電路相量法精講課件

1、14 十月 20221第八章 相量法 內(nèi)容提要1.正弦量及其三要素、相位差的概念；2.相量法的概念及其性質(zhì)；3.電路定律和元件VCR的相量形式。1.正弦量的相量表示法；2.正弦量的相量差和有效值的概念；3. R、L、C 各元件電壓、電流關(guān)系的相量形式； 4.電路定律的相量形式。 重點(diǎn)11 十月 20221第八章 相量法 14 十月 20222 難點(diǎn)1. 正弦量與相量之間的聯(lián)系和區(qū)別；2. 元件電壓相量和電流相量的關(guān)系、相量圖。主要是相位關(guān)系是學(xué)習(xí)第 9、10、11、12章的基礎(chǔ)。 .Im= 545o A .Um= 1000o V45oZ = .Um .Im =20-45o W 與其它章節(jié)的聯(lián)系

2、 必須熟練掌握相量法的解析運(yùn)算。 11 十月 20222 難點(diǎn)1. 正弦量與相量之間的聯(lián)系和14 十月 202238-1 復(fù)數(shù)1. 復(fù)數(shù)的表示形式(3)指數(shù)和極坐標(biāo)形式(1)代數(shù)形式 F=a+jb ReF=a， ImF=b(2) 三角形式 F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq | F | = a2 + b2q = arctgba 根據(jù)歐拉公式 e jq =cosq +jsinq 得指數(shù)形式： F = | F | e jq或?qū)懗蓸O坐標(biāo)形式：F = | F |qo+j+1Fbaq11 十月 202238-1 復(fù)數(shù)1. 復(fù)數(shù)的表示形式(14 十

3、月 20224F22. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)加減 用代數(shù)形式。 設(shè) F1=a1+jb1 F2=a2+jb2 則 F1F2 =(a1a2)+j (b1b2) 復(fù)數(shù)加的圖解 +jo+1F1F2F=F1+F2+jo+1F1F2F=F1+F211 十月 20224F22. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)加的圖解 +j14 十月 20225復(fù)數(shù)減的圖解F=F1-F2-F2+jo+1F1F2FF=F1-F2+jo+1F1F2 若F1 = F2 則必須是或者 a1 = a2，jb1= jb2即兩個(gè)復(fù)數(shù)相等|F1| = |F2|，q1=q2(2) 乘除 用指數(shù)或極坐標(biāo)形式最好。乘(除)法運(yùn)算滿足：模相乘(除)，輻角相加(減)。

4、11 十月 20225復(fù)數(shù)減的圖解F=F1-F2-F2+jo14 十月 20226復(fù)數(shù)乘、除的圖解 乘：F1 的模被放大|F2| 倍,輻角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)q2。除：F1 的模被縮小|F2| 倍,輻角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)q2。+jo+1q1F1F2q2|F2|F1q2F=F1F2q=q1+q2q1F1F2q2F1|F2|q2F =F1F2q=q1-q2+jo+1則 F = F1 F2 q1+q2q1-q2F =F1F2=|F1 |F2 |F2= | F2 |設(shè) F1= | F1 |q1 ，q2= |F1 |F2 | 11 十月 20226復(fù)數(shù)乘、除的圖解 乘：F1 的模被放大14 十月 202273. 旋轉(zhuǎn)因子

5、ejq旋轉(zhuǎn)因子 ejq =1q是一個(gè)模等于1，輻角為q的復(fù)數(shù)。任意一個(gè)復(fù)數(shù)A=|A|ejqa乘以ejq ，等于把A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)q角度，而模|A|保持不變。 +jo+1AqaAejqq都是旋轉(zhuǎn)因子Aj = jA，等于把 A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o。 = -jA，等于把 AAj順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o。ep2= jjep2= -j-je jp = -111 十月 202273. 旋轉(zhuǎn)因子ejq旋轉(zhuǎn)因子 ejq 14 十月 202288-2 正弦量電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流，統(tǒng)稱為正弦量。研究正弦電路的意義是：正弦交流電有很多優(yōu)點(diǎn)，在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重要的地位。容易產(chǎn)生、傳送和使用?？梢愿鶕?jù)需要，

