高中數(shù)學(xué)：“解析幾何”專(zhuān)題課

1、業(yè)精于勤荒于嬉,行成于思?xì)в陔S！精品文檔，歡迎你閱讀并下載！高中數(shù)學(xué)：“解析幾何”專(zhuān)題課高中數(shù)學(xué)“解析幾何”專(zhuān)題課失誤1求圓錐曲線方程時(shí)忽視焦點(diǎn)的位置致誤例1已知圓O：x2y29，A(0,2)，P為動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為直徑的圓內(nèi)切于圓O，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_解析設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M，N為切點(diǎn)，連接OM，MN，則|OM|MN|ON|3.取A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連接A1P，則|A1P|AP|2(|OM|MN|)6，又|AA1|4b0)的離心率為22，橢圓C和拋物線y2x交于M，N兩點(diǎn)，且直線MN恰好過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解由ac22和a2b2c2，可設(shè)a2，則c2，b2，

2、其中0.由題意不妨設(shè)M(c，c)，代入橢圓方程，得ac22bc21，即122221，解得2，從而a22，b2，c2.故所求橢圓C的方程為x82y421.(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l和橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，P是拋物線的焦點(diǎn)，是否存在直線l，使得SOCD97SPAB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線l，結(jié)合已知條件易知直線l的斜率存在且不為零，可設(shè)直線l為yk(x2)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)由條件知Puf0e8uf0e7uf0e614，0uf0f8uf0f7uf0f6，F(xiàn)(2,0)，SSOP

3、ACBD78SSOOCADB87SSOOCADB87|CADB|97，故|CADB|98.由uf0eduf0efuf0ecx82y421，uf0eeuf0efykuf028x2uf029得(12k2)x28k2x8k280，132k2320，x1x218k22k2，x1x281k22k82，則|AB|1k2|x1x2|42uf0281k2uf02912k2.由uf0eeuf0efuf0eduf0efuf0ecyy2kxuf028x2uf029，得k2x2(4k21)x4k20，28k210，x3x44k2k21，x3x44，則|CD|1k2|x3x4|uf0281k2uf029uf02818k

4、2uf029k2.uf0281k2uf029uf02818k2uf029由|CADB|98，得k242uf0281k2uf02998，12k2即uf0281k22k2uf02911k28k29，2即81k4(1k2)2(12k2)2(18k2)，整理得17k69k424k220，即(k21)(17k426k22)0，解得k1.故存在直線l：yx2或yx2滿(mǎn)足題意微評(píng)求解本題第(2)問(wèn)的常規(guī)思路是用關(guān)于k的代數(shù)式表示出OCD，PAB的面積，代入SOCD97SPAB，判斷所得方程是否有解注意到此解法計(jì)算量較大，極易出錯(cuò)，甚至難以進(jìn)行下去，故可先將面積比轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)比，再進(jìn)行計(jì)算，雖然轉(zhuǎn)化過(guò)程較復(fù)雜，

5、但計(jì)算量相對(duì)較小在解答類(lèi)似的綜合問(wèn)題時(shí)，一定要注意對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)合理轉(zhuǎn)化降低計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題步驟.失誤3因忽視直線的斜率是否存在而失分例3已知橢圓M：ax22y321(a0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)(1)求橢圓M的方程；解因?yàn)镕(1,0)為橢圓M的焦點(diǎn)，所以c1，又b3，所以a2，所以橢圓M的方程為x42y321.(2)記ABD與ABC的面積分別為S1和S2，求|S1S2|的最大值解法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x1，此時(shí)ABD與ABC的面積相等，即|S1S2|0.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)C(x1，y1)，D(

6、x2，y2)，直線l的方程為yk(x1)(k0)，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立，且x1x238k42k2，此時(shí)|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|312|4kk|2|k3|124|k|212123uf0e8uf0e7uf0e7uf0e6當(dāng)且僅當(dāng)k23時(shí)，取等號(hào)uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6，所以|S1S2|的最大值為3.法二：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為xmy1，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去x，得(3m24)y26my90，0恒成立，且y1y23m62m4，

7、故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|31m22|m|43|m1|2|m4|212123，當(dāng)且僅當(dāng)m233時(shí)取等號(hào)，所以|S1S2|的最大值為3.微評(píng)(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可知直線方程為x1；當(dāng)直線l的斜率存在(顯然k0)時(shí)，可設(shè)直線方程為yk(x1)(k0)求解時(shí)一定要分直線l的斜率不存在與直線l的斜率存在兩種情況作答，缺少任何一種情況，步驟都是不完整的(2)本題可將直線方程巧設(shè)為xmy1，用含m的式子表示出|S1S2|，并求其最大值顯然，此法無(wú)需考慮直線的斜率是否存在，是解決此類(lèi)問(wèn)題的最佳選擇提能點(diǎn)(二)靈活運(yùn)用策略，嘗試“借石攻玉”策略1點(diǎn)差法：解決中點(diǎn)弦問(wèn)題在圓錐曲線中，

