高等數(shù)學-第六版-高等數(shù)學課件第一章函數(shù)與極限

1、10/16/20221函數(shù)與極限10/11/20221函數(shù)與極限一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集10/16/20222函數(shù)與極限一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個數(shù)集分類:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集R-實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.10/16/20223函數(shù)與極限數(shù)集分類:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)2.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,10/16/20224函數(shù)與極限2.區(qū)間:是

2、指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.10/16/20225函數(shù)與極限稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:3.鄰域:10/16/20226函數(shù)與極限3.鄰域:10/11/20226函數(shù)與極限4.常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x, y, t等表示變量.10/16/20227函數(shù)與極限4.常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持

3、不變的量稱為常量,注意常5.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:10/16/20228函數(shù)與極限5.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:10/11/20228函因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念10/16/20229函數(shù)與極限因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念10/11自變量因變量對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.10/16/202210函數(shù)與極限自變量因變量對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.約定:定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值

4、函數(shù)10/16/202211函數(shù)與極限定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總 (1) 符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo10/16/202212函數(shù)與極限 (1) 符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo10(2) 取整函數(shù) y=xx表示不超過 的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線10/16/202213函數(shù)與極限(2) 取整函數(shù) y=x 1 2 3 4 有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)10/16/202214函數(shù)與極限有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)10/11(4) 取最值函數(shù)yxo

5、yxo10/16/202215函數(shù)與極限(4) 取最值函數(shù)yxoyxo10/11/202215函在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).10/16/202216函數(shù)與極限在自變量的不同變化范圍中, 例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓10/16/202217函數(shù)與極限例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U10/16/202218函數(shù)與極限10/11/202218函數(shù)與極限例2解故10/16/202219函數(shù)與極限例2解故10/11/202219函數(shù)與極限三、函數(shù)的特性M

6、-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1函數(shù)的有界性:10/16/202220函數(shù)與極限三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-Myxo2函數(shù)的單調(diào)性:xyo10/16/202221函數(shù)與極限2函數(shù)的單調(diào)性:xyo10/11/202221函數(shù)與極限xyo10/16/202222函數(shù)與極限xyo10/11/202222函數(shù)與極限3函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x10/16/202223函數(shù)與極限3函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x10/11/202223奇函數(shù)yxox-x10/16/202224函數(shù)與極限奇函數(shù)yxox-x10/11/202224函數(shù)與極限4函數(shù)的周期性:（通常

7、說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.10/16/202225函數(shù)與極限4函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）. 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.四、反函數(shù)10/16/202226函數(shù)與極限 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.四五、小結(jié)基本概念集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)10/16/202227函數(shù)與極限五、小結(jié)基本概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性反函數(shù)10/11/202思考題10/16/202228函數(shù)與極限思考題10/11/202228函數(shù)與極限思考題解答設則故10/16/202229函數(shù)與極限思

8、考題解答設則故10/11/202229函數(shù)與極限練 習 題10/16/202230函數(shù)與極限練 習 題10/11/202230函數(shù)與極限10/16/202231函數(shù)與極限10/11/202231函數(shù)與極限練習題答案10/16/202232函數(shù)與極限練習題答案10/11/202232函數(shù)與極限10/16/202233函數(shù)與極限10/11/202233函數(shù)與極限一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)10/16/202234函數(shù)與極限一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)10/11/202234函數(shù)與極限2.指數(shù)函數(shù)10/16/202235函數(shù)與極限2.指數(shù)函數(shù)10/11/202235函數(shù)與極限3.對數(shù)函數(shù)10/16/20

9、2236函數(shù)與極限3.對數(shù)函數(shù)10/11/202236函數(shù)與極限4.三角函數(shù)正弦函數(shù)10/16/202237函數(shù)與極限4.三角函數(shù)正弦函數(shù)10/11/202237函數(shù)與極限余弦函數(shù)10/16/202238函數(shù)與極限余弦函數(shù)10/11/202238函數(shù)與極限正切函數(shù)10/16/202239函數(shù)與極限正切函數(shù)10/11/202239函數(shù)與極限余切函數(shù)10/16/202240函數(shù)與極限余切函數(shù)10/11/202240函數(shù)與極限正割函數(shù)10/16/202241函數(shù)與極限正割函數(shù)10/11/202241函數(shù)與極限余割函數(shù)10/16/202242函數(shù)與極限余割函數(shù)10/11/202242函數(shù)與極限5.反三

