三角函數(shù)難題訓(xùn)練

1、頁(yè)腳頁(yè)腳1、某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋，原設(shè)計(jì)天橋的樓梯長(zhǎng)AB=6m,ZABC=45，后考慮到安全因素，將樓梯腳B移到CB延長(zhǎng)線上點(diǎn)D處，使ZADC=30。(如圖所示).(1)求調(diào)整后樓梯AD的長(zhǎng)；(2)求BD的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))2、如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測(cè)量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測(cè)得ZAEP=74,ZBEQ=30；在點(diǎn)F處測(cè)得ZAFP=60,ZBFQ=60,EF=1km(1)求證AB=AE；(2)兩個(gè)島嶼A和B之間的距離為多少km(結(jié)果精確到0.1km)(參考數(shù)據(jù)：根號(hào)3心1.73，cos740.28，tan743.49，sin760.97,cos76

2、0.24)3、一副三角板按圖1所示的位置擺放.將DEF繞點(diǎn)A（F）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后（圖2）,測(cè)得CG=10cm,則兩個(gè)三角形重疊（陰影）部分的面積為多少？4、如圖和厶CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C，D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：tanBCZAEC=CQ:SAABC+SACDE三SAACE:BM丄DM；BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)SCD5、如圖，AABC中，ZACB=90,ACBC,分別以ABC的邊AB、BC、CA為一邊向厶ABC外作正方形ABDE、BCMN、TOC o 1-5 h zCAFG,連接EF、GM、，設(shè)厶AEF、ABND、ACGM

3、的面積分別為SI、S2、S3，則下列結(jié)論正確的是（）A、S1=S2=S3B、S1=S2VS3C、S1=S3VS2D、S2=S3VS16、在矩形ABCD中，有一個(gè)菱形BFDE（點(diǎn)E,F分別在線段AB，CD上）,記它們的面積分別為SABCD和SBFDE,現(xiàn)給出下列命題 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document S心皿_2+価立若，則tanZEDF=，；若DE的平方=BDEF,則DF=2AD.則（）A、是真命題，是真命題B、是真命題，是假命題C、是假命題，是真命題D、是假命題，是假命題7、如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90,AC=6,D是AC上一點(diǎn)，若

4、tanZDBA=，則AD的長(zhǎng)是多少？CAE8、在銳角ABC中，ZBAC=60,BD、CE為髙，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF,則結(jié)論：DF二EF:AD：AB=AE：AC；厶DEF是等邊三角形；BE+CD二BC；當(dāng)ZABC=45。時(shí)，BE=1也DE中，一定正確的有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)DD9、如圖，兩個(gè)髙度相等且底面直徑之比為1：2的圓柱形水杯，甲杯裝滿液體，乙杯是空杯若把甲杯中的液體全部倒入乙杯，則乙杯中的液面與圖中點(diǎn)P的距離是（）16cm匸J杯S-V3cm10、如圖，一架飛機(jī)由A向B沿水平直線方向飛行，在航線AB的正下方有兩個(gè)山頭C、D.飛機(jī)在A處時(shí)，測(cè)得山頭C、D在飛機(jī)

5、的前方，俯角分別為60和30飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí)，往后測(cè)得山頭C的俯角為30，而山頭D恰好在飛機(jī)的正下方.求山頭C、D之間的距離.11、如圖，在梯形ABCD中，ADBC,AD=3,DC=5,AB=4倍根號(hào)2,ZB=45。動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒求BC的長(zhǎng)；當(dāng)MNAB時(shí)，求t的值；12、如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC,ZC=90,BC=16,DC=12,AD=21.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒

6、1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.（1）設(shè)厶BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)0,且2A0=0B時(shí)，求ZBQP的正切值；（4）是否存在時(shí)刻t,使得PQ丄BD?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.A衛(wèi)D13、水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對(duì)程家山水庫(kù)進(jìn)行加固.原大壩的橫斷面是梯形ABCD，如圖所示，已知迎水面AB的長(zhǎng)為10米，ZB=60。，背水面DC的長(zhǎng)度為10倍根號(hào)3米，加固后大壩的橫斷面為梯形AB

