高中數(shù)學(xué)：極限的四則運算1

1、業(yè)精于勤荒于嬉,行成于思?xì)в陔S！精品文檔，歡迎你閱讀并下載！高中數(shù)學(xué)：極限的四則運算1極限的四則運算(1)極限的四則運算鄰水二中范天壽新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握函數(shù)極限的運算法則，并會求簡單的函數(shù)的極限教學(xué)重點：教學(xué)重點：運用函數(shù)極限的運算法則求極限教學(xué)難點：教學(xué)難點：函數(shù)極限法則的運用授課類型：授課類型：新授課復(fù)習(xí)引入:一、復(fù)習(xí)引入:1數(shù)列和函數(shù)的極限以及求法:數(shù)列和函數(shù)的極限以及求法一般地，無限增大時，一般地，如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列an的項an無限地趨近于某個常數(shù)a，(即ana無限地即為極限，接近10),接近那么就說數(shù)列a以a為極限，或者說a是數(shù)列（1）

2、an是無窮數(shù)列；注意）是無窮數(shù)列；an的極限nliman=an（2）a是唯一常數(shù)（不能是）是唯一常數(shù)（a需與C是常數(shù))(與數(shù)列前面的有限項無關(guān)；（3）數(shù)列的極限a與數(shù)列前面的有限項無關(guān)；）（4）數(shù)值變化趨勢有：遞減、遞增、擺動；）數(shù)值變化趨勢有：遞減、遞增、擺動；1）aa2指的是無限”（5）0n“無限”地趨近于)limCan(1)lim=(=n要有多近就能有多近nn要有多近就能有多近.C(3)當(dāng)a1時,liman=0n2.函數(shù)的無窮極限：函數(shù)的無窮極限：函數(shù)的無窮極限一般地，當(dāng)自變量取正值并且無限增大時，一般地，當(dāng)自變量x取正值并且無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當(dāng)趨向于

3、正無窮大時，就說當(dāng)x趨向于正無窮大時，的極限是a函數(shù)f(x)的極限是，記作xlimf(x)=a+當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對值無限增大時，當(dāng)自變量取負(fù)值并且絕對值無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)，就說當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時，無限趨近于一個常數(shù)a就說當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時，的極限是a函數(shù)f(x)的極限是，記作limf(x)=ax如果limf(x)=a,且且x+limf(x)=a,那么就說當(dāng)x趨向于x無窮大時,f(x)的極限是記作limf(x)=a的極限是a,記作無窮大時的極限是lim特別地：為常數(shù)）特別地：C=C（C為常數(shù)）3.函數(shù)在一點處的極限與左、右極限：函數(shù)在一點處的極限與左、右極限：

4、不等于x1）當(dāng)自變量無限趨近于常數(shù)10（但x不等于10）時，無限趨近于常數(shù)x不等于）當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)，就說當(dāng)趨近于10無限趨近于一個常數(shù)a，就說當(dāng)x趨近于趨近于x如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)lim時，函數(shù)f(x)的極限是，記作xxf(x)=a函數(shù)的極限是a，的極限是02）當(dāng)x從點10左側(cè)（即xx0）無限趨近于10時，函數(shù)）從點x無限趨近于x從點左側(cè)（f(x)無限趨近于一個常數(shù)，就說是函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)a，就說a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點10處的在點x無限趨近于一個常數(shù)在點左極限，記作limf(x)=a.左極限，xx03）如果當(dāng)x從點10右側(cè)（即xx0）

5、無限趨近于10時，）如果當(dāng)從點右側(cè)（從點x無限趨近于x函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)，就說是函數(shù)無限趨近于常數(shù)a，就說a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點10處在點x函數(shù)無限趨近于常數(shù)在點右極限，的右極限，記作xlimf(x)=a.x+04）常數(shù)函數(shù)f(x)=c在點）常數(shù)函數(shù)在點x=x0處的極限有l(wèi)imf(x)=C.在點xx04求下列極限:求下列極限（1）limx=1）11=x1x12x2lim(2x2+1)=3（4）lim2x=2（3）x1）x122x+135如何求lim?=x12x2考察下表lim（2）x0.90.990.99911.49951.51.0011.500501.011.12x2+11.45