10、角函數(shù)10/16/202243函數(shù)與極限5.反三角函數(shù)10/11/202243函數(shù)與極限10/16/202244函數(shù)與極限10/11/202244函數(shù)與極限10/16/202245函數(shù)與極限10/11/202245函數(shù)與極限 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).10/16/202246函數(shù)與極限 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角二、復合函數(shù) 初等函數(shù)1.復合函數(shù)定義:10/16/202247函數(shù)與極限二、復合函數(shù) 初等函數(shù)1.復合函數(shù)定義:10/11/20注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)

11、成.2.初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).10/16/202248函數(shù)與極限注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復例1解10/16/202249函數(shù)與極限例1解10/11/202249函數(shù)與極限綜上所述10/16/202250函數(shù)與極限綜上所述10/11/202250函數(shù)與極限三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)10/16/202251函數(shù)與極限三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)10/1奇函數(shù),有界函數(shù),10/16/202252函數(shù)與極限奇函數(shù),有界函數(shù),1

12、0/11/202252函數(shù)與極限雙曲函數(shù)常用公式10/16/202253函數(shù)與極限雙曲函數(shù)常用公式10/11/202253函數(shù)與極限2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),10/16/202254函數(shù)與極限2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),10/11/202254函數(shù)與極限10/16/202255函數(shù)與極限10/11/202255函數(shù)與極限奇函數(shù),10/16/202256函數(shù)與極限奇函數(shù),10/11/202256函數(shù)與極限四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))10/16/202257函數(shù)與極限四、小結(jié)函數(shù)的分類:

13、函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮思考題10/16/202258函數(shù)與極限思考題10/11/202258函數(shù)與極限思考題解答不能10/16/202259函數(shù)與極限思考題解答不能10/11/202259函數(shù)與極限一、填空題:練 習 題10/16/202260函數(shù)與極限一、填空題:練 習 題10/11/202260函數(shù)與極10/16/202261函數(shù)與極限10/11/202261函數(shù)與極限練習題答案10/16/202262函數(shù)與極限練習題答案10/11/202262函數(shù)與極限10/16/202263函數(shù)與極限10/11/202263函數(shù)與極限10/16/202264函數(shù)與極限10/11/20

14、2264函數(shù)與極限“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放劉徽一、概念的引入10/16/202265函數(shù)與極限“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積10/16/202266函數(shù)與極限正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”10/16/202267函數(shù)與極限2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”10/11/2二、數(shù)列的定義例如10/16/202268函數(shù)與極限二、數(shù)列的定義例如10/11/202268函數(shù)與極限注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一

15、個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標函數(shù)10/16/202269函數(shù)與極限注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次播放三、數(shù)列的極限10/16/202270函數(shù)與極限播放三、數(shù)列的極限10/11/202270函數(shù)與極限問題:當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:10/16/202271函數(shù)與極限問題:當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定10/16/202272函數(shù)與極限10/11/202272函數(shù)與極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：10/16/

16、202273函數(shù)與極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：10/11/202幾何解釋:其中10/16/202274函數(shù)與極限幾何解釋:其中10/11/202274函數(shù)與極限數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：10/16/202275函數(shù)與極限數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：10/1例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.10/16/202276函數(shù)與極限例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)例3證10/16/202277函數(shù)與極限例3證10/11/202

17、277函數(shù)與極限例4證10/16/202278函數(shù)與極限例4證10/11/202278函數(shù)與極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界10/16/202279函數(shù)與極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界10/11/202定理1 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.10/16/202280函數(shù)與極限定理1 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收2.唯一性定理2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.10/16/202281函數(shù)與極限2.唯一性定理2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故例5證由定義

18、,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).10/16/202282函數(shù)與極限例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a10/16/202283函數(shù)與極限3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列10/11/2五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.10/16/202284函數(shù)與極限五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,思考題證明要使只要使從而由得取當 時，必有 成立10/16/202285函數(shù)與極

19、限思考題證明要使只要使從而由得取當 時思考題解答（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大” 的值10/16/202286函數(shù)與極限思考題解答（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒從而 時，僅有 成立，但不是 的充分條件反而縮小為10/16/202287函數(shù)與極限從而 練 習 題10/16/202288函數(shù)與極限練 習 題10/11/202288函數(shù)與極限“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入10/16/202289函數(shù)與極限“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而三、數(shù)列的極限1

