2013年下半年中學(xué)教師資格認(rèn)定考試(高級數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力)真題試卷

1、2013年下半年中學(xué)教師資格認(rèn)定考試(高級數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力)真題試卷(總分：34.00，做題時間：90分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(總題數(shù)：8，分?jǐn)?shù)：16.00)設(shè)a=n2-9n-100(n=l,2,3),則數(shù)列a中取值最小的項(xiàng)為()。nn第4項(xiàng)第5項(xiàng)第6項(xiàng)第4和第5項(xiàng)丿解析：解析：將數(shù)列a看做一個一元二次多項(xiàng)式，開口向上在對稱軸n=4.5處取得最小值，但是數(shù)列中nn為正整數(shù)，故在其附近找最小值。當(dāng)n=4時，a=-120；當(dāng)n=5時，a=-120。故取最小值的項(xiàng)為第4nn項(xiàng)和第5項(xiàng)。故選D。已知a1，0 xy1，則下列關(guān)系式正確的是()。axayxayalogalogaVxyA.|M+N|=|M

2、|+|N|B.|MN|=INM|VC.(MN)，MZNZD.(M+N)2=M2+2MN+N解析：4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)且P(2WxW4)=0.6826，則P(X4)=()。0.15850.15860.1587V0f(3)f(3)-f(2)f(2)V0f(3)f(2)f(3)-f(2)0f(3)-f(2)f(2)0,y0)。由于是選擇題，為了方便令p=1,則y=f(x)=,由于光滑則可導(dǎo)得到。故選Bo結(jié)合選項(xiàng)，先求出則通過計算可以得到f(2)f(3),6.已知正方形解析：解析：從圖形看可以看做拋物線：y2=2px(x0,y0)。由于是選擇題，為了方便令p=1,則y=f(x)=

3、,由于光滑則可導(dǎo)得到。故選Bo結(jié)合選項(xiàng)，先求出則通過計算可以得到f(2)f(3),大于1小于1等于1丿算法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最重要組成部分算法內(nèi)容可以提高學(xué)生的邏輯思維能力順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)由于算法思想和計算機(jī)關(guān)系密切，所以我國古代沒有算法思想丿解析：解析：中國古代數(shù)學(xué)以實(shí)用為目的，直觀性和機(jī)械化、程序化是它的的算法特點(diǎn)。所以中國古代是有算法思想的。故選Do8.下列哪位數(shù)學(xué)家不是微積分的創(chuàng)始人()o伽羅華丿牛頓費(fèi)爾馬萊布尼茨解析：解析：費(fèi)爾馬是微積分的先驅(qū)者，早在牛頓、萊布尼茨之前，他就提出用微分子法求極大、極小的步驟，并給出求曲線圍成圖形的面積的方法。埃瓦里斯

4、特.伽羅華(OvaristeGalois，公元1811年公元1832年。從民國起至今，其中文譯名為伽羅瓦的情況更多)是法國對函數(shù)論、方程式論和數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題是微積分的起源之一。費(fèi)馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻(xiàn)。故選Ao二、簡答題(總題數(shù)：5，分?jǐn)?shù)：10.00)9.設(shè)求f(x)9.設(shè)求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；f(x)的圖象和f-1(x)的圖象關(guān)于哪條直線對稱?(2)點(diǎn)P在f(x)的圖象上，點(diǎn)Q在f-1(x)的圖象上，求PQ的最小值。正確答案：(正確答案：(1)令，故f-1(x)=ln2x(x0)，關(guān)于

5、y=x對稱。(2)設(shè)點(diǎn)P到直線y=x的距離為正確答案：(正確答案：(1)令，故f-1(x)=ln2x(x0)，關(guān)于y=x對稱。(2)設(shè)點(diǎn)P到直線y=x的距離為d，則。所以PQ取最小值時，應(yīng)該是PO與直線y=x垂直，則，令Dz=0求得x=ln2在此處取得最小值。則最后求得的最小值帶入上式中得到:解析：10.已知矩陣，求曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線方程。解析：設(shè)f（x）是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，證明：存在丘a,b,使得，由于b-aO,故有，化簡得I正確答案：（正確答案：由f（x）是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，故存在最大值M和最小值m,使得，由于b-aO,故有，化簡得I