6、利用變壓器方便地把正弦電壓升高或降低；電機(jī)、變壓器等電氣設(shè)備，在正弦交流電下具有較好的性能；正弦量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、積分、幾個(gè)同頻率正弦量的加減，其結(jié)果仍是同頻率的正弦量，使電路分析計(jì)算變得簡(jiǎn)單。正弦信號(hào)是一種基本信號(hào)，其分析結(jié)果可以推廣到非正弦周期電流電路中。11 十月 202288-2 正弦量電路中按正弦規(guī)律變化14 十月 20229正弦量的時(shí)域表達(dá)式有兩種形式i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)也稱為瞬時(shí)值表達(dá)式分析時(shí)不可混用，以免發(fā)生相位錯(cuò)誤。今后采用的形式以教材為準(zhǔn)：i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu) 綜上：對(duì)正弦電路的分析研

7、究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。11 十月 20229正弦量的時(shí)域表達(dá)式有兩種形式i = I14 十月 2022101. 正弦量的三要素（以電流為例）(1)振幅(幅值、最大值) Im、有效值I (要素之一)oiw tp2p3p-pIm-Im在放大器參數(shù)中有時(shí)用峰-峰值表達(dá)。峰-峰值2Imi = Imcos(wt + fi)= 2 I cos(wt + fi)反映正弦量變化幅度的大小。 11 十月 2022101. 正弦量的三要素（以電流為例）(14 十月 202211 關(guān)于有效值 周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效應(yīng)，工程上采用有效值來表示。 IdefT10Ti2 dt 通過

8、比較直流電流 I 和交流電流 i 在相同時(shí)間 T 內(nèi)流經(jīng)同一電阻 R 產(chǎn)生的熱效應(yīng)來確定： I2RT =0Ti2R dt把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式計(jì)算可以得到：正弦量的有效值與振幅之間的關(guān)系：Im=2I同理可得：Um=2U若一交流電壓有效值為 U = 220V ，則其最大值為Um311V。11 十月 202211 關(guān)于有效值 周期性電流14 十月 202212工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如電網(wǎng)的電壓等級(jí)、設(shè)備銘牌的額定值等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。在測(cè)量中，交流測(cè)量?jī)x表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。區(qū)分電流、

9、電壓的瞬時(shí)值 ，振幅和有效值的符號(hào)：i、u；Im、Um；I、U。需要注意的是另外注意： IM (Imax) 指最大有效值。11 十月 202212工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值14 十月 202213(2)角頻率w、頻率f、周期T (要素之二) w ：指正弦量單位時(shí)間內(nèi)變化的電角度，單位rad/s。 f ：正弦量每秒鐘變化的周波數(shù)，單位是Hz。wT=2pT2pw、 f、T 之間的關(guān)系w =2pff =T1oiw tp2p3p-p T：正弦量變化一次所需要的時(shí)間，單位s。T =f1在工程中，常用頻率區(qū)分電路：如工頻、音頻、中頻、高頻、微波電路等。反映正弦量變化快慢的參數(shù)。i = Imcos

10、(wt + fi)11 十月 202213(2)角頻率w、頻率f、周期T (要14 十月 202214oiw tp2p3p-p(3)初相角fi (要素之三)注意同一正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。fi常取主值：|fi|180o對(duì)任一正弦量，初相可以任意指定。但對(duì)多個(gè)同頻率正弦量，應(yīng)相對(duì)于同一個(gè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)確定各自的相位。fi 反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，定義為從靠近原點(diǎn)的最大值到原點(diǎn)的距離用角度來表示。i = Imcos(wt + fi)若正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)左側(cè)，則初相位為正，右側(cè)為負(fù)。t =0時(shí)，正弦量的相位角 (wt + fi) = fifi0fi=0oi11 十月 202214oiw tp2

