第7章有限長(zhǎng)單位抽樣響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波波器的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)：可以利用用模擬濾濾波器的的設(shè)計(jì)結(jié)結(jié)果IIR數(shù)字濾波波器的缺缺點(diǎn)：非線性相相位若需線性性相位，要采用用全通網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行行相位校校正FIR數(shù)字濾波波器的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)：1）可以做做到嚴(yán)格格線性相相位2）可以具具有任意意的幅度度特性3）對(duì)一個(gè)個(gè)信號(hào)濾濾波，相相當(dāng)于可以用FFT計(jì)算4）總可以以用一個(gè)個(gè)因果系系統(tǒng)來(lái)實(shí)實(shí)現(xiàn)5） 無(wú)反反饋運(yùn)算算，運(yùn)算算誤差小小。FIR數(shù)字濾波波器的缺點(diǎn)1）不能用用模擬濾濾波器的設(shè)計(jì)方法，無(wú)無(wú)解析設(shè)設(shè)計(jì)公式式，要借助計(jì)算機(jī)輔輔助設(shè)計(jì)計(jì)；2）由于沒(méi)沒(méi)有極點(diǎn)點(diǎn)，同樣樣幅頻特性性，要獲得得較好的的過(guò)渡帶帶特性，需較高高的階數(shù)數(shù)

2、做為代代價(jià)。FIR濾波器的的設(shè)計(jì)方方法設(shè)計(jì)方法法：窗函數(shù)法法頻率采樣樣法切比雪夫夫等波紋紋逼近法法設(shè)計(jì)任務(wù)務(wù)：選擇有限限長(zhǎng)度的的脈沖響響應(yīng)h(n)，得到系系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H(z)，使幅頻頻特性滿滿足技術(shù)術(shù)指標(biāo)，同時(shí)使使相頻特特性達(dá)到到線性相相位。7.1線性相位位FIR數(shù)字濾波波器的特特性本節(jié)主要要介紹FIR濾波器具具有線性性相位的的條件及及幅度特特性以及及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)結(jié)構(gòu)的特特點(diǎn)。FIR濾波器的的單位沖沖激響應(yīng)應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)數(shù)：在z平面有N1個(gè)零點(diǎn)在z= 0處是N1階極點(diǎn)7.1.1.線性相位位的定義義FIR濾波器的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)幅度響應(yīng)（+， 實(shí)函數(shù)）幅度函數(shù)（可+可-， 實(shí)函數(shù)）相位函數(shù)線性相位

3、位是指()是的線性函函數(shù)滿足第一類線線性相位位第二類線線性相位位群延時(shí)為為常數(shù)7.1.2.線性相位位的條件件第一類線性相位成立的充分必要條件 第二類線性相位成立的充分必要條件 證明（第第一類線線性相位位條件）：充分性FIR濾波器的的系統(tǒng)函函數(shù)證明（第第一類線線性相位位條件）：z=ej證明（第第一類線線性相位位條件）：幅度函數(shù)數(shù)相位函數(shù)數(shù)嚴(yán)格的線線性相位位0證明（第第一類線線性相位位條件）：證明（第第一類線線性相位位條件）：必要性實(shí)部、虛虛部分別別相等兩式相除除關(guān)于奇對(duì)稱h(n)關(guān)于 偶對(duì)稱證明（第第一類線線性相位位條件）：通過(guò)類似似的推導(dǎo)導(dǎo)，可以以得到滿滿足第二二類線性性相位條條件的系系統(tǒng)函數(shù)

4、數(shù)頻率響應(yīng)應(yīng)函數(shù)函函數(shù)幅度函數(shù)數(shù)相位函數(shù)數(shù)廣義的線線性相位位0結(jié)論、第一類類線性相相位、第二類類線性相相位7.1.3線性相位位FIR濾波器幅幅度特性性1、h(n)為偶對(duì)稱稱，N為奇數(shù)關(guān)于偶對(duì)稱關(guān)于偶對(duì)稱以(N-1)/2為中心，把兩兩兩相等的的項(xiàng)進(jìn)行行合并2、h(n)為偶對(duì)稱稱，N為偶數(shù)n=1,2,3,N/2=時(shí)， ， H()對(duì)=呈奇對(duì)稱=0時(shí)， ， H()對(duì)=0呈偶對(duì)稱H()對(duì)=2呈偶對(duì)稱不適合設(shè)設(shè)計(jì)高通通濾波器器、帶阻阻濾波器器3、h(n)為奇對(duì)稱稱，N為奇數(shù)=0不適合低低通濾波波器、高高通濾波波器、帶帶阻濾波波器4、h(n)為奇對(duì)稱稱，N為偶數(shù)不適合于于低通濾濾波器、帶阻濾濾波器h(n)為