7、ED.若CE的長(zhǎng)為5米.（1）已知需加固的大壩長(zhǎng)為100米，則需要填方多少立方米；（2）新大壩背水面DE的坡度為多少？（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）14、如圖15，某市郊外景區(qū)一條筆直的公路a經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A、B、C,景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D,經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏，東30方向上，景點(diǎn)D位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75方向上，已知AB=5km，AD=8km.A（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向公路a修建一條距離最短公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長(zhǎng);（結(jié)果精確到0.1km）（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離（結(jié)果精確到lkm）（參考數(shù)據(jù)：玄3心1.73,叮5心2.24,sin5

8、3=cos37=0.80,sin37=cos53=0.60,tan53=1.33,tan37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=cos38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.79,cos75=0.26,tan75=3.73）15某地震救援隊(duì)探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測(cè)點(diǎn)A,B相距3米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30和60（如圖），試確定生命所在點(diǎn)C的深度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):邁1.41，運(yùn)1.73）16、（1）如圖16-1，16-2，銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的確定而確定，變化而變化，試

9、探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值變化的規(guī)律。OB3BOB3B2B1C頁(yè)腳頁(yè)腳（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較18，35，50，62，88，這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大?。?）比較大小，（在空格處填寫“”“或”“=TOC o 1-5 h z若a=45，貝Usinacosa若aV45，貝Usinacosa若a45，貝Usinacosa（2）利用互為余角的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，試比較下列正弦值和余弦值的大小。sinlO、cos30、sin50、cos701、解：(1)已知AB=6m,ZABC=45,.AC=BC=ABsin45=6X=3，已知ZADC=30.AD=2AC=6.答：

10、調(diào)整后樓梯AD的長(zhǎng)為6m；(2)CD=ADcos30=6X=3，/.BD=CD-BC=3-3.答：BD的長(zhǎng)為3-3(m).解：（1）相等（1分）因?yàn)閆BEQ=30,ZBFQ=60。，所以ZEBF=30，所以EF=BF（2分）又因?yàn)閆AFP=60，所以ZBFA=60.在厶AEF與厶ABF中，EF=BF，ZAFE=ZAFB，AF=AF，所以AEFABF，所以AB=AE（5分）（2）方法一：作AH丄PQ，垂足為H,設(shè)AE=x則AH二xsin74,HE二xcos74HF二xcos74+l(7分)RtAAHF中，AH=HFtan60.所以xsin74=(xcos74+1)tan60即0.96x=(0.2

11、8x+l)X1.73所以x3.6,即AB3.6km答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離約為3.6km.(10分)方法二：設(shè)AF與BE的交點(diǎn)為G,在RtAEGF中，因?yàn)镋F=1，所以EG=(7分)在RtAAEG中，ZAEG=76,AE二EG2cos76=三0.243.6答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離約為3.6km.(10分)3：過(guò)G點(diǎn)作GH丄AC于H,如圖，ZGAC=60,ZGCA=45,GC=10cm,TOC o 1-5 h z在RtAGCH中，GH二CH二GC=5cm,在RtAAGH中，AH=GH=cm,/.AC=(5+)cm,.兩個(gè)三角形重疊(陰影)部分的面積=GHAC=X5X(5+)=25+AAS

12、DSDCaAASDSDCaNC4、解：ABC和厶CDE均為等腰直角三角形,/.AB=BC,CD二DE,/.ZBAC=ZBCA=ZDCE=ZDEC=45.ZACE=90；.ABCsCDE=二.：tanZAEC二,/.tanZAEC二；故本選項(xiàng)正確;111ABC=2a2,SCDE=2b2,S梯形ABDE=2(a+b)2,.SAACE=S梯形ABDE-SABC-SCDE=ab,11SABC+SCDE=2(a2+b2)三文ab(a=b時(shí)取等號(hào)),.SAABC+SACDE三SAACE；故本選項(xiàng)正確；過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于BD,垂足為N.點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，則MN為梯形中位線，N為中點(diǎn)，.BMD為等腰三角形，/

