高等數(shù)學 第二章 極限與連續(xù) 2.5 極限的運算法則

1、業(yè)精于勤荒于嬉,行成于思毀于隨！精品文檔，歡迎你閱讀并下載！高等數(shù)學 第二章 極限與連續(xù) 2.5 極限的運算法則高等數(shù)學第二章極限與連續(xù)基礎(chǔ)課教學部數(shù)學教研室第五節(jié)極限的運算法則一、極限四則運算法則二、求極限的方法三、四則運算法則的應用一、極限的四則運算法則定理設(shè)變量x、y在同一變化過程中均有極限，即limxuf03dA,limyuf03dB,則(1)lim(xuf02by)uf03dlimxuf0b1limyuf03dAuf0b1B;（定理2.8）(2)limxyuf03dlimxuf0d7limyuf03dAuf0d7B;（定理2.9）xlimxA(3)limuf03duf03d,(Buf

2、0b90).（定理2.10）ylimyB推論limcuf0d7yuf03dcuf0d7limyuf03dcuf0d7Blimxuf03duf028limxuf029nnlimxuf03duf028limxuf0291n1nnuf0ceuf0a5uf02b以上定理均可推廣到有限個變量的情形，現(xiàn)注意：僅以加法運算給出證明。(1)lim(xuf02by)uf03dlimxuf0b1limyuf03dAuf0b1B;（定理2.8）證明：因limf(x)uf03dA,limg(x)uf03dB,則有f(x)uf03dAuf02buf061,g(x)uf03dBuf02buf062（其中uf061,uf0

3、62為無窮小）于是f(x)uf0b1g(x)uf03d(Auf02buf061)uf0b1(Buf02buf062)uf03d(Auf0b1B)uf02b(uf061uf0b1uf062)由定理2.5可知uf061uf0b1uf062也是無窮小，再利用極限與無窮小的關(guān)系定理，可知定理結(jié)論成立。二、求極限的方法1.代入法例1求lim(3xuf02d2xuf02b1)2xuf0ae1xuf0ae1解：lim(3x2uf02d2xuf02b1)多項式函數(shù)在某一點處的極限用代入法uf03d3limxuf02d2limxuf02blim12xuf0ae1xuf0ae1xuf0ae1uf03d3uf0d7

4、12uf02d2uf02b1uf03d2.uf03d3limxuf02d2uf02b1xuf0ae1uf028uf0292例2求分母極限不為零的分式函數(shù)解:因uf03d1uf02d5uf02b3uf03duf02d1uf0b90則uf02d1uf03duf03duf03d1.2lim(xuf02d5xuf02b3)uf02d1xuf0ae1xuf0ae1lim(2xuf02d3)2.利用無窮小量性質(zhì)求極限例3求A型1022解:x=1時，分母=0，分子0，xuf02d5xuf02b41uf02d5uf0d71uf02b4uf03duf03d0但因lim2uf0d71uf02d3xuf0ae12x

5、uf02d3無窮小量的倒數(shù)為無窮大量。例4求解：為有界變量，sinxyuf03dx1且limuf03d0 xuf0aeuf0a5x由定理2.6可知，無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量。uf0a5型3.化無窮大為無窮小uf0a5例5求“抓大頭”x2,則解：分子分母同除以原式uf03dlimxuf0aeuf0a54uf02d3uf02bx92x5uf02b2uf02dx12x同理，uf0a5小結(jié)：型的多項式函數(shù)相除uf0a5a0 xuf02ba1xuf02buf04cuf02bamlimxuf0aeuf0a5bxnuf02bbxnuf02d1uf02buf04cuf02bb01nmmuf02d1

6、為非負常數(shù)）(如P69例4)uf03d(如P69例5)(如P69例6)04.分解因式法10型的多項式函數(shù)相除例6求0型10解：例7解：求1xuf02d31uf03dlimuf03dlimuf03d.xuf0ae3xuf02b3xuf0ae3(xuf02d3)(xuf02b3)60型10練習uf03dn.5.分子分母有理化例8求0型的無理函數(shù)相除10（分子有理化）2xuf02b3uf02d1例9求lim3xuf0aeuf02d1xuf02b1解：原式uf03dlimxuf0aeuf02d1330型103(2xuf02b3uf02d1)(2xuf02b3uf02b1)(xuf02dxuf02b1)

7、23(xuf02b1)(xuf02dxuf02b1)(2xuf02b3uf02b1)232(xuf02b1)(xuf02dxuf02b1)uf03dlimxuf0aeuf02d1(xuf02b1)(2xuf02b3uf02b1)3232(xuf02dxuf02b1)6uf03duf03d3.uf03dlimxuf0aeuf02d122xuf02b3uf02b132312uf0f6uf0e61例10求limuf0e7uf02d3uf0f7xuf0aeuf02d2xuf02b2xuf02b8uf0f8uf0e826.-型通分化簡x2uf02d2xuf02d8(xuf02d2xuf02b4)uf02