6、，由中值定理存在，由中值定理存在丘a,b,使得立。）解析：數(shù)學(xué)新課程提倡教師要成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者,請解釋教師的引導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在那些方面?正確答案：（正確答案：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,而教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。在每節(jié)課的教學(xué)中教師應(yīng)從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)中尋找有意義的生活素材,創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流,獲得知識、形成技能、發(fā)展思維、學(xué)會學(xué)習(xí),促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動活潑地、主動富有個性地學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師應(yīng)從以下方面去引導(dǎo)探究學(xué)習(xí)知識。一、創(chuàng)設(shè)豐富有趣的數(shù)學(xué)情境。興趣是學(xué)生探索新知的直接動力,興趣高,學(xué)生才能

7、學(xué)得積極主動,思維才會敏捷靈活。恰當(dāng)、適時的導(dǎo)入新課,它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲,使學(xué)生一上課就有了明確的探索目標(biāo)和正確的思考方向。二、充分發(fā)揮課堂教學(xué)作用。課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,達(dá)到教學(xué)目標(biāo),獲得一種基本技能、數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)。教師也可以通過課堂的教學(xué),可以根據(jù)自己在教學(xué)中的行為總結(jié)教學(xué)優(yōu)點(diǎn)以及不足,為以后能夠更好地實(shí)施課堂教學(xué)工作經(jīng)驗(yàn)積累。在教師指導(dǎo)下,讓學(xué)生主動的獲取知識、應(yīng)用知識,解決問題。讓學(xué)生享受參與的快樂,面對一個未知領(lǐng)域,學(xué)生充滿了強(qiáng)烈的好奇,非常希望去嘗試一番,希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。對自己親自實(shí)踐得到的知識,會理解的更加深刻。教

8、師要順應(yīng)學(xué)生的這種需求,讓學(xué)生品嘗參與的樂趣,強(qiáng)化獲取知識的主動性。在課堂上讓學(xué)生充分感受到了自己是這節(jié)課的主人,要用智慧和知識解決問題,體驗(yàn)了主動參與的快樂,使學(xué)習(xí)成為學(xué)生生活中重要的感情經(jīng)歷。在學(xué)生不斷的探索、學(xué)習(xí)中,教師要注意根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容,采取不同的方法進(jìn)行引導(dǎo)：有關(guān)概念的概括,注意引導(dǎo)學(xué)生從諸多有關(guān)因素中,抽取出體現(xiàn)其本質(zhì)特征的因素進(jìn)行概括；對有關(guān)計算法則引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計算的過程及步驟去歸納概括。對于有些計算公式,引導(dǎo)學(xué)生參與公式的推導(dǎo)過程,老師有意識地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由操作思維到形象思維最后到抽象思維的過程,使學(xué)生不僅知其然,而且知其所以然,知識理解深、記得牢、用得活。同時,還使學(xué)生

9、初步掌握了一些歸納、概括數(shù)學(xué)知識的基本方法,提高了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的能力。通過歸納小結(jié)讓學(xué)生從總體上理解和掌握知識及其應(yīng)用,教學(xué)中要有目的、有意識、有計劃地指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟并及時提示他們掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法,使他們逐步由“學(xué)會”到“會學(xué)”,不斷提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神,歸納概括的能力。三、加強(qiáng)知識的應(yīng)用。練習(xí)輔導(dǎo)是課堂教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié),是實(shí)現(xiàn)因材施教、提高教學(xué)質(zhì)量的重要措施。在練習(xí)輔導(dǎo)中,滿足不同層次的學(xué)生的不同要求,為培養(yǎng)優(yōu)秀尖子人才創(chuàng)造條件。對學(xué)習(xí)成績較差的學(xué)生應(yīng)給予耐心細(xì)致、不厭其煩地個別輔導(dǎo),給他們機(jī)會、口答問題,板演練習(xí)等,并經(jīng)常給予鼓勵、表揚(yáng),在練習(xí)輔導(dǎo)中靈活

