安徽省蕪湖市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE 安徽省蕪湖市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（每小題3分，共36分）.1復(fù)數(shù)z的虛部是（）AiBCiD2拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件M為“向上的點(diǎn)數(shù)為1或4”，事件N為“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）AM與N互斥但不對(duì)立BM與N對(duì)立CP（MN）DP（M+N）3如圖是某企業(yè)500名員工身高的頻率分布直方圖，那么該企業(yè)身高在150，170區(qū)間內(nèi)的員工人數(shù)為（）A20B200C250D3004圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）ABCD6已知兩個(gè)單位向量，滿足|2|，則，的夾角為（）A45B60C120D1357

2、設(shè)，為兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，給出下列命題：若m，n，m，n，則；若m，mn，則n；若n，mn則m；若m，n，則mn在以上命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D482021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，為了更好地宣傳建黨100年的歷史功績(jī)，某校計(jì)劃舉行以“唱支山歌給黨聽(tīng)”為主題的紅歌大合唱比賽活動(dòng)，現(xiàn)有高一某班準(zhǔn)備從唱支山歌給黨聽(tīng)、映山紅、歌唱祖國(guó)、沒(méi)有共產(chǎn)黨就沒(méi)有新中國(guó)十送紅軍五首紅歌中選取兩首作為比賽歌曲，假設(shè)選擇任一首紅歌是等可能的，則明支山歌給黨聽(tīng)和映山紅中至少有一首被該班級(jí)選中的概率是（）ABCD9在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為線段AB，DD1

3、的中點(diǎn)，則異面直線B1P與CQ所成角的大小為（）ABCD10平行四邊形ABCD中，2+，則（）ABC+D+11如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AC2，AA1a（a為定值），四棱錐CA1B1BA體積最大值為，則三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面積是（）A4B8C16D412在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，C2A，abbc，則（）ABCD二、填空題（本大題5個(gè)小題，每小題4分，共20分）在每小題中.請(qǐng)將答案直接填在題后的橫線上.13已知向量（1，2），（2，3），且（）（+），則實(shí)數(shù)的值是 14某校高一年級(jí)共有學(xué)生400名，為了解該校高一學(xué)生的健康情況，現(xiàn)采用按

4、性別分層抽樣的方法抽取樣本，樣本容量為60，若樣本中男生比女生少6人，則該校高一女生人數(shù)約為 15已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z（a23a4）+（a4）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 16在ABC中，若AB3，BC5，AC7，則ABC的面積等于 17在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SA平面ABC，且SA2，則AB與平面SBC所成角的正弦值為 三、解答題（本大題5個(gè)小題，共44分.解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟.）18已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足3z+25+i（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+px+q0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值19已知A（2，

5、0），B（0，4），C（cos，sin），O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若，求tan的值；（2）若|+|，且是第二象限角，設(shè)在上的投影向量為，求的坐標(biāo)，20在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2acosAbcosC+ccosB（1）求A的大小；（2）若a2，求ABC面積的最大值21如圖，在四棱錐MABCD中，底面ABCD是菱形，BAD120，側(cè)面MCD是等邊三角形，E為MB的中點(diǎn)，過(guò)C，D，E的平面交MA于點(diǎn)F（1）求證：ABEF；（2）若O為CD中點(diǎn)，求證：AB平面AOM；（3）求二面角MEFC的大小22某家庭計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)熱銷的凈水器，使用壽命為十年，該款凈水器的過(guò)濾由濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)，在使用過(guò)

6、程中，濾芯需要不定期更換，在購(gòu)進(jìn)凈水器時(shí)，可以額外購(gòu)買濾芯作為備件，每個(gè)40元在凈水器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)需要100元商家收集整理了100臺(tái)這款凈水器在十年使用期內(nèi)更換濾芯的個(gè)數(shù)，得到如圖所示的條形圖供客戶參考記x表示1臺(tái)凈水器在十年使用期內(nèi)需更換的濾芯數(shù)，y表示1臺(tái)凈水器在購(gòu)買濾芯上所需的費(fèi)用（單位：元）.（1）求這100臺(tái)凈水器在十年使用期內(nèi)更換濾芯個(gè)數(shù)的上四分位數(shù)；（2）若購(gòu)買凈水器的同時(shí)購(gòu)買了9個(gè)濾芯，求y與x的函數(shù)解析式；（3）假設(shè)這100臺(tái)凈水器在購(gòu)買的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買9個(gè)濾芯或每臺(tái)都購(gòu)買10個(gè)濾芯，分別計(jì)算這100臺(tái)凈水器在購(gòu)買濾芯上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依