8、d12uf03dlim解：原式uf03dlim3xuf0aeuf02d2xuf0aeuf02d2x3uf02b8xuf02b8(xuf02b2)(xuf02d4)uf03dlimxuf0aeuf02d2(xuf02b2)(x2uf02d2xuf02b4)uf02d61xuf02d4uf03dlim2uf03duf03duf02d.xuf0aeuf02d2xuf02d2xuf02b4122分子有理化例11求lim(1uf02bxuf02dx)xuf0aeuf02buf0a5-型(1uf02bx）xuf02d1解：原式uf03dlimuf03dlimxuf0aeuf02buf0a51uf02bxu

9、f02bxxuf0aeuf02buf0a51uf02bxuf02bxuf03d0.練習lm(n1n4inuf02buf02duf02b)nuf0a5uf0aenn1n4(n1n4(uf02buf02duf02b)uf02buf02buf02b)解原uf03di：式lmnuf0a5uf0ae(n1n4uf02buf02buf02b)n(3uf0d7uf02d)13uf03dilmuf03d3lmuf02duf0d7iuf03d.uf02dnuf0a5n1uf0ae(uf02buf02bn4nuf0a5uf0aeuf02b)142(1uf02b1)uf02buf02bnn三、四則運算法則的應用例1

10、2xuf03c0uf0ecxuf02d1,uf0ef2已知f(x)uf03duf0edxuf02b3xuf02d1,xuf0b30uf0ef3uf0eexuf02b12limf(x)xuf0ae0求xlimf(x)uf0ae+uf0a5xuf0aeuf02duf0a5limf(x)xuf02b3xuf02d1解：limf(x)uf03dlimuf03duf02d1.3uf02bxuf0ae0 xuf02b1xuf0ae0uf02bxuf0ae0 xuf0ae0limf(x)uf03dlim(xuf02d1)uf03duf02d1.因此，limf(x)uf03duf02d1.uf02duf02d

11、xuf0ae02xuf02b3xuf02d1limf(x)uf03dlimuf03d0.3xuf0aeuf02buf0a5xuf0ae+uf0a5xuf02b1limf(x)uf03dlim(xuf02d1)uf03duf02duf0a5.xuf0aeuf02duf0a5xuf0aeuf02duf0a5x2uf02bauf02bbxuf03d3求常數(shù)a，b。例13已知lim2xuf0ae1xuf02d1解：因分式函數(shù)極限存在，且limx2uf02d)uf03d0(1x1uf0aei(xauf02b)0必有l(wèi)m2uf02bxbuf03d因此，代入得x1uf0ael(2a)1ab0.即，buf02

12、duf02dixxbuf02buf02buf03dmuf02buf02buf03duf03da1x1uf0ae2xx1(1uf02bx12uf02buf02dxx1uf02bauf02dauf02da)()uf02baauf02buf02b原2式uf03dlimuf03dlimuf03dlimuf03duf03d3,xuf0aeuf02dx(1)xx1x1xx1uf0ae)uf02b(1uf0ae12uf02d1uf02b即，a4buf02duf03d,uf03d5練習(1)x2uf02d5xuf02b6lim2xuf0ae3xuf02d8xuf02b153(2)(4)(6)lim(xuf02

13、b8)(2uf02bsinx)xuf0aeuf0a5x2uf02dxuf02b10(3)limnuf0aeuf0a5n3uf02b1uf02d2n24nuf02b1uf02b9nuf02b52limn(nuf02b1uf02dnuf02b4)nuf0aeuf0a5t2uf02dtlimtuf0ae1tuf02d1xuf0aeuf02buf0a5limxuf02bxuf02bxxuf02b1(7)證明：當xuf0ae0時，(2xuf02b1uf02d1)uf0a54(4uf02bxuf02d2)1xuf0d7sinuf03do(x)x43(8)3x2uf02bkxuf02bkuf02b3若常數(shù)k

14、使得極限xlim2x2uf02bxuf02d2存在，求k值。uf0aeuf02d答案(1)(2)x2uf02d5xuf02b6(xuf02d2)(xuf02d3)(xuf02d2)1lim2uf03dlimuf03dlimuf03duf02d.xuf0ae3xuf02d8xuf02b15xuf0ae3(xuf02d3)(xuf02d5)xuf0ae3(xuf02d5)2lim(xuf02b8)(2uf02bsinx)uf03d0.2xuf0aeuf0a5xuf02dxuf02b103(3)limnuf0aeuf0a5nuf02b1uf02d2n334n2uf02b1uf02b9n2uf02b5

15、uf03dlimnuf0aeuf0a51uf02b1uf02d23n4uf02b15uf02b9uf02b2n2nuf03d1uf02d21uf03duf02d2uf02b35(4)limn(nuf02b1uf02dnuf02b4)uf03dlimnuf0aeuf0a5nuf0aeuf0a5n(nuf02b1uf02dnuf02b4)(nuf02b1uf02bnuf02b4)(nuf02b1uf02bnuf02b4)3uf03duf02d.214(1uf02buf02b1uf02b)nn1uf03dlimnuf0d7(uf02d3)uf03duf02d3uf0d7limnuf0aeuf0a5(nuf02b1uf02bnuf0aeuf0a5nuf02b4)t2uf02dtt(t)3uf02d1)t(tuf02d1)(tuf02btuf02b1)limuf03dlimuf03dlimtuf0ae1tuf0ae1tuf02