5、奇對(duì)稱稱時(shí)，有有90o相移，適適用于微微分器和和90o移相器，而選頻頻濾波器器采用h(n)為偶對(duì)稱稱結(jié)論：P267表7.1.1偶對(duì)稱：N為奇數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)呈呈偶對(duì)稱稱。N為偶數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)呈呈偶對(duì)稱稱。奇奇對(duì)稱：N為奇數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)呈呈奇奇對(duì)稱。N為偶數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)呈呈奇奇對(duì)稱。偶在處處，兩兩者完全全一樣在處處，當(dāng)當(dāng)N為奇數(shù)，兩者完完全一樣樣；偶數(shù)數(shù)相反對(duì)稱性與 在 處對(duì)稱性的比較7.1.4.線性相位位FIR濾波器的的零點(diǎn)分分布1、零點(diǎn)的分分布原則則若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則也是H(z)的零點(diǎn)h(n)為實(shí)序列列時(shí)線性相位位濾波器器的零點(diǎn)點(diǎn)是互為為倒數(shù)的的共軛對(duì)對(duì)即共軛軛成對(duì)且且鏡像成成對(duì)4種零點(diǎn)2、零點(diǎn)的

6、位位置1）零點(diǎn)zi既不在實(shí)實(shí)軸上，也不在在單位圓圓上4個(gè)零點(diǎn)成成對(duì)出現(xiàn)現(xiàn)2）零點(diǎn)zi不在實(shí)軸軸上，在在單位圓圓上2個(gè)零點(diǎn)成成對(duì)出現(xiàn)現(xiàn)存在共軛軛對(duì)，但但倒數(shù)是是其本身身3）零點(diǎn)zi在實(shí)軸上上，不在在單位圓圓上2個(gè)零點(diǎn)成成對(duì)出現(xiàn)現(xiàn)存在倒數(shù)數(shù)，但共共軛是其其本身4）零點(diǎn)zi在既實(shí)軸軸上，又又在單位位圓上4個(gè)互為倒倒數(shù)、共共軛的零零點(diǎn)合為為1點(diǎn)N為偶數(shù)時(shí)時(shí)的偶對(duì)對(duì)稱N為偶數(shù)時(shí)時(shí)的奇對(duì)對(duì)稱N為奇數(shù)時(shí)時(shí)的奇對(duì)對(duì)稱（1）四種FIR數(shù)字濾波波器的相相位特性性只取決決于h(n)的對(duì)稱性性，而與h(n)的值無(wú)關(guān)關(guān)；（2）幅度特特性取決決于h(n)的取值；（3）設(shè)計(jì)線線性相位位FIR濾波器時(shí)時(shí)，在保保證h(n)對(duì)稱

7、的條條件下，只要要完成幅幅度特性性的逼近近即可。7.2窗函數(shù)設(shè)設(shè)計(jì)法頻域給出出指標(biāo)給出理想想濾波器器的頻率率響應(yīng)設(shè)計(jì)FIR濾波器，求其頻頻率響應(yīng)應(yīng)逼近設(shè)計(jì)在時(shí)時(shí)域進(jìn)行行hd(n)無(wú)限長(zhǎng)，非因果果設(shè)計(jì)h(n)，有限長(zhǎng)長(zhǎng)，因果果逼近7.2.1設(shè)計(jì)方法法（以低低通濾波波器設(shè)計(jì)計(jì)為例）理想低通通濾波器器的頻響響100為群延時(shí)時(shí)單位抽樣樣響應(yīng)相位hd(n)偶對(duì)稱，對(duì)稱中中心hd(n)無(wú)限長(zhǎng)的的非因果果序列設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)窗函數(shù)先選取最最簡(jiǎn)單的的窗函數(shù)數(shù)按第一類線性相位條件，得7.2.2加窗處理理對(duì)頻譜譜性能的的影響理想低通通濾波器器的頻響響矩形窗的的頻響主瓣寬度度線性相位位幅度函

