。應(yīng)力分量C是梁的各纖維之間的擠壓應(yīng)力，在材料力學中一般

13、是不考慮這y個應(yīng)力分量的。而彎曲切應(yīng)力T的表達式則和材料力學解答里完全相同。xy6.9楔形體水壩學習思路:楔形體水壩受重力和液體壓力作用問題是彈性力學平面問題的另一個應(yīng)用。注意到楔形體水壩由于底部在無限遠，而液體作用至頂部。由于力學模型的幾何形狀不需要長度單位確定，因此問題的應(yīng)力函數(shù)可以采用量綱分析方法確定。量綱分析得到楔形體水壩的應(yīng)力函數(shù)是純?nèi)魏瘮?shù)。應(yīng)用面力邊界條件可以確定待定系數(shù)。由于水壩的側(cè)邊界是斜邊界，應(yīng)該注意邊界法線方向余弦的確定。最后分析楔形體水壩應(yīng)力，并且與材料力學解答作比較。學習要點：1、楔形體水壩應(yīng)力函數(shù)；2、面力邊界條件；3、水壩應(yīng)力分析。1、楔形體水壩應(yīng)力函數(shù)楔形體水壩

14、左邊鉛垂，右邊與鉛直面夾a角度，下端伸向無限長。水壩承受重力和液體壓力作用，楔形體的密度為P，液體的密度為Y，如圖所示在楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一是由重力引起的，應(yīng)當與楔形體的單位體積重量pg成正比；二是由液體壓力引起的，其與液體的單位體積重量Yg成正比。當然，上述應(yīng)力分量還和a，x，y等有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是力長度-2,pg和Yg的量綱是力長度-3,a是無量綱的數(shù)量，而x，y的量綱是長度，因此應(yīng)力分量如果具有多項式的解答，其只能是坐標的x,y的一次冪。即各個應(yīng)力分量的表達式為x,y的純一次式，而其應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當是x,y的純?nèi)问?。因此可以假設(shè)例（兀）=At3+Bx2y+C

15、xy2+Dy3對于楔形體水壩，體力分量Fbx=0，F(xiàn)by=pg。根據(jù)應(yīng)力分量的表達式，可得2、面力邊界條件上述應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程的，下面考慮面力邊界條件以確定各個待定系數(shù)。在水壩左側(cè)，面力邊界條件為%=o二一妙訕m二在水壩右側(cè)，邊界方程x=ytana，面力邊界條件為厲冋詢心+陀廠刑=$taz一邊界法線方向余弦為I-cos(?x)=COSC；m-cos(?iy)=cos(90+tz)=-sina:將應(yīng)力表達式代入上述邊界條件，可得巧二-卿2C=0(2Cytancr+6Dy)coscr-2C-(2B+tancrjsinff=0-2C-(2B+pg)ytanc;cosc;-(2

16、Sy+64/tanor)sinct=0聯(lián)立求解可得A-唇cotga-cot3a22C=0D二還3、水壩應(yīng)力分析將計算所得的系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，即可得到6二-您yb$=(pgcotct-lygcot3a)x+cot2a-pg)yf=-cot3ff計算數(shù)據(jù)如圖所示必ml切應(yīng)力6扌齊壓應(yīng)力彎曲正應(yīng)力必ml切應(yīng)力6扌齊壓應(yīng)力彎曲正應(yīng)力-宓-F割皿訕T-;-col-r/分析表明：應(yīng)力分量沿水平方向為常數(shù)。對于這個擠壓應(yīng)力，材料力學是不討論的。彎曲應(yīng)力分量沿水平方向線性分布，在水壩左右兩邊分別為y弓|汽=-(/-cot2tz)iy勺心論=-cot2ff對于彎曲應(yīng)力與材料力學偏心壓縮公式所得結(jié)果相同。切

17、應(yīng)力分量T也是線性變化，在水壩左右兩邊分別為xy二遼伸護叫二-怨呻3按材料力學解，橫截面切應(yīng)力T是拋物線分布的，這一結(jié)論和彈性力學解答xy是完全不同的。以上解答稱為萊維解，在工程上作為三角形重力壩的基本解答。6.10矩形截面梁的級數(shù)解法學習思路:彈性力學的經(jīng)典問題具有多項式解，可以通過半逆解法選取所要求的應(yīng)力函數(shù)。這種方法要求彈性體主要邊界作用的載荷必須連續(xù)，而且也能表示成代數(shù)多項式的形式。對于任意載荷作用的矩形彈性體問題，可以采用三角級數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)求解。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)并且通過雙調(diào)和方程找到應(yīng)力函數(shù)特解，疊加可以確定級數(shù)形式應(yīng)力函數(shù)。對于級數(shù)形式應(yīng)力函數(shù)的系數(shù)，可以通過面力邊界條件，并且應(yīng)用

18、三角函數(shù)的正交性在邊界作積分確定。用級數(shù)求解平面問題時，用于求解應(yīng)力表達式的待定系數(shù)的計算工作量相當大。如果級數(shù)的收斂不快，將需要更多的計算工作量。學習要點：1、應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)和方程；2、應(yīng)力函數(shù)特解；3、級數(shù)形式的應(yīng)力分量；4、級數(shù)應(yīng)力函數(shù)系數(shù)的確定。1、應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)和方程對于彈性力學的經(jīng)典問題，由于問題具有多項式解，因此可以通過半逆解法選取所要求的應(yīng)力函數(shù)，從而求得應(yīng)力分量和位移分量。這種方法的局限性是明顯的，它要求彈性體主要邊界作用的載荷必須連續(xù)，而且也能表示成代數(shù)多項式的形式。如果載荷不具備上述特點，甚至是不連續(xù)的，則不能構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)。對于任意載荷作用的矩形彈性體問題，可以采用三角級數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)求解。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)可以寫成如下的形式X(x)Y(y)將上述應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程，可得産O)F(y)+2産O)FO)+X(x)Y(y=0等式兩邊同時除以X(x)Y(y)后，則産（産（X）亠2戲匕）嚴）丄珥刃_産（兀）産（兀廳。）F（刃將上式對y求一階偏導數(shù)，得2TToT【E若要上式成立，則必須有爐攵）爐攵）2）X（x）嚴嚴其中，為任意常數(shù)。于是可以得到下列方程”（刃。庫）+滋（工）二0和LF（y）L珥刃2、應(yīng)力函數(shù)特解上述方程的第一式的通解為這里的K1，K為任意常數(shù)。對于方程的第二式，它是變形協(xié)調(diào)方程對