煙臺(tái)大學(xué)概率課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 隨機(jī)事件和樣本空間一、概率論的誕生及應(yīng)用三、隨機(jī)試驗(yàn)五、隨機(jī)事件的概念二、隨機(jī)現(xiàn)象 四、樣本空間 樣本點(diǎn)一、概率論的誕生及應(yīng)用1. 概率論的誕生干局，誰先贏 s 局就算贏, 當(dāng)賭徒A贏a局(a s), 概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.起源于十七世紀(jì)，當(dāng)時(shí)在誤差、人口統(tǒng)計(jì)、人壽保險(xiǎn)等范疇中，需整理和研究大量的隨機(jī)數(shù)據(jù)資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)，但當(dāng)時(shí)刺激數(shù)學(xué)家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題 . 數(shù)學(xué)家費(fèi)馬向帕斯卡提出下列的問題： “有兩個(gè)賭徒相約賭若了古典概率論的基礎(chǔ).而賭徒B贏b局(b s)時(shí), 賭博

2、中止, 那賭本如何分才合理?” 于是他們從不同的理由出發(fā),都給出了正確的解法，而在三年后,荷蘭的數(shù)學(xué)家惠根斯(1629-1695)亦用自己的方法解決了這一問題, 更寫成了論賭博中的計(jì)算一書, 此即概率論最早的論著, 在他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ? 首先都涉及了數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)這一概念，并由此奠定 在一定條件下可以準(zhǔn)確預(yù)言結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.也稱為必然現(xiàn)象. “在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下100度的水必定沸騰 ”;1.確定性現(xiàn)象 “恒定外力作用下，作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體仍然 作勻速直線運(yùn)動(dòng)”;“沒有外力作用下，向上拋一顆石子必然下落 ”;實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:

3、確定性現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象.二、隨機(jī)現(xiàn)象 在基本條件完全相同的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.2. 隨機(jī)現(xiàn)象 “函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)” 等.確定性現(xiàn)象的特征 條件完全決定結(jié)果.實(shí)例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.實(shí)例4 “從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為: 正品 、次品實(shí)例5 “過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6 “一只燈泡的壽命” 可長可短.實(shí)例7 出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實(shí)例8 明天的天氣可能是晴 , 也可能是多云或雨.隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果 個(gè)

4、別隨機(jī)現(xiàn)象： 原則上不能在相同條件下重 復(fù)出現(xiàn)（例6）.3. 隨機(jī)現(xiàn)象的分類 大量性隨機(jī)現(xiàn)象：在相同條件下可以重復(fù)出現(xiàn) （其他）. 1）可重復(fù)性：允許在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 2）隨機(jī)性： 每次試驗(yàn)的結(jié)果可能不會(huì)相同，2.定義 在概率論中, 把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).三、隨機(jī)試驗(yàn)1.問題的提出 如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；3）可觀察性： 能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.注 1 隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn), 是一個(gè)廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn), 也包括對(duì)客觀事物行的 “調(diào)查”、“觀察”、或 “測量” 等.實(shí)例 “拋擲一枚硬幣,觀

5、察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析 2隨機(jī)試驗(yàn)通常用 E 來表示.(1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面，反面;進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn). 故為隨機(jī)試驗(yàn).3. 記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人 數(shù).4. 考察某地區(qū) 10 月份的平均氣溫.5. 從一批燈泡中任取一只,測試其壽命. 1. 問題的提出2. 定義 隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間, 記為 . 樣本空間的元素 , 即試驗(yàn)E 的每一個(gè)(最簡單的不能再分解的)可能結(jié)果, 稱為樣本點(diǎn)， 記作.四、樣本空間 樣本點(diǎn) 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果怎么去表述？ 現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試

6、驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具.例1 1)觀將一枚硬幣連拋N次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間. 2) 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄 出現(xiàn)正品與次品的情況.4) 記錄某公共汽車站某日 上午某時(shí)刻的等車人數(shù).5) 考察某地區(qū) 12月份的平均 氣溫.6) 從一批燈泡中任取一只, 測試其壽命. 2 同一試驗(yàn) , 若試驗(yàn)?zāi)康牟煌? 則對(duì)應(yīng)的 樣本空 間也不同.如： 對(duì)于同一試驗(yàn): “將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面 H、反面 T 出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為注 1 試驗(yàn)不同, 對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同. 所以在具體問題的研究中

7、 , 描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間. 隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間 的子集稱為 E 的隨機(jī)事件, 簡稱事件. 2. 基本概念五、隨機(jī)事件的概念 如何描述滿足某些條件的樣本點(diǎn)?在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們往往會(huì)關(guān)心某個(gè)或某些結(jié)果是否會(huì)出現(xiàn). 這就是隨機(jī)事件.1. 問題的提出事件是概率論中最基本的概念,能將所關(guān)心的事件正確地表達(dá)出來是學(xué)習(xí)概率的基本要求.如： “出現(xiàn)1點(diǎn)”, “出現(xiàn)2點(diǎn)”, , “出現(xiàn)6點(diǎn)”.(1) 基本事件 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.(2) 復(fù)合事件 由若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的點(diǎn)集.如： “點(diǎn)數(shù)不大于4”, “點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” .3. 隨機(jī)事件的分類基本事件是不能再分解的事件。復(fù)合事件