7、據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)凈水器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買9個(gè)還是10個(gè)濾芯？參考答案一、選擇題（本大題12個(gè)小題，每小題3分，共36分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C.D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填涂在答題卷相應(yīng)的題號(hào)后.1復(fù)數(shù)z的虛部是（）AiBCiD解：復(fù)數(shù)z的虛部是故選：B2拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件M為“向上的點(diǎn)數(shù)為1或4”，事件N為“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）AM與N互斥但不對(duì)立BM與N對(duì)立CP（MN）DP（M+N）解：對(duì)于A，事件M與事件N能同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，事件M與事件N能同時(shí)發(fā)生，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)n

8、6，MN包含的基本事件個(gè)數(shù)為m1，P（MN），故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)n6，M+N包含的基本事件個(gè)數(shù)為m4，P（M+N），故D正確故選：D3如圖是某企業(yè)500名員工身高的頻率分布直方圖，那么該企業(yè)身高在150，170區(qū)間內(nèi)的員工人數(shù)為（）A20B200C250D300解：由某企業(yè)500名員工身高的頻率分布直方圖得：該企業(yè)身高在150，170區(qū)間內(nèi)的頻率為（0.01+0.03）100.4，該企業(yè)身高在150，170區(qū)間內(nèi)的員工人數(shù)為5000.4200故選：B4圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）ABCD解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，側(cè)面?zhèn)让嬲?/p>

9、開(kāi)圖扇形的半徑為R，扇形的圓心角為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則，解得R2r，則扇形的弧長(zhǎng)l2rR2r，所以，即這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是故選：C6已知兩個(gè)單位向量，滿足|2|，則，的夾角為（）A45B60C120D135解：根據(jù)題意，設(shè)，的夾角為，兩個(gè)單位向量，滿足|2|，則|2|22+42454cos7，解可得：cos，又由0，則120，故選：C7設(shè)，為兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，給出下列命題：若m，n，m，n，則；若m，mn，則n；若n，mn則m；若m，n，則mn在以上命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4解：若m，n，m，n，則或與相交，只有添加條件m與n相

10、交，才有，故錯(cuò)誤；若m，mn，則n或n或n與相交，相交也不一定垂直，故錯(cuò)誤；若n，mn則m或m，故錯(cuò)誤；若m，則m或m，又n，所以mn，故正確正確命題的個(gè)數(shù)是1個(gè)故選：A82021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，為了更好地宣傳建黨100年的歷史功績(jī)，某校計(jì)劃舉行以“唱支山歌給黨聽(tīng)”為主題的紅歌大合唱比賽活動(dòng)，現(xiàn)有高一某班準(zhǔn)備從唱支山歌給黨聽(tīng)、映山紅、歌唱祖國(guó)、沒(méi)有共產(chǎn)黨就沒(méi)有新中國(guó)十送紅軍五首紅歌中選取兩首作為比賽歌曲，假設(shè)選擇任一首紅歌是等可能的，則明支山歌給黨聽(tīng)和映山紅中至少有一首被該班級(jí)選中的概率是（）ABCD解：記明支山歌給黨聽(tīng)和映山紅分別為A、B；其余3首歌記為c、d、e，則在這5首歌

11、中任選2首的基本事件為（A，B），（A，c），（Ad），（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10個(gè)，其中明支山歌給黨聽(tīng)和映山紅中至少有一首被該班級(jí)選中包含了7個(gè)基本事件，故所求概率為P故選：D9在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為線段AB，DD1的中點(diǎn)，則異面直線B1P與CQ所成角的大小為（）ABCD解：取AA1中點(diǎn)E，AE中點(diǎn)F，連結(jié)BE，PF，F(xiàn)C1，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P，Q分別為線段AB，DD1的中點(diǎn)，PFBFCQ，F(xiàn)PB1是異面直線B1P與CQ所成角（或所成角的補(bǔ)角），%PF，PB12，F(xiàn)C15

12、，PF2+B1P2FB12，異面直線B1P與CQ所成角為故選：A10平行四邊形ABCD中，2+，則（）ABC+D+解：如圖，因?yàn)?+，所以，則（）（），故選：B11如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AC2，AA1a（a為定值），四棱錐CA1B1BA體積最大值為，則三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面積是（）A4B8C16D4解：設(shè)ABx，BCy，由ABC90，AC2，得x2+y24，四棱錐CA1B1BA體積V，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，得a2則三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半徑R，三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面積是42216故選：C12在ABC中，角A，B，C的對(duì)

13、邊分別是a，b，c，C2A，abbc，則（）ABCD解：由于abbc，所以2ba+c，利用正弦定理：2sinBsinA+sinC，由于C2A，所以2sin（3A）sinA+sin2A，故sin2A2cos2A+4cos2A，所以1+2cosA2cos2A+4cos2A，整理得：1+2cosA8cos2A1，解得cosA所以，故，故選：B二、填空題（本大題5個(gè)小題，每小題4分，共20分）在每小題中.請(qǐng)將答案直接填在題后的橫線上.13已知向量（1，2），（2，3），且（）（+），則實(shí)數(shù)的值是 解：向量（1，2），（2，3），且（）（+），（）（+）+（1）5+（1）（2+6）130，則實(shí)數(shù)，故答案

