理論力學(xué)證明題

1、 di d d dt di d d dt 2r j di 理力動(dòng)題明1-1. 極坐系中，質(zhì)點(diǎn)的徑矢量定義為： r ri，由此推證其速度和加速度。質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，徑矢量定義為： r ri，而di j dt i ; 2 分 v i r i r j dt dv d da ( ri ( r j dt2 分2 分 ( ) j ( r ) j j r i而 ； 2 分 ( ) i ( r 2 分 1-2. 自然標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的速度矢量沿軌道的切線方向，定義為 vi 速度為： dv a j ，由此推證其加質(zhì)點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)，速度矢量定義為： d i d 有 j j , dt dv dv dia i dt dt 而

2、 v ； j j v ， 為切線方向分2 分分 dv v i jdt 2 分1-3. 簡述心力的性質(zhì). 并明質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下只能在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn). 證明：只要證明角動(dòng)量是一個(gè)常矢量 即可.第 頁 共 8 頁 i i i i i i i i i i 性質(zhì)1力線始終通過一定點(diǎn)；(2) 角動(dòng)量守恒,或掠面速度守恒；(3) 有心力是保守力, 或機(jī)械能守恒. 1-4. 質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持常數(shù)，試證其速度矢量 v 與加度矢量 a 交。證明: 質(zhì)作平面運(yùn)動(dòng)，速度總沿軌道切線方向。 v 2 分而 2 i jdt 2 分又 v 為數(shù)， ，2 分 v 2 a 故 ,證畢。2 分2 分1-5. 根據(jù)頓第二定律

3、導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理的數(shù)學(xué)表達(dá)1-6. 根據(jù)頓第二定律導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理微分形式的數(shù)學(xué)表達(dá).2-1. 根據(jù)頓第二定律導(dǎo)出 質(zhì)點(diǎn) 量定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并寫出分量形. 2-2. 根據(jù)頓第二定律導(dǎo)出 質(zhì)點(diǎn) 原點(diǎn)的角動(dòng)量定理的數(shù)學(xué)表達(dá).解：mid ri 2 F ( i ) Fii( )n d 2 r n ( r m i ) dt 1 1 r ( F ( i ) F i i i( )n r Fi1i( i ) ，r mii d r i ( r i 2 dt dt) n ( r dt1idr i ) r Fdt1i( e ),即：dt M .第 頁 共 8 頁 i i 2 i i i i i i i 2i

4、 i i i i A A A i i 2 i i i i i i i 2i i i i i A A A Bk 2-3. 根據(jù)頓第二定律導(dǎo)出 質(zhì)點(diǎn) 動(dòng)能定理微分形式的數(shù)學(xué)表達(dá).解： id 2 ridt F ( i ) Fi i( ) md 2 r dr i i ( F ( i ) Fi dt( ) i, 1 v i ( i ) i dv di ) dv d ( v )i i i 1 n ( m r ) F ) F21 1 1( i ) i2-4. 一滑球 A 與另靜止的滑球 發(fā)生碰。如兩者均為完全彈性體，且兩球的質(zhì) 量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：動(dòng)守恒 m v A A B

5、mABB3 分 v v A B 2.機(jī)械能守恒(1)1 1 1m v 2 m v m v 2 2 23 分即2 v v A B(2)由1)式, 有 v v B2 v 即A v A B 0證畢2 分2 分3-1. 均實(shí)心圓球和一外形相的空心球殼沿著一斜面同時(shí)自同一高度自由滾下，證明它們經(jīng)過相等距離所需的時(shí)間比是21 5.知實(shí)心球、空心球的繞直的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：I 2 2 , I 2 ,5 其中 是半徑， 是量第 頁 共 8 頁c 空 2 2 5 c 空 2 2 5 證明：1確定剛體運(yùn)動(dòng)類型：平面行運(yùn)動(dòng)。 1 分 2分析并寫出平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程及其約束方程： f c0 mg mk 2 cg