11、p3p-p(3)初相角14 十月 202215例：已知正弦電流波形如圖， =103rad/s， 1.寫出 i(t) 的表達(dá)式；2.求最大值發(fā)生的時(shí)間t1。oi t10050t1解：1.i(t) = 100cos(103t + fi)t = 0 50 = 100cosfifi = 60o由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè) fi = - 60oi(t) = 100cos(103t - 60o)2. 當(dāng) 103t = 60o= 3 時(shí)，出現(xiàn)最大值t1 = 3103= 1.047ms11 十月 202215例：已知正弦電流波形如圖， =1014 十月 2022162. 同頻率正弦量的相位差j則：改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)

12、，初相角不同，但相位差不變！相位差一般取主值，即j | p |。設(shè)：i=Imcos(wt+fi)等于初相之差。j = (wt+fu)-(wt+fi)=fu-fi(1)j0 ，稱 u 超前 i，或 i 滯后 u ，表明 u 比 i 先達(dá)到最大值； (2)j0 ，稱 i 超前 u，或 u 滯后 i，表明 i 比 u 先達(dá)到最大值； u=Umcos(wt+fu)jjoi，uw tp2p3p-piu11 十月 2022162. 同頻率正弦量的相位差j則：改變14 十月 202217j=0，u與i同相j=90o，u與i正交j=180o，u與i反相+-uiZi(3)特殊相位關(guān)系 改設(shè)參考方向時(shí)，該正弦量的

13、初相改變p，因此與其它正弦量的相位差都改變p。oi，uw tp2poi，uw tp2poi，uw tp2pi=Imcos(wt+fi p)11 十月 202217j=0，u與i同相j=90o，u與i14 十月 202218例：計(jì)算下列兩正弦量的相位差。(1) i1(t) =10cos100pt+(3p/4)Ai2(t) =10cos100pt-(p/2)A(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)Ai2(t) =10cos(100pt-105o)A(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)Vu2(t) =10cos(200pt+45o)V(4) i1(t) =5cos(

14、100pt-30o)Ai2(t) = -3cos(100pt+30o)A解：(1) j =(3p/4)-(p/2)=(5p/4) p j =(5p/4)-2p = -3p/4所以 (2) j =30o-(-105o)=135o(3) w1w2，(4) i2(t)=3cos(100pt-150o)j =-30o-(-150o)=120o注意：兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)，應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍比較。不能進(jìn)行相位比較。11 十月 202218例：計(jì)算下列兩正弦量的相位差。(1)14 十月 2022198-3 相量法的基礎(chǔ)在正弦穩(wěn)態(tài)線性電路中，各支路的電壓和電流(響應(yīng))與電源(激勵(lì))

15、是同頻率的正弦量，因此應(yīng)用KCL、KVL分析正弦電路時(shí)，將遇到正弦量的加減運(yùn)算和積分、微分運(yùn)算，在時(shí)域進(jìn)行這些運(yùn)算十分繁復(fù)，通過借用復(fù)數(shù)表示正弦信號(hào)可以使正弦電路分析得到簡(jiǎn)化 。相量表示法的實(shí)質(zhì)是用復(fù)數(shù)表示正弦量。是求解正弦電流電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的有效工具。11 十月 2022198-3 相量法的基礎(chǔ)在正弦穩(wěn)態(tài)線14 十月 202220 根據(jù)疊加定理和數(shù)學(xué)理論，取實(shí)部或虛部進(jìn)行1. 相量 正弦量的相量要追溯到歐拉公式。若 q =wt + fi則 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi) 分析求解，就能得到全部結(jié)果。設(shè)：i = Im cos (wt+fi)則：i = Re