13、.BM=DM；故本選項(xiàng)正確；11又MN二2(AB+ED)=2(BC+CD)，.ZBMD=90,即BM丄DM；故本選項(xiàng)正確.故選D.5、解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，BCMN、CAFG,.分別以厶ABC的邊AB、BC、CA為一邊向厶ABC外作正方形ABDEBCMN、CAFG,.AER9AACB,.ER二BC=a,FA=b，ab,ab,1-2ab1-2-s啟s同理可得同理可得HD二AR二AC,.S1=S2=S3=.故選A.6、解：設(shè)CF=x,DF=y,BC=h,則由已知菱形BFDE,BF=DF=y由已知得：=飛_得：=2,即cosZBFC二2,/.ZBFC=30,由已知/.ZEDF=30V

14、3.tanZEDF=3,所以是真命題.已知菱形BFDE,.DF=DE由已知ADEF的面積為：DFAD,也可表示為：BDEF,又DE2=BDEF,.DEF的面積可表示為：DE的平方即：DF的平方,.DFAD=DF2,.DF=2AD,所以是真命題故選：A1DEtanZDBA二5=7、解：作DE丄AB于E點(diǎn).1DEtanZDBA二5=又VAC=6,.AE+BE=5AE+AE=6又VAC=6,.AE+BE=5AE+AE=64,.BE=5DE,.ABC為等腰直角三角形,.ZA=45,.AE=DE.BE=5AE,.在等腰直角厶ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2.8、解：BD、CE為髙，.ZBDC=ZC

15、EB=90，又TF為BC的中點(diǎn)，.DF=BC,EF=BC,.DF=EF；VZA=ZA,ZADB=ZAEC,.ADBAEC,.AD：AB=AE：AC；VZBAC=60,.ZABC+ZACB=120,VDF=CF,EF=BF,.ZBEF+ZCDF=120,.ZBFE+ZCFD=120,.ZDFE=60，又DF二EF,.ADEF是等邊三角形；BE+CD=BCsinZBCE+BCsinZCBD=BC(sinZBCE+sinZCBD)=BCsinZBCE+sin(60-ZBCE)，不一定等于BC；也廠.ZABC=45,.BE=2BC=l2DE.正確的共4個(gè).故選C.甲杯Idem9、甲液體的體積等于液體在

16、乙中的體積.設(shè)乙杯中水深為x.則nX12X16=nX48Xx,解得x=4.在直角ABP中，已知AP=43,AB=83,.BP=12.根據(jù)三角形的面積公式可知直角ABP斜邊上的髙是6,所以乙杯中的液面與圖中點(diǎn)P的距離是16-6-4=6.故選B.10、解：.飛機(jī)在A處時(shí)，測(cè)得山頭C、D在飛機(jī)的前方，俯角分別為60和30到B處時(shí)，往后測(cè)得山頭C的俯角為30,/.ZBAC=60,ZABC=30,ZBAD=30,/.ZACB=180-ZABC-ZBAC=180-30-60=90，即ABC為直角三角形,VAB=6千米，.BC=ABcos30=6X32=33千米.RtAABD中，BD=ABtan30=6X3

17、3=23千米，作CE丄BD于E點(diǎn),TAB丄BD,ZABC=30,.：ZCBE=60,則BE二BCcos60=323,DE=BD-BE=32,CE=BCsin60=92,.CD=DE2+CE2=(32)2+(92)2二21千米.山頭C、D之間的距離根號(hào)21千米.11、解：(1)如圖，過(guò)A、D分別作AK丄BC于K,DH丄BC于H,則四邊形ADHK是矩形./.KH=AD=3.在RtAABK中，AK=ABsin45=4222=4BK=ABcos45=4222=4.在RtACDH中，由勾股定理得，HC=52-42=3.BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.如圖，過(guò)D作DGAB交BC于G點(diǎn)，則四邊形A