20、0/16/202290函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202290函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202291函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202291函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202292函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202292函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202293函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202293函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202294函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202294函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202295函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202295函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202296函

21、數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202296函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202297函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202297函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202298函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202298函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/202299函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/202299函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/2022100函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/2022100函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/2022101函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/11/2022101函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限10/16/2022102函數(shù)與極限三、數(shù)

22、列的極限10/11/2022102函數(shù)與極限10/16/2022103函數(shù)與極限10/11/2022103函數(shù)與極限播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022104函數(shù)與極限播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/202210通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.10/16/2022105函數(shù)與極限通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接10/16/2022106函數(shù)與極限10/11/2022106函數(shù)與極限2.另兩種情形:10/16/2022107函數(shù)與極限2.另兩種情形:10/11/2022107函數(shù)與極限3.幾何解釋:

23、10/16/2022108函數(shù)與極限3.幾何解釋:10/11/2022108函數(shù)與極限例1證10/16/2022109函數(shù)與極限例1證10/11/2022109函數(shù)與極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限10/16/2022110函數(shù)與極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限10/11/2022110函10/16/2022111函數(shù)與極限10/11/2022111函數(shù)與極限2.幾何解釋:注意：10/16/2022112函數(shù)與極限2.幾何解釋:注意：10/11/2022112函數(shù)與極限例2證例3證10/16/2022113函數(shù)與極限例2證例3證10/11/2022113函數(shù)與極限例4證函數(shù)在點x=1處

24、沒有定義.10/16/2022114函數(shù)與極限例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.10/11/2022114函例5證10/16/2022115函數(shù)與極限例5證10/11/2022115函數(shù)與極限3.單側(cè)極限:例如,10/16/2022116函數(shù)與極限3.單側(cè)極限:例如,10/11/2022116函數(shù)與極限左極限右極限10/16/2022117函數(shù)與極限左極限右極限10/11/2022117函數(shù)與極限左右極限存在但不相等,例6證10/16/2022118函數(shù)與極限左右極限存在但不相等,例6證10/11/2022118函數(shù)與三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性10/16/2022119函數(shù)與極限三、

25、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性10/11/20221推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)10/16/2022120函數(shù)與極限推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)10/11/2022120函定理(保號性)推論10/16/2022121函數(shù)與極限定理(保號性)推論10/11/2022121函數(shù)與極限4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理10/16/2022122函數(shù)與極限4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理10/11證10/16/2022123函數(shù)與極限證10/11/2022123函數(shù)與極限例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等

26、.10/16/2022124函數(shù)與極限例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任例7證10/16/2022125函數(shù)與極限例7證10/11/2022125函數(shù)與極限二者不相等,10/16/2022126函數(shù)與極限二者不相等,10/11/2022126函數(shù)與極限四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)10/16/2022127函數(shù)與極限四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)10/11/202212過 程時 刻從此時刻以后 過 程時 刻從此時刻以后 10/16/2022128函數(shù)與極限過 程時 刻從此時刻以后 過 程時思考題10/16/2022129函數(shù)與極限思考題10/11/2022

27、129函數(shù)與極限思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.10/16/2022130函數(shù)與極限思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.10/11/202一、填空題:練 習 題10/16/2022131函數(shù)與極限一、填空題:練 習 題10/11/2022131函數(shù)與極10/16/2022132函數(shù)與極限10/11/2022132函數(shù)與極限練習題答案10/16/2022133函數(shù)與極限練習題答案10/11/2022133函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022134函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022134函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/1

28、6/2022135函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022135函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022136函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022136函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022137函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022137函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022138函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022138函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022139函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022139函

29、一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022140函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022140函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022141函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022141函一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/16/2022142函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限10/11/2022142函10/16/2022143函數(shù)與極限10/11/2022143函數(shù)與極限一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.10/16/2022144函數(shù)與極限一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.10/11/2例

30、如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).10/16/2022145函數(shù)與極限例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性10/16/2022146函數(shù)與極限2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性10/11/202意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證10/16/2022147函數(shù)與極限意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.10/16/2022

31、148函數(shù)與極限注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.10/11/202定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證10/16/2022149函數(shù)與極限定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證10/11/20推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小10/16/2022150函數(shù)與極限推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.10/16/2022151函數(shù)與極限二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.10/11/202特殊情形：正無窮