8、數(shù)數(shù)窗函數(shù)的的頻率特特性WR(ej)決定了H(ej)對(duì)Hd(ej)的逼近程程度。幅度函數(shù)數(shù)相位函數(shù)數(shù)一般情況況正肩峰負(fù)肩峰加窗函數(shù)數(shù)的影響響：形成過(guò)渡渡帶Hd(ej)在截止頻頻率處有有陡峭的的邊沿H()在截止頻頻率處連連續(xù)曲線線邊沿加寬寬，形成成過(guò)渡帶帶窗頻譜的的主瓣越越寬，過(guò)過(guò)渡帶也也越寬。過(guò)渡帶：正肩峰峰與負(fù)肩肩峰的間間隔過(guò)渡帶寬寬=窗頻譜WR(ej)主瓣寬度度正、負(fù)肩肩峰位置置截止頻率率兩側(cè)窗譜函數(shù)數(shù)旁瓣多多起伏振蕩蕩多窗譜函數(shù)數(shù)旁瓣相相對(duì)幅度度大起伏振蕩蕩幅度大大H()形成正、負(fù)肩峰峰，肩峰峰兩側(cè)形形成起伏伏振蕩改變N只能改變變窗譜的的主瓣寬寬度，但但不能改改變主瓣瓣與旁瓣瓣的相對(duì)對(duì)比

9、例。其相對(duì)對(duì)比例由由窗函數(shù)數(shù)形狀決決定。主瓣幅度度增加，旁瓣幅幅度也增增加吉布斯效應(yīng)：（截?cái)嘈?yīng)）在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰為8.95%，N 增加時(shí)， 減小，故起伏變密，而最大相對(duì)肩峰卻總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。肩峰值的的大小，直接影影響通帶帶特性和和阻帶衰衰減。h(n)代替hd(n)引起的誤誤差，在在頻域上上表現(xiàn)為為圖7.2.4增大增大N對(duì)矩形窗窗幅度特特的影響響引出原因因：矩形窗阻阻帶最小小衰減在工程上上，衰減減量不夠夠要加大阻阻帶衰減減，需要要改善窗窗口函數(shù)數(shù)形狀改善窗口口函數(shù)形形狀的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)不不僅起到到截?cái)嘧髯饔?，還還能起到到平滑作作用。7.2.3幾種典型型的窗函函

10、數(shù)窗函數(shù)的的要求：（1）窗譜主主瓣盡可可能窄以以獲得較較陡的過(guò)過(guò)渡帶（2）盡量減減少窗譜譜最大旁旁瓣的相相對(duì)幅度度，以減減小肩峰峰和波紋紋（1）最大旁旁瓣峰值值（dB）。（2）主瓣寬寬度，窗函函數(shù)頻譜譜的主瓣瓣寬度。（3）過(guò)度帶帶寬，窗函數(shù)數(shù)設(shè)計(jì)得得到FIR濾波器的的過(guò)度帶帶寬，即即通帶截截止頻率率與阻帶帶截止頻頻率之差差。（4）阻帶最最小衰減減（dB）。窗函函數(shù)設(shè)計(jì)計(jì)得到FIR濾波器的的阻帶最最小衰減減。窗函數(shù)參參數(shù)：1.矩形窗(Rectangle Window) 傅里葉變變換幅度函數(shù)數(shù)主瓣寬度最窄：旁瓣幅度度大矩形窗及及加窗處處理后波波器波形形頻率響應(yīng)應(yīng)2.三角形窗窗(BartlettWi

11、ndow)主瓣寬度寬：旁瓣幅度度較小利用歐拉拉公式3.漢寧(Hanning)窗升余弦窗窗利用DTFT的頻移特特性幅度函數(shù)數(shù)三部分矩矩形窗頻頻譜相加加，使旁旁瓣互相相抵消，能量集集中在主主瓣，旁旁瓣大大大減小，主瓣寬寬度增加加1倍。主瓣寬度寬：旁瓣幅度度小4.漢明(Hamming)窗改進(jìn)的升升余弦窗窗幅度函數(shù)數(shù)主瓣寬度寬：旁瓣幅度度更小5.布萊克曼曼(Blackman)窗在升余弦弦窗的定定義式中中再加上上一個(gè)二二次諧波波的余弦弦分量得得到的，故又稱稱二階升升余弦窗窗?？蛇M(jìn)進(jìn)一步抑抑制旁瓣瓣的效果果幅度函數(shù)數(shù)主瓣寬度最寬：旁瓣幅度度最小6.凱塞貝塞爾窗窗(Kaiser-Basel Window)前

