第三章第六節(jié)正弦定理和余弦定理

1、文檔編碼 : CL10K1W8T10W10 HL5V10B7T3Z8 ZF3O7N10B8P3授課提示：對應(yīng)同學(xué)用書第311 頁A 組基礎(chǔ)保分練 1（2022 遵義聯(lián)考） 在 ABC 中, 內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為sin A1,就 sin C 的值為（）B1 4A1 2C5 4D5 3a,b,c如 a 2ccos A, 5解析： 5sin A1,即 sin A5,又 a2ccos A,cos A a 2c0,cos A2 5 5由條件及正弦定理得 sin A2sin Ccos A,即 52 2 5 5 sin C,sin C1 4答案： B 2（2022 陽春一中月考）已知在ABC 中,

2、內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,cax,b2,B30,如三角形有兩個解,就 x 的取值范疇是（）A（2,）B（2,2 2）C（2,4）D（2,2 3）解析： 由于三角形有兩個解,所以 xsin Bbx,可得 2x4,即 x 的取值范疇是（2,4）答案： C 3設(shè) ABC 的內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為 的形狀為（）a,b,c如 bcos Cccos Basin A,就 ABCA銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析： 由于 bcos Cccos Basin A,所以由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A,所以 sin（BC） sin2A,又 si

3、n（ BC） sin A 且 sin A 0,所以 sin A1,所以 A 2,所以 ABC 為直角三角形答案： B 4（2022 承德期末測試） 設(shè) ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為a,b,c如 b 1,c6,cos C2 3,就 a（）A3 B4 C5 cos CD 6 a216,整理可得 （a3）（3a 5）0結(jié)解析：由余弦定理可得a2 b2 c2 2ab,即2 32a合 a0,可得 a 3答案： A 5（ 2022 江西上饒模擬 ）在 ABC 中,角 A, B,C 的對邊分別為a,b,c, ABC 的面積為 S,如 2S（ ab）2c2,就 tan C 的值是（）A4 3B3

4、4C4D334解析 ：由于 S1 2absin C,c2a2b2 2abcos C,所以由 2S（ ab）2c2,可得 absin C（ ab）2（ a2b22abcos C）,整理得 sin C2cos C2,所以（ sin C 2cos C）24,所以（sin C2cos C）24,sin 2Ccos 2Csin2C4cos2C4sin Ccos C 4,化簡得 3tan2C4tan C0,sin2Ccos 2C由于 C（0,）,所以 tan C4 3答案： C 6（ 2022 青島質(zhì)檢） 如圖,在ABC 中, D 是 AB 邊上的點(diǎn),且中意AD3BD, ADACBDBC2,CD2,就 c

5、os A（）A1B234C1D 0 4解析： 設(shè) BD x,就 AD3x,AC23x,BC2x,易知 cos ADC cosBDC,9x 22（ 2 3x）2由余弦定理可得22 3xx2 2（ 2x）222 x,解得 x1 3故 AD1,AC1,AD 2AC 2CD 2cos A2AD AC0答案： D 7在 ABC 中,內(nèi)角 A,B, C 的對邊分別為 a, b,c,且 acos Bcb 20,a27 2bc,bc,就b c_解析： 由 acos Bcb 20 及正弦定理可得sin Acos Bsin Csin B 20由于 sin C sin（AB）sin Acos Bcos Asin B

6、,所以sin B 2cos Asin B0,所以 cos A1 2,即 A2 3由余弦定理得a27 2bcb2c2bc,即 2b 25bc2c20,又 bc,所以b c2答案： 2 8在 ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為1 2b,就 B_解析： asin Bcos C csin Bcos A1 2b,sin Asin Bcos Csin Csin Bcos A1 2sin B又 sin B 0,sin Acos C sin Ccos A1 2,即 sin（AC） sin B1 20B,B 6或 56答案： 6或5a,b,c,且中意 asin Bcos Ccsin Bcos A9（2