14、為：14某校高一年級(jí)共有學(xué)生400名，為了解該校高一學(xué)生的健康情況，現(xiàn)采用按性別分層抽樣的方法抽取樣本，樣本容量為60，若樣本中男生比女生少6人，則該校高一女生人數(shù)約為 220解：樣本容量為60，且樣本中男生比女生少6人，樣本中女生所占比例為，故該校高一女生人數(shù)約為400220，故答案為：22015已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z（a23a4）+（a4）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 1解：復(fù)數(shù)z（a23a4）+（a4）i是純虛數(shù)，a23a40且a40，解得，a1，故答案為：116在ABC中，若AB3，BC5，AC7，則ABC的面積等于 解：ABc3，BCa5，ACb7，由余弦定理得：cosB，可得si

15、nB，ABC的面積SacsinB故答案為：17在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SA平面ABC，且SA2，則AB與平面SBC所成角的正弦值為 解：取BC中點(diǎn)D，連接AD、SD，過(guò)A作AOSD，交SD于點(diǎn)O，在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SA平面ABC，且SA2，ADBC，SDBC，SAAD，AD，SD，ADSDD，AD、SD平面SAD，BC平面SAD，AO，AO平面SBC，ABO是AB與平面SBC所成角，AB與平面SBC所成角的正弦值為：sinABO故答案為：三、解答題（本大題5個(gè)小題，共44分.解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟.）18已知i是虛數(shù)單

16、位，復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足3z+25+i（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+px+q0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值解：（1）設(shè)zx+yi，則xyi，其中x，y是實(shí)數(shù)，3z+23（x+yi）+2（xyi）5x+yi5+i，即x1，y1，z1+i（2）z是關(guān)于x的方程x2+px+q0的一個(gè)根，也是關(guān)于x的方程x2+px+q0的一個(gè)根，z+1+i+1ip，p2，q219已知A（2，0），B（0，4），C（cos，sin），O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若，求tan的值；（2）若|+|，且是第二象限角，設(shè)在上的投影向量為，求的坐標(biāo)，解：（1）因?yàn)?，且（cos，sin），（2，4），所以4cos+2s

17、in0，則tan2；（2）+（2+cos，sin），因?yàn)閨+|，所以（2+cos）+sin3，即5+4cos3，即cos，因?yàn)槭堑诙笙藿牵詓in，則（cos，sin）（0，4）4sin2，所以（0，4）（0，）20在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2acosAbcosC+ccosB（1）求A的大??；（2）若a2，求ABC面積的最大值解：（1）因?yàn)?acosAbcosC+ccosB，所以由正弦定理可得2sinAcosAsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA，因?yàn)閟inA0，所以cosA，因?yàn)锳（0，），可得A（2）因?yàn)锳，a2，由余弦定理可得cosA，所

18、以b2+c2bc+a2bc+42bc，所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)取等號(hào)，所以SABCbcsinA21如圖，在四棱錐MABCD中，底面ABCD是菱形，BAD120，側(cè)面MCD是等邊三角形，E為MB的中點(diǎn)，過(guò)C，D，E的平面交MA于點(diǎn)F（1）求證：ABEF；（2）若O為CD中點(diǎn)，求證：AB平面AOM；（3）求二面角MEFC的大小【解答】（1）證明：四棱錐MABCD中，底面ABCD是菱形，所以ABCD，且AB平面CDEF，CD平面CDEF中，所以AB平面CDEF；又AB平面MAB，平面MAB平面CDEFEF，所以ABEF；（2）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是棱長(zhǎng)為2的菱形，且BAD120，ACD60，

19、O為CD的中點(diǎn)，所以AOCD，又因?yàn)镸OCD，MOAOO，MO、AO平面AOM，所以CD平面AOM；又因?yàn)锳BCD，所以AB平面AOM（3）解：由（2）知AMCD，由（1）知ABEF，且E為MB的中點(diǎn)，所以F是MA的中點(diǎn)；又因?yàn)镈MDA，所以DFMA，且DFCDD，所以MA平面CDEF；又因?yàn)镸A平面MEF，所以平面MEF平面CDEF，即二面角MEFC的大小為22某家庭計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)熱銷的凈水器，使用壽命為十年，該款凈水器的過(guò)濾由濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)，在使用過(guò)程中，濾芯需要不定期更換，在購(gòu)進(jìn)凈水器時(shí)，可以額外購(gòu)買濾芯作為備件，每個(gè)40元在凈水器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)需要100元商家收集整理了100臺(tái)這款凈