6、5561.495052x1.505051.55455觀察該極限與上題極限之間存在關(guān)系嗎?觀察該極限與上題極限之間存在關(guān)系嗎2x+11lim=limx+limx1x1x12x2x22x+1lim=x12x2lim(2x2+1)x1lim2xx1x+x2問題1：函數(shù)，(x)=f,當(dāng)x1時，2x12你能否直接看出函數(shù)值的變化趨勢？問題2：如果不能看出函數(shù)值的變化趨勢，那么怎樣才能把問題轉(zhuǎn)化為已知能求的函數(shù)極限？轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法與依據(jù)是什么？講授新課:二、講授新課:函數(shù)極限運算法則：函數(shù)極限運算法則：“xx0時”lim如果limf(x)=a，xxg(x)=b那么xx00 xx0limf(x)g(x)=l

7、imf(x)limg(x)=abxx0 xx0 xx0limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abxx0 xx0f(x)xx0alim=(b0).xx0g(x)limg(x)bxx0limf(x)也就是說：如果兩個函數(shù)都有極限，也就是說如果兩個函數(shù)都有極限，那如果兩個函數(shù)都有極限么由這兩個函數(shù)的各對應(yīng)項的和、么由這兩個函數(shù)的各對應(yīng)項的和、差、商組成的函數(shù)的極限，積、商組成的函數(shù)的極限，分別等于這兩個函數(shù)的極限的和、兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商（各項作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為10）。項作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為）。注：使用極限四則運算法則的前提是各部分極限必須存在.是各部分極限必

8、須存在limlimlim不難得到：由xxf(x)g(x)=xxf(x)xxg(x)不難得到：000 xx0limCf(x)=Climf(x)（C為常數(shù)）為常數(shù)）為常數(shù)xx0 xx0limf(x)=limf(x)(nN)nn*xx0注：使用極限四則運算法則的前提是各部分極限必須存在.是各部分極限必須存在函數(shù)極限運算法則：同樣有x時”函數(shù)極限運算法則：“如果limf(x)=ax，limg(x)=b那么xlimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abxxxlimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abxxxf(x)limf(x)alim=x=(b0).xg(x)limg(x)

9、bx用上面的運算法則可求：用上面的運算法則可求：(1)limx;xx0n1(2)limn.xxxx0(1)limxn=(limx)n=x0n,即limxn=x0n;xx0 xx011nnuf8eb1uf8f6(2)limn=limuf8ecuf8f7=(lim)=0=0(nN*)xxxxxxuf8eduf8f81即limn=0 xx利用函數(shù)極限的運算法則，利用函數(shù)極限的運算法則，我們可以根據(jù)已知的幾個簡單函數(shù)的極限，函數(shù)的極限，求出較復(fù)雜的函數(shù)的極限.數(shù)的極限n例1、求lim(x+3x).、2x22解:lim(x+3x)=limx+lim3x2x2=(limx)+3limx2x2x2x2x2=

10、2+32=102xx0limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)xx0 xx0 xx0limx=x0nnxx0limCf(x)=Climf(x)xx02x2+x+1例2、求lim3.2x1x+2x1limf(x)f(x)axx0lim=(b0).xx0g(x)limg(x)bxx0lim(2x+x+1)2x+x+1x1解：lim=3232xx+2x11lim(x+2x1)2221+1+1=3=2=232limx+lim2xlim11+211x1x1x12lim2x+limx+lim12x1x1x1x1總結(jié)：總結(jié)：lim(x+3x)2x22x+x+1(2)lim3.2x1x+2x12通