7、022 高考全國卷 ） ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為a,b,c,已知 cos 22A cos A5 4（1）求 A；（2）bc3 a,證明：3ABC 是直角三角形解析：（1）由已知得 sin2Acos A54,1即 cos2Acos A402所以 cos A1 20,cos A1 2由于 0 A,故 A33 2（2）證明：由正弦定理及已知條件可得 sin Bsin C3 sin A由（ 1）知 BC3,所2 3 1 3 1 1 2以 sin Bsin 3B 3 sin 3即 2sin B2 cos B2,sin B32由于 0B3,故B2從而 ABC 是直角三角形10（2022 西

8、安質(zhì)檢） 在 ABC 中,角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,面積為 S,已知2acos 2C 22ccos2A 25 2b（1）求證： 2（ac） 3b；（2）如 cos B1,S15,求 b4解析：（1）證明：由已知得 a（1cos C） c（1cos A）5 2b在 ABC 中,過 B 作 BDAC,垂足為 D（圖略）,就 acos Cccos Ab所以 a c3 2b,即 2（ac） 3b（2）由于 cos B1 4,所以 sin B415由于 S1 2acsin B8 ac1515,所以 ac8又 b 2a 2c 22accos B（ ac）22ac（1cos B）,2（ac）

9、 3b,所以 b29b2 41611 4,所以 b4才能提升練 B 組1（ 2022 重慶六校聯(lián)考）在 ABC 中, cos2B 2ac 2c（a,b,c 分別為角 A,B,C 的對邊）,就 ABC 的形狀為（）A直角三角形 B等邊三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：已知等式變形得 cos B1a c1,即 cos Bac 由余弦定理得 cos Ba 2c2ac 2b 2,代入 得 a 2c2ac 2b 2a c,整理得 b2a2c2,即 C 為直角,就 ABC 為直角三角形答案： A 2（2022 萊陽一中月考）在 ABC 中,邊 a,b,c 分別是角 A,B,C 的對邊,且中

10、意 bcos C（ 3a c）cos B,如 BCBA 4,就 ac 的值為（）A12 B11 C10 D 9 解析： 在 ABC 中, bcos C（ 3a c）cos B,由正弦定理可得 sin Bcos C（ 3sin Asin C）cos B,3sin Acos B sin Ccos Bsin Bcos C,即 3sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C,即 3sin Acos Bsin（B C） sin A,又 sin A 0,故 cos B13由 BCBA4,可得 accos B4,即 ac12答案： A 3在 ABC 中,如 2cos Bsin Asin C,

11、就 ABC 的形狀是（）A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等邊三角形解析： 2cos Bsin Asin C,2 a 2c2ac 2b 22Ra2R,就 ab,所以 ABC 為等腰三角形c答案： C 4（ 2022 葫蘆島質(zhì)檢） 在 ABC 中, a,b,c 分別為角 A,B,C 的對邊,假如 a,b,c 成等差數(shù)列, B30, ABC 的面積為3 2,那么 b（）13A2 B13 23C2 D 23 解析： 由余弦定理得 b2a2c22accos B（ ac）22ac2accos B,又 S ABC1 2acsin B1 4ac3 2,故 ac 6,由于 a,b,c 成等差數(shù)列,

12、所以ac2b,可得 b24b2 126 3,整理得 b242 3,得 b13答案： B 5（ 2022 北京海淀區(qū)模擬）在銳角ABC 中,角 A,B 所對的邊分別為a,b,如 2asin B3b,就角 A_解析： 由于 2asin B3b,所以 2sin Asin B3sin B,由于 B（0,）,sin B 0,所以3 2 sin A2,所以 A3或 A3由于 ABC 為銳角三角形,所以 A3答案： 36在 ABC 中, A2B,AB7 3, BC4,CD 平分 ACB 交 AB 于點(diǎn) D,就線段AD 的長為_解析： 由于 A2B,BC 4,所以由正弦定理 sin BACsin A,得 BC

