線面積分習(xí)題課-課件

1、習(xí)題課一、 曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法線面積分的計(jì)算 第十章 1習(xí)題課一、 曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法線面積分的計(jì)曲線積分曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分2曲線積分曲面積分對(duì)面積的對(duì)坐標(biāo)的對(duì)弧長(zhǎng)的對(duì)坐標(biāo)的定義計(jì)算定義 曲 線 積 分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)算三代一定二代一定 (與方向有關(guān))3 曲 線 積 分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)三與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題4與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等4 曲 面 積 分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義

2、聯(lián)系計(jì) 算一投,二代,三換(與側(cè)無關(guān))一投,二代,三定向 (與側(cè)有關(guān))5 曲 面 積 分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計(jì) 定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系6定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Sto積分概念的聯(lián)系定積分二重積分7積分概念的聯(lián)系定積分二重積分7曲面積分曲線積分三重積分曲線積分8曲面積分曲線積分三重積分曲線積分8計(jì)算上的聯(lián)系9計(jì)算上的聯(lián)系9其中10其中10理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓-萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式11理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積

3、分的聯(lián)系牛頓-萊布尼茨公式23.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式123.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系或推廣推廣13Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系或梯度通量旋度環(huán)流量散度（三）場(chǎng)論初步14梯度通量旋度環(huán)流量散度（三）場(chǎng)論初步14思路:閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線或用公式二、典型例題15思路:閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線或用公式二、典型例題15解16解16解(如下圖)17解(如下圖)171818曲面面積的計(jì)算法SDxy19曲面面積的計(jì)算法SDxy19曲頂

4、柱體的表面積 如圖曲頂柱體，20曲頂柱體的表面積 如圖曲頂柱體，20解由對(duì)稱性21解由對(duì)稱性212222例解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系23例解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系232424向量點(diǎn)積法25向量點(diǎn)積法25例解利用向量點(diǎn)積法26例解利用向量點(diǎn)積法262727解(如下圖)28解(如下圖)2829293030一、曲線積分的計(jì)算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對(duì)弧長(zhǎng) )第二類 ( 對(duì)坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終練習(xí)題: P184 題 3 (1), (3), (6)31一、曲線積分的計(jì)算法1.

5、 基本方法曲線積分第一類 ( 對(duì)弧長(zhǎng)解答提示: 計(jì)算其中L為圓周提示: 利用極坐標(biāo) ,原式 =說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,則P184 3 (1)32解答提示: 計(jì)算其中L為圓周提示: 利用極坐標(biāo) ,原式 =說P184 3(3). 計(jì)算其中L為擺線上對(duì)應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.提示:33P184 3(3). 計(jì)算其中L為擺線上對(duì)應(yīng) t 從 P184 3(6). 計(jì)算其中由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 從 z 軸正向看沿逆時(shí)針方向.34P184 3(6). 計(jì)算其中由平面 y = z 截球(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;(

6、3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .2. 基本技巧35(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路例1. 計(jì)算其中 為曲線解: 利用輪換對(duì)稱性 , 有利用重心公式知(的重心在原點(diǎn))36例1. 計(jì)算其中 為曲線解: 利用輪換對(duì)稱性 , 有利用例2. 計(jì)算其中L 是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,解法1 令則這說明積分與路徑無關(guān), 故a 為半徑的上半圓周.37例2. 計(jì)算其中L 是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,解法1 令解法2 它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2) 若 L 同例2 , 如何計(jì)算下述積分:

7、(1) 若L 改為順時(shí)針方向, 如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段38解法2 它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2) 若思考題解答:(1)(2)39思考題解答:(1)(2)39計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針方向.練習(xí)題: P184 題 3(5) ; P185 題6; 103(5).40計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針方向.練習(xí)題: P18P185 6 .設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場(chǎng),其中k 為常數(shù), 證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:令易證F 沿右半平面內(nèi)任意有向路徑 L 所作的功為41P185 6 .設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力P185 10.

8、求力沿有向閉曲線 所作的功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三提示: 方法1從 z 軸正向看去沿順時(shí)針方向.利用對(duì)稱性角形的整個(gè)邊界,42P185 10.求力沿有向閉曲線 所作的功, 其中 設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則方法2利用斯托克斯公式43設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則方法2利用斯托克斯公式43二、曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對(duì)面積 )第二類( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面44二、曲面積分的計(jì)算法1.

9、 基本方法曲面積分第一類( 對(duì)面積 思 考 題1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面問下列等式是否成立? 不對(duì) ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) 45思 考 題1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分2. 基本技巧(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化462. 基本技巧(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利練習(xí):P185 題4(3) 其中 為半球面的上側(cè).且取下側(cè) , 提示: 以半球底面原式 =P185 題4(2) , P185 題 9 同樣

10、可利用高斯公式計(jì)算.記半球域?yàn)?,高斯公式有計(jì)算為輔助面, 利用47練習(xí):P185 題4(3) 其中 為半球面的上側(cè).且取下例3.證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向量, 試證設(shè) 為簡(jiǎn)單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 48例3.證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向量, 試證設(shè) 例4. 計(jì)算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時(shí), 應(yīng)如何計(jì)算?提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .49例4. 計(jì)算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時(shí)例5. 設(shè) 是曲面解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,取上側(cè),

11、計(jì)算則50例5. 設(shè) 是曲面解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè)第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式計(jì)算, 得51第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式51例6. 計(jì)算曲面積分中 是球面解: 利用對(duì)稱性用重心公式52例6. 計(jì)算曲面積分中 是球面解: 利用對(duì)稱性用重心公式例7.設(shè)L 是平面與柱面的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針方向, 計(jì)算 解: 記 為平面上 L 所圍部分的上側(cè), D為在 xoy 面上的投影.由斯托克斯公式53例7.設(shè)L 是平面與柱面的交線從 z 軸正向看去, L 為逆D 的形心54D 的形心54(1) 在任一固定時(shí)刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用題 地球的一個(gè)偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像, 若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為H =0.25 R , 衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間為 T , 試求(2) 在解: 如圖建立坐標(biāo)系.的時(shí)間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少 ?多少 ? 55(1) 在任一固定時(shí)刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用(1) 利用球坐標(biāo), 任一固定時(shí)刻監(jiān)視的地球表面積為(2) 在時(shí)間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停注意盲區(qū)與重復(fù)部分其中S0 為盲區(qū)面積56(1) 利用球坐標(biāo), 任一固定時(shí)