6、3解出得 1 2 / a23 分3 分4則實(shí)心球和空心球的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其大小分別為：a 實(shí)g g 1 / 5 ，g sin a sin 1 / 3 52 分5設(shè)兩球都經(jīng)過相同的距離 S ，：1 t a t 所以得：2 分所以得：t a 25實(shí) 空 t 21空 實(shí) 21空，1 分1 分3-2. 棒的端置于光滑水平面上，另一端則靠在光滑墻上，且棒與地面的傾角 ，如任 其自此位置開始下滑，則當(dāng)棒與地面的傾角變?yōu)?3sin )時(shí)，棒將與墻別離，試證明之。3-3. 均實(shí)心圓球和一外形相的空心球殼沿著一斜面同時(shí)自同一高度自由滾下，證明它第 頁 共 8 頁實(shí) 空 R 空 實(shí) 實(shí)空 空2 實(shí) 空 R

7、空 實(shí) 實(shí)空 空2 們經(jīng)過相等距離所需的時(shí)間比是 21 : 已實(shí)心球心的繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：2 2 I mR , I mR5 3證明：2，其中 是徑， 是量1確定剛體運(yùn)動(dòng)類型：平面平行運(yùn)動(dòng)。 分 2分析并寫出平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程及其約束方程：mx sin c0 N cos mk x c3解出得：3 分 cg sin 1 2 / a 2 分4則實(shí)心球和空心球的質(zhì)心都作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其大小分別為：a 實(shí)g 5 g sin 1 / 5 7，g sin a sin1 / 3 52 分5設(shè)兩球都經(jīng)過相同的距離 S，則：1 1 t t2 2所以得：t 25實(shí) 空 ，t 2 a 21空 實(shí)所以得：

8、2 分1 分t實(shí)t空5211 分3-3.4-1. 推導(dǎo)點(diǎn)在非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程，并說明方程中各項(xiàng)的含.4-2導(dǎo)出空間轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度的表達(dá)式，并說明每一項(xiàng)的物理含義。解點(diǎn)的速度為dr *r dt 1 分2質(zhì)點(diǎn)的加速度：a * dt 1 分第 頁 共 8 頁t s t n t s t n d r d * d *r dt dt 分)3上式子可寫為：d 2* ra 4其中：dt a a t 1 分是相對(duì)加速度，與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。 1 分5a td *dt 是牽連加速度，與轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。 6a cd *rdt是科里奧利加速度，是參考系轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)共同作用的結(jié)果 分

9、4-3. 應(yīng)用慣性系動(dòng)力學(xué)方程導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理5-1. 寫保守、幾何約束條件的拉格朗日方程和哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并由哈密頓 原理證明拉格朗日方.5-2. 用哈頓原理導(dǎo)出理想、完整約束、保守系的正則方程。解系統(tǒng)哈密頓函數(shù)：H p q 2 分2所以拉格朗日函數(shù)：L p H 2 分3帶入哈密頓原理表達(dá)式：t q dt 2 分4考慮哈密頓函數(shù)是 , q, t的函數(shù)則ti 2 分5因q p 相互獨(dú)立，所以有： a a 分5-3. 用哈頓原理導(dǎo)出理想、完整約束、保守系的拉格朗日方程。解哈密頓原理表達(dá)式： t 02 分t第 頁 共 8 頁t 1 t 1 p t 1 t 1 p H 2考慮拉格

10、朗日函數(shù)是 的函數(shù)則 ( t1 L L ) dt 2 分3而：L d L ( ) - ( ) dt 2 分還有等時(shí)變:t 0,代入前式,得1d L L ( 01 分4因是端點(diǎn)固定的等時(shí)變分,一項(xiàng)為,所有1d L L ( 02 分即 ) 0 1 分5-4. 用理、完整約束、保守系的正則方程導(dǎo)出哈密頓原理。 1理想、完整約束、保守系的正則方程為： 0,H 2 分2兩方程相減、分別乘以 ，并對(duì) 求、再積分，有：t ( 1 ) p ( 2 分3利用：d( ) 2 分4代入前式得 1 q 0因是端點(diǎn)固定的等時(shí)變分,第一為,所以有：1 2 分再利用L ( ( q H ) q p ) 1 1 H L t ，第 頁 共 8 頁 tt 2 tt 2 2 2t 0，代入,得： 2 分證畢。5-5. 用理、完整約束、保守系的拉格朗日方程導(dǎo)出哈密頓原理。 1理想、完整約束、保守系的拉格朗日方程為： L L( dt 2方程兩邊同乘 ，并對(duì) 求、再積分，有：2 分t 1d L( ) dt 0 dt 2 分3利用：