8、是由基本事件組成的事件。如： 上述試驗(yàn)中 “點(diǎn)數(shù)不大于6” 就是必然事件.(1) 必然事件 隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果. 記為4. 兩個(gè)極端隨機(jī)事件必然事件是每次試驗(yàn)中都會(huì)發(fā)生的事件。所有確定性事件都是必然事件。如： 上述試驗(yàn)中 “點(diǎn)數(shù)大于6” 就是不可能事件.記為。(2) 不可能事件 隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果.必然事件的對(duì)立面是不可能事件, 不可能事件的對(duì)立面是必然事件,它們互稱為對(duì)立事件.4. 幾點(diǎn)說明1隨機(jī)事件可簡稱為事件, 并以大寫英文字母A, B, C, 來表示事件.例如 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). 可設(shè) A = 點(diǎn)數(shù)不大于4,B = 點(diǎn)數(shù)為奇數(shù) 等等.2隨機(jī)事件中只要有一個(gè)

9、樣本點(diǎn)發(fā)生，就稱為隨機(jī)事件發(fā)生.3隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間, 樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件不可能事件隨機(jī)事件基本事件 必然事件復(fù)合事件互為對(duì)立事件內(nèi)容小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1.條件不能完全決定結(jié)果.2. 隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.隨機(jī)試驗(yàn) 3. 隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系. (1) 允許在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; (2) 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有隨機(jī)性，試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)； (3)事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.思考問題：1. 樣本空間有什么性質(zhì)？ (1) 每次試驗(yàn)必有屬于樣本空間中的某個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生; (2

10、) 樣本空間中任意兩個(gè)不同的樣本點(diǎn)不會(huì)在同一次試驗(yàn)中發(fā)生。2. 如何判定在一次特定試驗(yàn)條件下事件A是否會(huì)發(fā)生？答案:例1-1 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.1) 記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百 分制記分).2) 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總 件數(shù).備用題實(shí)例 拋一枚骰子的試驗(yàn)中E, 觀察其出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。第2節(jié) 事件的關(guān)系和運(yùn)算在此試驗(yàn)中, = A1,A2, A3, A4, A5, A6。A1=“出現(xiàn)1點(diǎn)”, A2=“出現(xiàn)2點(diǎn)”, A3=“出現(xiàn)3點(diǎn)”, A4=“出現(xiàn)4點(diǎn)”, A5=“出現(xiàn)5點(diǎn)”, A6=“出現(xiàn)6點(diǎn)”都是基本事件；A7=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”, A8=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于3

11、點(diǎn)”等都是事件，但不是基本事件；A9=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件, A10=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能的事件, 1. 包含關(guān)系若事件 A 出現(xiàn), 必然導(dǎo)致 B 出現(xiàn) ,則稱事件 B 包含事件 A,記作Venn圖BA隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算 2. A等于B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件B 包含事件 A，則稱事件 A 與事件 B 相等，記作 A=B.3. 事件 A 與 B 的并(和事件)Venn圖 BA表示“事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生”表示“事件 中至少有一個(gè)發(fā)生”.表示“事件 中至少有一個(gè)發(fā)生”.Venn圖ABAB4. 事件 A 與 B 的交 (積事件)表示“事件A和B同時(shí)發(fā)生”和事件

12、與積事件的運(yùn)算性質(zhì)5. 事件 A 與 B 互不相容 (互斥) 若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn), B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A不出現(xiàn),則稱事件 A與B互不相容, 即實(shí)例 拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)正面” 與 “出現(xiàn)反面” 是互不相容的兩個(gè)事件.“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)” “骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”當(dāng)事件 A 與 B 互斥時(shí)，他們的和記為A +B.AB互斥實(shí)例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . A 與 B 互斥的Venn圖 設(shè) A 表示“事件 A 出現(xiàn)”, 則“事件 A 不出現(xiàn)”稱為事件 A 的對(duì)立事件或逆事件. 記作實(shí)例 “骰子出現(xiàn)1點(diǎn)” “骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示 A 與 B 的對(duì)立.B若 A 與 B 互逆,則有A

13、6. 事件 A 的對(duì)立（互逆）事件對(duì)立對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別ABABA、B 對(duì)立A、B 互斥互 斥對(duì) 立7. 事件 A 與 B 的差 由事件 A 出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件 A 與 B 的差. 記作 A- B.A 與 B 差的圖.ABAB事件間的運(yùn)算規(guī)律例1 設(shè)A,B,C 表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C 表示出來.(1) A 出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn);(5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn), C 不出現(xiàn);(3) 三個(gè)事件都出現(xiàn);(4) 三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn);(7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(8) 三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9) A, B 至少有一個(gè)出現(xiàn), C 不出現(xiàn);(10) A, B, C 中恰好有兩個(gè)出現(xiàn).解(11) 三個(gè)事件有一個(gè)出現(xiàn);(12) 三個(gè)事件恰有一個(gè)出現(xiàn);(1)沒有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品;(6)至多有一個(gè)是次品.解隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件必然事件不可能