16、Im e j(wt+fi) = ReIm e jfi e jwt = Re Im e jwt .其中，Im.= Im e jfi這是一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)，其特點(diǎn)是輻角隨時(shí)間變化。這是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的復(fù)數(shù)，模是該正弦電流的振幅，輻角是初相，稱為相量。11 十月 202220 根據(jù)疊加定理和數(shù)學(xué)理論14 十月 202221 在分析過程中，考慮的主要問題是：求解振幅或有效值，初相或相位差。因此，變換簡(jiǎn)單易行：已知：i = Im cos (wt + fi)Im.= Im e jfi簡(jiǎn)寫為Im.= Imfi反過來Um. = 30030o Vu=300 cos(wt+30o) V頻率為w 的正(余)弦函數(shù)集合相

17、量的集合變換反變換時(shí)域與相量域的映射 在線性電路中，若激勵(lì)都是同頻率的正弦量，則響應(yīng)也都是與激勵(lì)同頻率的正弦量。11 十月 202221 在分析過程中，考慮的主要問題是14 十月 202222 注意：正弦量與相量的關(guān)系是一種數(shù)學(xué)變換 .Imwt旋轉(zhuǎn)相量的實(shí)部等于正弦量正弦量相量，可認(rèn)為是正變換；相量正弦量，可認(rèn)為是反變換。是 Im e jfi e jwt 的復(fù)常數(shù)部分。i = Imcos (wt+fi)Im.= Imfi是 Ime jfi e jwt 的實(shí)部。任意時(shí)刻，兩者相對(duì)位置不變。因此，可用不含旋轉(zhuǎn)因子ejwt的復(fù)數(shù)表示正弦量。w+j+1ofi .Im .Umfu .Umwt關(guān)系。不是相

18、等的關(guān)系！11 十月 202222 注意：正弦量與相量的關(guān)系是一種14 十月 2022232. 相量的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)k1 i1 k2 i2 若 i1 = Im1 cos(wt+fi1)i2 = Im2 cos(wt+fi2)則 i=i1+ i2 .Im= .Im1 .Im2 + .Im1 = Im1fi1 .Im2 = Im2fi2相量也具有比例性質(zhì)：由疊加性質(zhì)和比例性質(zhì)可知這是疊加性質(zhì)k i1 .Im1 k(k1 .I1 k2 .I2 )11 十月 2022232. 相量的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)k1 14 十月 202224(2) 微分性質(zhì)設(shè) i=Imcos(wt+fi)didt=wImco

19、s(wt+fi +90o )= Rew2pj = Rejw .Imejwt dnidin(jw)n Im.Im ejwte .Im = Imfi正弦量的微分是一個(gè)同頻正弦量，時(shí)域內(nèi)的一次其結(jié)果是模變?yōu)閣Im，相位比原相量超前90o。對(duì)高階導(dǎo)數(shù)有.Imjw= wImfi +90o .微分，對(duì)應(yīng)于相量域內(nèi)乘以jw。11 十月 202224(2) 微分性質(zhì)設(shè) i=Imcos(14 十月 202225(3) 積分性質(zhì)設(shè) u=Umcos(wt+fu) udt =wUmcos(wt+fu-90o)= Re .Umjwejwt (jw)nU對(duì)n重積分有udt則 .Um = Umfu積分，對(duì)應(yīng)于相量域內(nèi)除以j

20、w。其結(jié)果是模變?yōu)?Um /w)，相位比原相量滯后90o。正弦量的積分是一個(gè)同頻正弦量，時(shí)域內(nèi)的一次.11 十月 202225(3) 積分性質(zhì)設(shè) u=Umcos14 十月 202226例題分析解：變換為相量形式求解 .I1=1060o .I2=22-150oAAdi1dt60ojw= j314 .I110= 314060o+90o= 3140cos(314t+150o)i2 dtjw .I222-150o - 90o=314= 0.07120o設(shè)i1=102cos(314t+60o) Ai2=22cos(314t-150o) A求：di1dti2 dt2i1+i22di1dt所以所以i2 dt