13、sin BACsin 2B42sin Bcos B,4所以 cos B2 AC,就 cos Acos 2B2cos 2B1AC 821在 ABC 中, ACcos ABCcos B8 2 7 16AB,即 ACAC21 4AC3,解得 AC3（舍去）或 AC3,由三角形的角平分AD AC AD 3線,得 BDBC,即 74,解得 AD 13AD答案： 1 7已知ABC 內(nèi)接于半徑為 R 的圓, a,b,c 分別是角 A,B,C 的對邊,且 2R（sin2Bsin 2 A）（ bc）sin C,c3（1）求 A；（2）如 AD 是 BC 邊上的中線, AD19,求 ABC 的面積bsin Bas

14、in Absin C2解析：（1）對于 2R（sin2Bsin 2 A）（ bc）sin C,由正弦定理得csin C,即 b2a2bcc2,所以 cos Ab 2 c 2a 21 2由于 0A 180 ,所以 A60 2bc（2）以 AB,AC 為鄰邊作平行四邊形ABEC,連接 DE,易知 A,D,E 三點(diǎn)共線在 ABE 中, ABE120 ,AE 2AD19,3bsin Aa（2在 ABE 中,由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120即 199AC22 3 AC1 2,得 AC2a,b,c,故 SABC1 2bcsin BAC33 28（ 2022 汕頭模擬） 在 ABC 中

15、,角 A,B,C 的對邊分別為cos B）（1）求角 B 的大?。唬?）D 為邊 AB 上一點(diǎn),且中意CD2,AC4,銳角三角形ACD 的面積為15,求 BC的長解析：（1）由正弦定理得 3sin Bsin Asin A（ 2cos B）,由于 A（0, ）,就 sin A0,所以 3sin B2cos B,所以 2sin B62,所以 sin B61,由于 B（0, ）,所以 B 6 2,解得 B 3（2）由題意,可得 S ACD1 2CDCAsinACD12 2 4sinACD15,15解得 sinACD 4又由于 ACD 為銳角三角形,所以 cos ACD1sin2ACD 1 422CA

16、CD cosACD 4 22 22 2 41 4在 ACD 中,由余弦定理得AD2CA2CD16,所以 AD 4在 ACD 中,由正弦定理得CD sin AAD sinACD,就 sin ACD ADsin ACD 15 8,創(chuàng)新應(yīng)用練 在 ABC 中,由正弦定理得sin A AC sin B,所以 BCACsin A sin B5C 組1如圖, 四邊形 ABCD 的對角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部,當(dāng) ABC 變化時, BD 的最大值為 _AB BC1,ACCD ,ACCD ,解析： 設(shè)ACB 02,就 ABC2,DCB 2,由余弦定理可知,AC 2AB 2BC 22ABBCcosABC,即 AC

17、DC 22cos 22cos 02,由余弦定理知,BD2BC2DC22BCDCcosDCB ,即 BD24cos212 1 2cos cos 22cos 22sin 232 2sin 243由 0 2,可得 42 4 5 4,就（ BD 2） max22 3,此時 8,因此（ BD） max21AD2,DC 1,答案：21 2（ 2022 云南師范高校附屬中學(xué)月考）在 ABC 中, D 為 AC 上一點(diǎn),且BD 為 ABC 的平分線,就ABC 面積的最大值為_解析： 如圖, BD 為ABC 的角平分線,且AD2,CD 1由角平分線定理知BCAD DC2,令 BCm,AB2m,由兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊知 1 m3在 ABC 中,由余弦定理知cosABC4m 2m 2 92 2m m5 49 4m 2,23,所以 S ABC1 22mmsinABCm21 cos 2 ABCm214 9 4m 229 4m 29 42 4m3（m 21）（ 9m 2）3m 219 m 2442當(dāng)且僅當(dāng) m2 19m2,即 m5時取等號,所以 ABC 面積的最大值為3答案： 3 3如圖,在平面四邊形ABCD 中,已知A2,B 2 3,AB6在