微分方程靜態(tài)建模

1、關(guān)于微分方程靜態(tài)建模第1頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三穩(wěn)定性模型 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第2頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及 分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景第3頁，共46頁，2022年

2、，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三產(chǎn)量模型假設(shè) 無捕撈時(shí)魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r固有增長率, N最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場魚量第4頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0 微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法直接法(1)的近似線性方程第5頁，共46頁，20

3、22年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定, 漁場干枯E捕撈強(qiáng)度r固有增長率第6頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo) x0平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量產(chǎn)量最大f 與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半第7頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三效益模型假設(shè) 魚銷售價(jià)格p 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c 單位時(shí)間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大.

4、穩(wěn)定平衡點(diǎn)求E使R(E)最大漁場魚量收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cE第8頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三EsS(E)T(E)0rE捕撈過度 封閉式捕撈追求利潤R(E)最大 開放式捕撈只求利潤R(E) 0R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度) Es=2ER臨界強(qiáng)度下的漁場魚量捕撈過度ERE*令=0第9頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三6.2 軍備競賽 描述雙方(國家或國家集團(tuán))軍備競賽過程 解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備

5、增長的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。進(jìn)一步假設(shè) 1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的第10頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性x(t)甲方軍備數(shù)量， y(t)乙方軍備數(shù)量, 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方軍備競賽的潛力。t 時(shí)的x(t)，y(t)第11頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0) 代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定

6、平衡點(diǎn)記系數(shù)矩陣特征方程特征根第12頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性特征根平衡點(diǎn) P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p 0 且 q 0p 0 或 q kl 下 x(t), y(t)0, 即友好鄰國通過裁軍可達(dá)到永久和平。模型, 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方軍備競賽的潛力。第15頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三3）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí)x(t), y(t)很小，但因 ，也會(huì)重

7、整軍備。4）即使某時(shí)一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減, 如 x(t)=0， 也會(huì)因 使該方重整軍備， 即存在互不信任( ) 或固有爭端( ) 的單方面裁軍不會(huì)持久。模型的定性解釋, 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方軍備競賽的潛力。模型第16頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三6.3 種群的相互競爭 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 當(dāng)兩個(gè)種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時(shí)，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種

8、結(jié)局的條件。第17頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三模型假設(shè) 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律; 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比; 甲對(duì)乙有同樣的作用。對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1) 的 1 倍。對(duì)甲增長的阻滯作用，乙大于甲乙的競爭力強(qiáng)模型第18頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三模型分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10, x20) 代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)模型第19

9、頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三判斷P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定(對(duì)2,1)p 0 且 q 0平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定(對(duì)2,1)p 0 或 q 0第20頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三僅當(dāng)1, 2 1時(shí)，P3才有意義模型第21頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0第22頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平 衡點(diǎn)21,11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅

10、絕的平衡點(diǎn)P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn)11, 21P1穩(wěn)定的條件 11 ?1121, 11P1, P2都不(局部)穩(wěn)定0(3) 11, 21, 21, 21加上與(4)相區(qū)別的 11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第25頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1 倍。對(duì)甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱 P1穩(wěn)定的條件：1121 甲的競爭力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 P2穩(wěn)定的條件：11, 21 P3穩(wěn)定的條件：11, 21通常1 1/2，P3穩(wěn)定條件不滿足第26頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)

11、53分，星期三6.4 種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。第27頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三模型假設(shè) 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1 倍甲為乙提供

12、食物是乙消耗的2 倍第28頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)第29頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0 11, 121 P2穩(wěn)定第30頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三121 前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋21 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物是乙消耗的 2 倍11, 121條件下使121 成立 P2穩(wěn)定條件：11, 12 0P: 臨界狀態(tài) q 0P 不穩(wěn)定 第34頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)5

13、3分，星期三tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解xy 平面上的相軌線第35頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t), y(t)的周期

14、約為9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25, y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第36頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三 消去dt用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性c 由初始條件確定取指數(shù)第37頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無相軌線以下設(shè)第38頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三y2y1xQ

15、3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)相軌線退化為P點(diǎn) 存在x1x0 x2, 使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P中心第39頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三相軌線是封閉曲線x(t), y(t)是周期函數(shù)(周期記 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性第40頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三T2T3T4

16、T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”領(lǐng)先 y(t)模型解釋初值相軌線的方向第41頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三模型解釋r 食餌增長率d 捕食者死亡率b 食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者 數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba 捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比第42頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？rr-1, dd+1捕撈戰(zhàn)時(shí)捕撈rr-2, dd+2 , 2 1xy食餌(魚)減少，捕食者(鯊魚)增加自然環(huán)境 還表明：對(duì)害蟲(食餌)益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑, 會(huì)使害蟲增加，益蟲減少。第43頁，共46頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)53分，星期三食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn)Volterra模型改寫多數(shù)食餌捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn)加Logistic項(xiàng)有穩(wěn)定平衡點(diǎn)第44頁，