12、面介紹紹的窗函函數(shù)統(tǒng)都都是固定定窗，即即用每種種窗函數(shù)數(shù)設(shè)計(jì)的的濾波器器的阻帶帶最小衰衰減是固固定不變變的，而而且都是是以犧牲牲主瓣寬寬度來(lái)?yè)Q換取對(duì)旁旁瓣的抑抑制的，這兩個(gè)個(gè)指標(biāo)不不能同時(shí)時(shí)兼顧。而凱塞塞窗是一一種可調(diào)調(diào)整的窗窗函數(shù)，可以實(shí)實(shí)現(xiàn)以同同一種窗窗函數(shù)類類型來(lái)滿滿足不同同性能需需求的目目的。在在相同的的性能指指標(biāo)下，通過(guò)調(diào)調(diào)整控制制參數(shù)可可以達(dá)到到不同的的阻帶最最小衰減減，同時(shí)時(shí)可以保保證最小小的主瓣瓣寬度，即有最最陡峭的的過(guò)渡帶帶，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)在主瓣瓣寬度和和旁瓣峰峰值之間間的平衡衡。反之之，給定定指標(biāo)，凱塞窗窗可以使使濾波器器的階數(shù)數(shù)最小。因此，凱塞窗窗是一種種近似最最佳的窗窗函數(shù)。是

13、一個(gè)可選參數(shù)，用來(lái)選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說(shuō)來(lái)， 越大,過(guò)渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。I0()是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。一般取1525項(xiàng)就可滿足精度要求。參數(shù)可以以控制窗窗的形狀狀。一般般加大，主主瓣加寬寬，旁瓣瓣幅度減減小，典典型數(shù)據(jù)據(jù)為49。當(dāng)=5.44時(shí)，窗函函數(shù)接近近哈明窗窗。=7.865時(shí)，窗函函數(shù)接近近布萊克克曼窗。圖7.2.13凱塞窗波波形（N=21）圖7.2.14參數(shù)變化化時(shí)凱塞塞窗的傅傅里葉變變換表7.2.1對(duì)濾波器器性能的的影響若阻帶最最小衰減減表示為為st，的確定可可采用下下述經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公式7.2.4窗函數(shù)設(shè)設(shè)計(jì)法總總結(jié)(1)確定所希希望設(shè)計(jì)計(jì)濾波器器的

14、hd(n)一般以理理想線性性相位濾濾波器作作為逼近近函數(shù)來(lái)來(lái)求hd(n)，即設(shè)Hd(ej)為理想線線性相位位濾波器器，那么么單位取取樣響應(yīng)應(yīng)用下式式求出：求解過(guò)程程中涉及及Hd(ej)的截止頻頻率(2)根據(jù)對(duì)過(guò)過(guò)渡帶及及阻帶衰衰減的要要求，選選擇窗函函數(shù)的形形式，并并估計(jì)窗窗口長(zhǎng)度度N。一般原則則是在滿滿足阻帶帶最小衰衰減的要要求下，盡量選選擇主瓣瓣窄的窗窗函數(shù)。(3)計(jì)算濾波波器的單單位取樣樣響應(yīng)h(n)，h(n) =hd(n)w(n)(4)驗(yàn)算技術(shù)術(shù)指標(biāo)是是否滿足足要求。低通濾波波器的設(shè)設(shè)計(jì)例7.3.1利用窗函函數(shù)法設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)FIR低通濾波波器，要要求：通通帶截止止頻率p=0.3，阻帶截

15、截止頻率率st=0.5，阻帶最最小衰減減st50dB。解：（1）以理想線線性相位位低通濾濾波器作作為逼近近濾波器器，即單位抽樣樣響應(yīng)為為理想低通通濾波器器的截止止頻率c為為了保證證線性相相位（2）依據(jù)阻阻帶最小小衰減指指標(biāo)選擇擇窗函數(shù)數(shù)類型。因?yàn)橐髎t50dB，查表7.2.1可以看出出漢明窗窗、布萊萊克曼窗窗等都滿滿足要求求。但由由于漢明明窗的主主瓣最窄窄，因而而我們選選擇漢明明窗，其其表達(dá)式式為由過(guò)渡帶帶寬確定定窗的長(zhǎng)長(zhǎng)度N。設(shè)計(jì)所所要求的的過(guò)渡帶帶寬為漢明窗的的帶寬為為（3）確定所所設(shè)計(jì)濾濾波器h(n)。依據(jù)所所選窗函函數(shù)，得得到單位位抽樣響響應(yīng)為（4）由h(n)求出H(ej)，以便驗(yàn)