21、= 0.072cos(314t+120o)11 十月 202226例題分析解：變換為相量形式求解 .614 十月 202227=5+j8.66 A= -19.05-j11 A .I1 .+ I2=(5-19.05)+ j(8.66-11)=(-14.05- j2.34) AI =14.052+2.342=14.24 A+j+1o-14.05-2.34-170.54ofi =+ arctg-14.05-2.34-180ofi為第3象限角：=14.24 -170.54oAi1+i2= 14.24 2cos(314t-170.54o) A .I1=1060o .I2= 22-150oI1+I2.I1

22、.+ I211 十月 202227=5+j8.66 A= -19.0514 十月 202228引入相量的優(yōu)點(diǎn)是把時(shí)域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問題；把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)形式的代數(shù)方程運(yùn)算；需要注意的是相量法實(shí)質(zhì)上是一種變換，通過把正弦量轉(zhuǎn)化為相相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路；相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。量，而把時(shí)域里正弦穩(wěn)態(tài)分析問題轉(zhuǎn)為頻域里復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題的分析；11 十月 202228引入相量的優(yōu)點(diǎn)是把時(shí)域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問14 十月 2022291. 三種基本元件VCR的相量形式(1) 電阻元件相位關(guān)系：fu=fi .UR+1+jo .IRfu=fiR+-uRiR .UR .IR u

23、R = R iR 由比例性質(zhì) . .UR = R IR UR = R IR 或 IR = G UR .IR = IR 有效值關(guān)系：得相量關(guān)系 相量模型相量圖即電阻元件兩端的電壓與流過它電流同相位 ！ fi設(shè)則 .UR= RIRfi= URfu8-4 電路定律的相量形式11 十月 2022291. 三種基本元件VCR的相量形式(14 十月 202230(2)電感元件 相位關(guān)系：電壓超前于電流90o ! 有效值關(guān)系： UL=wLILL+-uLiL .UL .IL 由微分性質(zhì)UL= L(jw) IL+1+jo .ULfu .ILfi= wLILUL wL具有電阻的量綱，表示限制電流的能力；或電流滯后

24、于電壓90o ! . . UL= jwL IL . . uL = LdiLdt與頻率 f 成正比！11 十月 202230(2)電感元件 相位關(guān)系：電壓超14 十月 202231(3)電容元件C+-uCiC .UC .IC 微分性質(zhì)IC = C(jw UC )iC = CduCdt . . +1+jo .UCfi .ICfu (1/wC)也具有電阻的量綱，且與頻率 f 成反比！ 相位關(guān)系：電流超前于電壓90o ! .UC jwC1 .IC 有效值關(guān)系：UC =wC1IC .UC = -jwC1 .IC 或=或電壓滯后于電流90o !wC ICUC=111 十月 202231(3)電容元件C+-

25、uCiC . 14 十月 2022322. 受控源的相量表示 控制系數(shù)、g、r 和 都是常數(shù)，因此，根據(jù)相量的比例性質(zhì)，可以直接用與正弦量對(duì)應(yīng)的相量表示。用相量表示的CCCSbib+-+-rbeubeuceibbIb+-+-rbeUbeUceIb . . . . 用瞬時(shí)值表示的CCCS11 十月 2022322. 受控源的相量表示 14 十月 2022333. 基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和 KVL可用相應(yīng)的相量形式表示：i(t) = 0u(t) = 0線性性質(zhì) .I = 0 .U = 0表明：流入某一結(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足KVL。11 十月 2022333. 基爾霍夫定律的相量形式同頻率14 十月 202234例：試判斷下列表達(dá)式的正、誤。1. u = wLiU = wLI2. i = 5coswt = 50o A3. .Im =jwCUm .4. L = .UL .IL L =UI=UmIm5. .UC .IC =jwC=1jwC . .UL = jwLIL6. 7. u = Cdidtu = L