32、大，負無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.10/16/2022152函數(shù)與極限特殊情形：正無窮大，負無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很不是無窮大無界，10/16/2022153函數(shù)與極限不是無窮大無界，10/11/2022153函數(shù)與極限證10/16/2022154函數(shù)與極限證10/11/2022154函數(shù)與極限三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證10/16/2022155函數(shù)與極限三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)意義 關(guān)于無窮大

33、的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.10/16/2022156函數(shù)與極限意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.10/1四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.10/16/2022157函數(shù)與極限四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點思考題10/16/2022158函數(shù)與極限思考題10/11/2022158函數(shù)與極限思考題解答不能保證.例有10/

34、16/2022159函數(shù)與極限思考題解答不能保證.例有10/11/2022159函數(shù)與極限一、填空題:練 習 題10/16/2022160函數(shù)與極限一、填空題:練 習 題10/11/2022160函數(shù)與極10/16/2022161函數(shù)與極限10/11/2022161函數(shù)與極限練習題答案10/16/2022162函數(shù)與極限練習題答案10/11/2022162函數(shù)與極限10/16/2022163函數(shù)與極限10/11/2022163函數(shù)與極限一、極限運算法則定理證由無窮小運算法則,得10/16/2022164函數(shù)與極限一、極限運算法則定理證由無窮小運算法則,得10/11/20210/16/20221

35、65函數(shù)與極限10/11/2022165函數(shù)與極限推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，10/16/2022166函數(shù)與極限推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，10/11/二、求極限方法舉例例1解10/16/2022167函數(shù)與極限二、求極限方法舉例例1解10/11/2022167函數(shù)與極限小結(jié):10/16/2022168函數(shù)與極限小結(jié):10/11/2022168函數(shù)與極限解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例210/16/2022169函數(shù)與極限解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例210/11/2解例3(消去零因子法)10/16/2022170函數(shù)與極限解

36、例3(消去零因子法)10/11/2022170函數(shù)與極限例4解(無窮小因子分出法)10/16/2022171函數(shù)與極限例4解(無窮小因子分出法)10/11/2022171函數(shù)與極小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.10/16/2022172函數(shù)與極限小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以例5解先變形再求極限.10/16/2022173函數(shù)與極限例5解先變形再求極限.10/11/2022173函數(shù)與極限例6解10/16/2022174函數(shù)與極限例6解10/11/2022174函數(shù)與極限例7解左右極限存在且相等,10/16/2

37、022175函數(shù)與極限例7解左右極限存在且相等,10/11/2022175函數(shù)與極三、小結(jié)1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.10/16/2022176函數(shù)與極限三、小結(jié)1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多思考題 在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？10/16/2022177函數(shù)與極限思考題 在某個過程中，若 有思考題解答沒有極限假設 有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假

38、設錯誤10/16/2022178函數(shù)與極限思考題解答沒有極限假設 一、填空題:練 習 題10/16/2022179函數(shù)與極限一、填空題:練 習 題10/11/2022179函數(shù)與極二、求下列各極限:10/16/2022180函數(shù)與極限二、求下列各極限:10/11/2022180函數(shù)與極限10/16/2022181函數(shù)與極限10/11/2022181函數(shù)與極限練習題答案10/16/2022182函數(shù)與極限練習題答案10/11/2022182函數(shù)與極限10/16/2022183函數(shù)與極限10/11/2022183函數(shù)與極限一、無窮小的比較例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.

39、觀察各極限10/16/2022184函數(shù)與極限一、無窮小的比較例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”定義:10/16/2022185函數(shù)與極限定義:10/11/2022185函數(shù)與極限例1解例2解10/16/2022186函數(shù)與極限例1解例2解10/11/2022186函數(shù)與極限常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如,10/16/2022187函數(shù)與極限常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如,1二、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證10/16/2022188函數(shù)與極限二、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證10/11/2例3解不能濫用等價無

40、窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意10/16/2022189函數(shù)與極限例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替例4解解錯10/16/2022190函數(shù)與極限例4解解錯10/11/2022190函數(shù)與極限例5解10/16/2022191函數(shù)與極限例5解10/11/2022191函數(shù)與極限三、小結(jié)1.無窮小的比較:反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.10/16/2022192函數(shù)與極限三、小結(jié)1.無窮小的比較:反映