10、的運(yùn)用個別輔導(dǎo)和集體輔導(dǎo)藝術(shù),及時反饋及時糾錯。既能彌補(bǔ)學(xué)生掌握知識的不足,又可以發(fā)現(xiàn)教師課堂教學(xué)的欠缺,有利于及時總結(jié)經(jīng)驗(yàn),不斷的改進(jìn)教學(xué)工作。）解析：分別解釋學(xué)習(xí)心理學(xué)中“同化”與“順應(yīng)”的含義,并舉例說明“同化”在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的作用?正確答案：（正確答案：同化是指有機(jī)體面對一個新的刺激情景時,把刺激整合到已有的圖式或認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。順應(yīng)是指當(dāng)有機(jī)體不能利用原有圖式接受和解釋新刺激時,其認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改變來適應(yīng)刺激的影響。同化論,強(qiáng)調(diào)新舊知識的相互作用涉及上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)、并列結(jié)合學(xué)習(xí)三種形式；強(qiáng)調(diào)概念和命題的不斷分化和綜合貫通；強(qiáng)調(diào)原有知識的鞏固及教材由一般到個別的循序組織。實(shí)際應(yīng)用中,要

11、了解學(xué)生對新舊知識的掌握程度及接受能力,用耳熟能詳?shù)摹耙阎眱?nèi)容去教導(dǎo)“未知”內(nèi)容。比如我們在學(xué)習(xí)橢圓的時候,可以從圓類比著來學(xué)習(xí)。）解析：三、解答題（總題數(shù)：1,分?jǐn)?shù)：2.00）設(shè)a,a,a是復(fù)平面上的三個數(shù)，a+a+a=0,且滿足等式a2+a2+a2=aa+a12312312312a+aa。證明(l)(z-a)(z-a)(z-a)=z3-aaa；(2)以a,a,a為頂點(diǎn)的2331123123123三角形為正三角形。正確答案：(正確答案:(1)證明:(z-a,)(z-a2)(z-a.)+aa)-aa3112-a)+a(-a23)正確答案：(正確答案:(1)證明:(z-a,)(z-a2)(z-

12、a.)+aa)-aa3112-a)+a(-a23)于是3(aa由于a3-a)=-(a32a+aa22+a31+a+a=0，1232+a2+a2123a)=0所以a1=z3-z2(a+a+a)+z(a23123因此aa+aa+aa=a(-a1223311)-(aa+aa+aa)=-2(a122331a+aa+aa=0因此(z-a1223311a+aa1223-a)+a(-a132a+aa+aa12233)(z-a)(z-a)=z評利3-aaa12a21(2)證明：3+a2+a223平方得解析：四、論述題(總題數(shù)=aa2+a2為頂點(diǎn)的三角形為正三角形等價于向量+aa。)2331即-兩邊1，分?jǐn)?shù)：2

13、.00)闡述用二分法求解方程近似解的適用范圍及步驟，并說明高中學(xué)術(shù)新課程中引入二分法的意義。正確答案：(正確答案：二分法求解方程近似解的適用范圍：對于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)VO的函數(shù)。步驟：給定精度,用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f(a)(f(b)VO,給定精度；(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x；(3)計算f(x):11若f(x)=0,則x就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f(a)f(x)0,則令b=x(此時零點(diǎn)xe(a,x)；111101若f(x)f(b)0,則令a=x(此時零點(diǎn)x三(x,b)；(4)判斷是否達(dá)到精度；即若丨a-

14、b|1101,則得到零點(diǎn)值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)(4)。高中數(shù)學(xué)新課程中引入二分法的意義：首先，“二分法”簡便而又應(yīng)用廣泛，它對函數(shù)沒有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，這就為教材后面函數(shù)知識的應(yīng)用提供了一個很好的、必需的工具。其次。它體現(xiàn)現(xiàn)代而又根植傳統(tǒng)，算法作為一種計算機(jī)時代最重要的數(shù)學(xué)思想方法，將作為新課程新增的內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)必修1中進(jìn)行教學(xué)，“二分法”是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個前奏和準(zhǔn)備，它所涉及的主要是函數(shù)知識，其理論依據(jù)是“函數(shù)零點(diǎn)的存在性(定理)”。再次，“二分法”樸素而又寓意深刻，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)逼近的過程，二分法雖然簡單，但包含了許多以后可以在算法以及其他地方運(yùn)用和推廣的樸素

15、的思想，可以讓學(xué)生感受“整體一局部”、“定性一定量”、“精確一近似”、“計算一技術(shù)”、“技法一算法”這些數(shù)學(xué)思想發(fā)展的過程，具有萌發(fā)數(shù)學(xué)思想萌芽的數(shù)學(xué)教育的價值。)解析：五、案例分析題(總題數(shù)：1，分?jǐn)?shù)：2.00)16.案例：題目：如圖2,在厶ABC中，已知AB=2,師：請大家仔細(xì)讀題，(幾分鐘后)說說你的想法。學(xué)生1：16.案例：題目：如圖2,在厶ABC中，已知AB=2,師：請大家仔細(xì)讀題，(幾分鐘后)說說你的想法。學(xué)生1：設(shè)BC=x,，由求厶ABC面積的最大值。學(xué)環(huán)節(jié)一教，可得一個關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，于是轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題。學(xué)生2：設(shè)bC=x，可得到用x表示的S，我發(fā)現(xiàn)它可以利ABC用基本