18、DGB是平行四邊形.MNAB,.MNDG.BG=AD=3.GC=10-3=7.由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，CN=t,CM=10-21.DGMN,/.ZNMC=ZDGC.又ZC=ZC,.MNCsGDC.CNCD=CMCG,即t5=10-2t7.解得,t=5017.分三種情況討論：當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖，即t=10-21,t=103.當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖，過(guò)N作NE丄MC于E.解法一：由等腰三角形三線合-性質(zhì)得EC=12MC=12(10-2t)=5-t在RtACEN中，cosc=ECNC=5-tt,又在RtADHC中，cosc=CHCD=35,5-tt=35.解得t=258.解法二：VZC=ZC

19、,ZDHC=ZNEC=90,.necsdhc.NCDC=ECHC,即t5=5-t3.t二258.當(dāng)MN二MC時(shí)，如圖，過(guò)M作MF丄CN于F點(diǎn).FC=12NC=121.解法一：(方法同中解法一)cosC=FCMC=12110-21=35,解得t=6017.解法二：VZC=ZC,ZMFC=ZDHC=90,.mfcsdhc.FCHC=MCDC,即12t3=10-2t5,t=6017.綜上所述，當(dāng)t=10分?jǐn)?shù)線3、t=258或1=6017時(shí)，AMNC為等腰三角形.12、解(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM丄BC，垂足為M,則四邊形PDCM為矩形.PM=DC=12.QB=16-t,.S=12X12X(16-1)=

20、96-6t(0WtV16)；由圖可知：CM=PD=21,CQ=t.以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若PQ=BQ.在R1APMQ中，PQ2=12+122,由PQ2=BQ2得12+122=(16-1)2,解得1=72；若BP=BQ.在R1APMB中，BP2=(16-21)2+122.由BP2=BQ2得：(16-21)2+122=(16-1)2即312-321+144=0.由于=-704V0,312-321+144=0無(wú)解,.PBHBQ.若PB=PQ.由PB2=PQ2,得12+122=(16-21)2+122整理,得312-641+256=0.解得11=163,12=16

21、(不合題意,舍去)綜合上面的討論可知：當(dāng)1=72秒或1=163秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.如圖，由OAPsOBQ,得APBQ=A00B=12.AP=21-21,BQ=16-1,.2(21-21)=16-1.1二585.過(guò)點(diǎn)Q作QE丄AD，垂足為E.PD=21,ED=QC=1,.PE=1.在R1APEQ中，1anZQPE=QEPE=121=3029.又VAD#BC,/.ZBQP=ZQPE,/.1anZBQP二3029；設(shè)存在時(shí)刻1,使得PQ丄BD.如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE丄AD于E,垂足為E.由R1ABDCsR1厶QPE，得DCBC=PEEQ，即1216=112.解得1=9.所以，當(dāng)1=9秒時(shí)，PQ丄BD13、解：(1)分別過(guò)A、D作AF丄BC,DG丄BC，垂點(diǎn)分別為F、G,如圖所示在R1AABF中，AB=10米，ZB=60.所以sinZB=AFAB,.AF=10X3253,DG=5根號(hào)3；所以SDCE=12XCEXDG=12X5X53=252根號(hào)3,需要填方：100X2523=1250根號(hào)3(立方米);(2)在直角三角形DGC中，DC=103,所以GC=DC2-DG2=(103)2-(53)2=15,所以GE=GC+CE=20,所以坡度i=DGGE=5320=34；答：(1)需要土石方1250根3立方米.(2)背水坡坡度為4分之根3