41、了同一過程中, 兩無窮小趨于思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？10/16/2022193函數(shù)與極限思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？10/11/202219思考題解答不能例當 時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當 時10/16/2022194函數(shù)與極限思考題解答不能例當 時都是練 習 題10/16/2022195函數(shù)與極限練 習 題10/11/2022195函數(shù)與極限10/16/2022196函數(shù)與極限10/11/2022196函數(shù)與極限10/16/2022197函數(shù)與極限10/11/2022197函數(shù)與極限練習題答案10/16/2022198函數(shù)與極限練習題答案10/11/202219

42、8函數(shù)與極限10/16/2022199函數(shù)與極限10/11/2022199函數(shù)與極限10/16/2022200函數(shù)與極限10/11/2022200函數(shù)與極限一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量10/16/2022201函數(shù)與極限一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量10/11/2022201函數(shù)2.連續(xù)的定義10/16/2022202函數(shù)與極限2.連續(xù)的定義10/11/2022202函數(shù)與極限10/16/2022203函數(shù)與極限10/11/2022203函數(shù)與極限例1證由定義2知10/16/2022204函數(shù)與極限例1證由定義2知10/11/2022204函數(shù)與極限3.單側(cè)連續(xù)定理10/16/2022205

43、函數(shù)與極限3.單側(cè)連續(xù)定理10/11/2022205函數(shù)與極限例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,10/16/2022206函數(shù)與極限例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,10/11/2022206函數(shù)與極4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,10/16/2022207函數(shù)與極限4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)例3證10/16/2022208函數(shù)與極限例3證10/11/2022208函數(shù)與極限二、函數(shù)的間斷點10/16/2022209函數(shù)與極限二、函數(shù)的間斷點10/11/2022

44、209函數(shù)與極限1.跳躍間斷點例4解10/16/2022210函數(shù)與極限1.跳躍間斷點例4解10/11/2022210函數(shù)與極限2.可去間斷點例510/16/2022211函數(shù)與極限2.可去間斷點例510/11/2022211函數(shù)與極限解注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.10/16/2022212函數(shù)與極限解注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點10/16/2022213函數(shù)與極限如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點103.第二類間斷點例6解10/16/202221

45、4函數(shù)與極限3.第二類間斷點例6解10/11/2022214函數(shù)與極限例7解注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.10/16/2022215函數(shù)與極限例7解注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.10/11狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù), 其余各點處處間斷.10/16/2022216函數(shù)與極限狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點類型:10/16/2022217函數(shù)與極限在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).判斷例8解10/16/2022

46、218函數(shù)與極限例8解10/11/2022218函數(shù)與極限三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)10/16/2022219函數(shù)與極限三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx10/16/2022220函數(shù)與極限可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyx思考題10/16/2022221函數(shù)與極限思考題10/11/2022221函數(shù)與極限思考題解答且10/16/2

47、022222函數(shù)與極限思考題解答且10/11/2022222函數(shù)與極限但反之不成立.例但10/16/2022223函數(shù)與極限但反之不成立.例但10/11/2022223函數(shù)與極限練 習 題10/16/2022224函數(shù)與極限練 習 題10/11/2022224函數(shù)與極限10/16/2022225函數(shù)與極限10/11/2022225函數(shù)與極限練習題答案10/16/2022226函數(shù)與極限練習題答案10/11/2022226函數(shù)與極限10/16/2022227函數(shù)與極限10/11/2022227函數(shù)與極限10/16/2022228函數(shù)與極限10/11/2022228函數(shù)與極限一、四則運算的連續(xù)性定

48、理1例如,10/16/2022229函數(shù)與極限一、四則運算的連續(xù)性定理1例如,10/11/2022229函二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).10/16/2022230函數(shù)與極限二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有定理3證10/16/2022231函數(shù)與極限定理3證10/11/2022231函數(shù)與極限將上兩步合起來:10/16/2022232函數(shù)與極限將上兩步合起來:10/11/2022232函數(shù)與極限意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解10/16/2022233函數(shù)與極限意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解10/11/202例2解同理可得10/16/2022234函數(shù)與極限例2解同理可得10/11/2022234函數(shù)與極限定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,10/16/2022235函數(shù)與極限定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,10/11/20三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.10/16/2022236函數(shù)與極限三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連定理5