8、有關(guān)弦的中點(diǎn)條件，可利用點(diǎn)差法求解，即對(duì)于圓錐曲線ax2by21來(lái)說(shuō)，當(dāng)兩點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)在曲線上時(shí)，一定滿(mǎn)足uf0efuf0ecax21by211，uf0eeuf0efuf0edax22by221，從而兩式相減得xy22yx11abuf028uf028xy22xy11uf029uf029abxy00，其中(x0，y0)是MN的中點(diǎn)例1已知橢圓E：ax22by221(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則橢圓E的方程為()A.4x523y621C.2x721y821B.3x622y721D.1x82y921解析由題意

9、知直線AB的斜率k03uf02811uf02912，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則uf0eeuf0efuf0eduf0efuf0ecxxaa212222bbyy21222211，整理得xy11yx22ba22xy11yx22，即kba222212，ab2212.又a2b2c29，a218，b29.橢圓E的方程為1x82y921.答案D微評(píng)本題利用“點(diǎn)差法”及“設(shè)而不求”思想求得a與b的關(guān)系，然后根據(jù)a2b2c2，求得橢圓方程.策略2聯(lián)立方程法：解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題圓錐曲線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，求參數(shù)的取值范圍，這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的解法是：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圓錐曲線上關(guān)于

10、直線ykxb對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則PQ的方程為y1kxm，代入圓錐曲線方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的橫(或縱)坐標(biāo)即為方程的根，故0，從而求得k(或b)的取值范圍例2已知拋物線C：y2x與直線l：ykx34，要使C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解設(shè)C上的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則uf0eeuf0efuf0eduf0efuf0ecyy2122xx12，兩式相減，得(y1y2)(y1y2)x1x2.y1y22y0，ABl，kABxy11yx2221y01k，y0k2.代入ykx34，得x0y0k34124

11、3k.點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部，y02x0，即k421243k，整理得k23k20.不等式等價(jià)于1k(k1)(k2k3)0，解得1k1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；解根據(jù)題意，因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以bc1，即ab2c22，所以橢圓C的方程為x22y21.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是uf0e8uf0e7uf0e614，0uf0f8uf0f7uf0f6，求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍解根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直

12、線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，即直線AB的斜率存在且不為10.設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，與x22y21聯(lián)立，得(12k2)x24k2x2k220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M，則x1x214k22k2，x1x221k22k22，y1y2k(x11)k(x21)12k2k2，即Muf0e8uf0e7uf0e7uf0e612k22k2，1k2k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6.所以線段AB的垂直平分線的方程為yk12k21kuf0e8uf0e7uf0e7uf0e6x12k22k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6，設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)，令y0，得xP1k

13、22k2.因?yàn)閤Puf0e8uf0e7uf0e614，0uf0f8uf0f7uf0f6，所以10k212.所以|AB|uf0281k2uf029uf028x1x2uf02924x1x2uf0281k2uf029uf0ebuf0eauf0eauf0e9uf0e8uf0e7uf0e7uf0e614k22k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f62412k22k22uf0fbuf0fauf0fauf0f9212uf02812k2k2uf0292uf0e8uf0e7uf0e7uf0e61112k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6.因?yàn)?k212，所以321112k22，即322|AB|22.

14、故線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是uf0e8uf0e7uf0e7uf0e6322，22uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6.微評(píng)(1)本題利用了函數(shù)與方程思想，首先由已知條件列出關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值；求AB長(zhǎng)度的范圍時(shí)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解(2)函數(shù)與方程思想在解決一些解析幾何問(wèn)題中經(jīng)常用到，如求范圍、最值問(wèn)題關(guān)注臨界問(wèn)題，提能點(diǎn)(四)挖掘“學(xué)科潛力”臨界法則(1)與直線AxByC0平行的直線系方程為AxByD0(CD)；與直線AxByC0垂直的直線系方程為BxAyE0.(2)過(guò)直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc20交點(diǎn)的直線系方程為a1xb1yc1

15、(a2xb2yc2)0.(3)過(guò)圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.(4)過(guò)直線axbyc0與圓C：x2y2DxEyF0交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEyF(axbyc)0.(5)圓(xa)2(yb)2R2的參數(shù)方程為uf0efuf0ecxaRcos，uf0eeuf0efuf0edybRsin(為參數(shù))(6)橢圓ax22by221的參數(shù)方程為uf0efuf0ecxacos，uf0eeuf0efuf0edybsin(為參數(shù))典例已知圓x2y2x6ym0與直線x2y30相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ，求實(shí)數(shù)