16、不等式求解。學(xué)生3：以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，從解析幾何角度尋找最大值。教師引導(dǎo)學(xué)生評價各種結(jié)題想法。教學(xué)環(huán)節(jié)二教師：這個問題大家有各自的想法，請按自己的想法解出答案。請同學(xué)1和同學(xué)3板演。學(xué)生1：設(shè)BC=x,I則由余弦定理得出:所以。當(dāng)x2=12，即寸，Sabc船有最大值，最大值為年角度尋找最大值。教師引導(dǎo)學(xué)生評價各種結(jié)題想法。教學(xué)環(huán)節(jié)二教師：這個問題大家有各自的想法，請按自己的想法解出答案。請同學(xué)1和同學(xué)3板演。學(xué)生1：設(shè)BC=x,I則由余弦定理得出:所以。當(dāng)x2=12，即寸，Sabc船有最大值，最大值為年ABC學(xué)生3：建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(

17、-1,0),(1,0),設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則。代入學(xué)環(huán)節(jié)三教師引導(dǎo)學(xué)生比簡得點(diǎn)C的軌跡為圓：(x-3)2+y2=8(yM0)，易知，當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為較不同解法，進(jìn)行解題反思。問題：(1)你認(rèn)為教學(xué)環(huán)節(jié)三中，教師可以從哪幾方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思?(2)學(xué)生1和學(xué)生3的解法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的兩種通性通法，他們是什么?(3)上面的教學(xué)過程，對你以后的教學(xué)工作有哪些啟發(fā)?正確答案：(正確答案：(1)引導(dǎo)學(xué)生剖析錯解，引發(fā)反思意識；引導(dǎo)學(xué)生反思分析挫折的經(jīng)歷，積累解題經(jīng)驗(yàn)；引導(dǎo)學(xué)生反恩解題過程，變式推廣問題；引導(dǎo)學(xué)生反思解題結(jié)果，引申已有結(jié)論。(2)求最值，待定系數(shù)法。(3)對我的啟發(fā)很大，首先我

18、認(rèn)為，教師要成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者，作為一名新課改的合格老師應(yīng)做到以下：數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索。課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多

19、樣性。教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學(xué)習(xí)外，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動過程。教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作

20、用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。)解析：六、教學(xué)設(shè)計題(總題數(shù)：1，分?jǐn)?shù)：2.00)17高中“函數(shù)概念(第一節(jié)課)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)如下：通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描繪變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性；體會函數(shù)的實(shí)質(zhì)是兩個集合間的特殊對應(yīng)關(guān)系；理解函數(shù)表達(dá)形式的多樣性理解函數(shù)的定義。完成下列設(shè)計，并且回答問題：(1)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，至少設(shè)計三個實(shí)例，并說明設(shè)計意圖。(2)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，至少設(shè)計兩個例題，并說明設(shè)計意圖。(3)本節(jié)函數(shù)概念教學(xué)與初中函數(shù)概念教

21、學(xué)有什么不同?本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)各是什么?請說明理由。變化的規(guī)律是正確答案：(正確答案：(1)實(shí)例一：自由落體運(yùn)動鐵球從500米高處自由落體，距離地面高度h隨時間t變化的規(guī)律是(g=10m2/s)。這里，鐵球落地時間t的變化范圍是數(shù)集A=t|0WtW10，鐵球距艮據(jù)圖中曲線可知，時地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B=h|0WhW500。實(shí)例二：氣溫變化圖間的變化范圍是艮據(jù)圖中曲線可知，時地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B=h|0WhW500。實(shí)例二：氣溫變化圖間的變化范圍是A=t|lWtW12，氣溫的變化范圍是B=s|-15WsW30，并且對于數(shù)集A中的每一個時刻。在數(shù)集B中都有唯一確定的氣溫與之對應(yīng)。實(shí)例三：恩格爾系數(shù)變化表：以上三個實(shí)例中變量之間的關(guān)系都可以描述