11、過例1、例2同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)：函數(shù)（x）同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（）通過例、同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)處有定義;在x=x0處有定義求這類函數(shù)在某一點x=x0處的極限值時，只要把處的極限值時，只要把x=x0代入函數(shù)解析式中，就得到極限值.-代入法式中，就得到極限值代入法x16.例3、求limx4x42分析：分母的極限是10，分析：當(dāng)x4分母的極限是，不能直接運用上面的極限運算法則。接運用上面的極限運算法則。因為當(dāng)x4時函數(shù)的極限只與x無限趨近于無限趨近于4的函數(shù)值有時函數(shù)的極限只與無限趨近于的函數(shù)值有時的函數(shù)值無關(guān)，關(guān)，與x=4時的函數(shù)值無關(guān)，因此可以先將時的函數(shù)值無關(guān)分子、分母約去公因式x-4以后再求函數(shù)的分子、分

12、母約去公因式以后再求函數(shù)的極限.極限x16.例3、求limx4x42x16解：limx4x4(x+4)(x4)=limx4(x4)2limf(x)xx0f(x)alim=(b0).xx0g(x)limg(x)bxx0=lim(x+4)x4=8x1.例4、求lim2、x12xx12解：lim(x+1)(x1)=limx(x12x+11)()x+1=limx2x+111+12=lim(2x+1)2+13x1x1x1.2x2xx112lmf(x)if(x)axx0lmi=(b0).xx0g(x)lmg(x)ibxx0lim(x+1)總結(jié)：總結(jié)：2x16x1.、.例4、求lim2例3、求limx12x

13、x1x4x42通過例3、4會發(fā)現(xiàn)會發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（x）通過例3、例4會發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（x）在x=x0處無定義；求這類函數(shù)在某一點x=x0處的極限值時，若處的極限值時，定義；求這類函數(shù)在某一點用代入法，分子分母都為用代入法，分子分母都為.解決辦法：可對分子分母因式分解，約去為的公因解決辦法：可對分子分母因式分解，約去為10的公因式來求極限式來求極限-因式分解法因式分解法1x1變式：求lim=？x0 x解決辦法：可先有理化分子，再約去為的公因式來解決辦法：可先有理化分子，再約去為10的公因式來求極限求極限-根式有理化法根式有理化法練習(xí)：求下列函數(shù)的極限：練習(xí)：求下列函數(shù)的極限：x4x+1(1)limx

14、22x+12(x+1)(x2)(2)limx2(x+3)(x2+2)x+5x+6(3)lim2x2x+x22x+x6(4)limx2x22x+1例5、求lim2=?xx+x+111+22x+1xlim2=lim解：xx+x+1x111+2xx1+0=11+0+02注意:當(dāng)x分子、分母中同除以的最高次冪，利用分子、分母中同除以x的最高次冪的最高次冪，1就可以求極限了limn=0就可以求極限了xx3x2+5x+1練習(xí)：求lim2=？x4x5x+7ax+x1=2,求實數(shù)a的值.例6、已知lim、2x1x+22解：ax+x1lim=221xx+22a1+11=221+22a=6x+ax+b=2，求a,

15、b的值變式：x2的值.變式：若lim2的值xx22x2x20，同時分母x解：2時，分式的分母又由于分式的極限值是常數(shù)2，中有因式x2.又由于分式的極限值是常數(shù)，所以又由于分式的極限值是常數(shù)分子中也應(yīng)該有因式x2，需約去公因式x2后，其極限值才有可能是常數(shù).其極限值才有可能是常數(shù)令x+ax+b=(x2)(x+c)，則：2(x2)(x+c)(x+c)2+c原式=lim=lim=x2(x2)(x+1)x2(x+1)32+c=2c=4.a=2,b=83x2+ax+b=x2+(c2)x2ca=c2,b=2c小結(jié)：小結(jié)：（1）概述極限的運算法則：）概述極限的運算法則：（2）本節(jié)課學(xué)習(xí)了三種計算函數(shù)極）0限的方法：代入法；限的方法：代入法；對10型極限的求法可通過因式分解，限的求法可通過因式分解，根式有理化約去“