16、驗(yàn)證設(shè)計(jì)計(jì)結(jié)果是是否滿足足要求。例7.3.2利用窗函函數(shù)法設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)FIR低通濾波波器，所所希望的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)為若長(zhǎng)度N=21，觀察加加不同窗窗函數(shù)后后濾波器器幅度特特性的變變化。解：若選擇矩矩形窗函函數(shù)，則則有若選擇漢漢寧窗函函數(shù)，則則有矩形窗設(shè)設(shè)計(jì)的FIR濾波器幅幅度特性性；漢寧窗設(shè)設(shè)計(jì)的FIR濾波器幅幅度特性性例7.3.3利用凱塞塞窗設(shè)計(jì)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波波器，要要求：通通帶截止止頻率p=0.4，阻帶截截止頻率率st=0.6，阻帶最最小衰減減st60dB。解：（1）確定凱塞塞窗的參參數(shù)和N。取N=38（2）確定理理想低通通濾波器器的截止止頻率c（3）求解hd(n)。（4）確定所

17、所設(shè)計(jì)濾濾波器h(n)。例2設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)線性相相位FIR低通濾波波器，給定抽樣樣頻率為為通帶截止止頻率為為阻帶起始始頻率為為阻帶衰減減不小于于-50dB。解：1）求數(shù)字字頻率2）求hd(n)3）選擇窗函數(shù)：由 確定漢明窗4）確定N值5）確定FIR濾波器的的h(n)6）求 ，驗(yàn)證若不滿足足，則改改變N或窗形狀狀重新設(shè)設(shè)計(jì)1、線性相相位FIR高通濾波波器的設(shè)設(shè)計(jì)理想線性性相位高高通濾波波器的頻頻率響應(yīng)應(yīng)函數(shù)為為單位抽樣樣響應(yīng)為為高通濾波波器的長(zhǎng)長(zhǎng)度N只能取奇奇數(shù)例7.3.4利用漢明明窗設(shè)計(jì)計(jì)一個(gè)FIR高通濾波波器，所所希望的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)為取長(zhǎng)度N=31。解：選擇漢明明窗函數(shù)數(shù)，則2、線性相相位

18、FIR帶通濾波波器的設(shè)設(shè)計(jì)理想帶通通的頻響響其單位抽抽樣響應(yīng)應(yīng)：例7.3.5利用漢寧寧窗設(shè)計(jì)計(jì)一個(gè)FIR帶通濾波波器，所所希望的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)為取長(zhǎng)度N=31。解：所設(shè)計(jì)帶帶通濾波波器的單單位抽樣樣響應(yīng)為為3、線性相相位FIR帶阻濾波波器的設(shè)設(shè)計(jì)理想帶阻阻的頻響響：其單位抽抽樣響應(yīng)應(yīng)：例7.3.6利用矩形形窗設(shè)計(jì)計(jì)一個(gè)FIR帶阻濾波波器，所所希望的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)為取長(zhǎng)度N=31。解：所設(shè)計(jì)帶帶阻濾波波器的單單位抽樣樣響應(yīng)為為7.4頻率抽樣樣設(shè)計(jì)法法頻率抽樣樣設(shè)計(jì)法法則是在在頻域內(nèi)內(nèi)，以有有限個(gè)頻頻率響應(yīng)應(yīng)抽樣，去近似似所希望望的理想想頻率響響應(yīng)Hd(ej)的設(shè)計(jì)方方法。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：對(duì)

19、于一個(gè)個(gè)長(zhǎng)度為為N的序列h(n)，若知道道其頻域域的N個(gè)抽樣值值H(k)，則h(n)就可以由由H(k)唯一地確確定。同同時(shí)，也也就可以以獲得其其系統(tǒng)函函數(shù)H(z)或頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)H(ej)。設(shè)所希望望得到的的頻率響響應(yīng)為Hd(ej)（一般為為理想頻頻率響應(yīng)應(yīng)），在在頻域的的=02之間對(duì)其其等間隔隔抽樣N點(diǎn)（或?qū)?duì)Hd(z)在單位圓圓上進(jìn)行行等間隔隔抽樣），得到到個(gè)抽樣值值為7.4.1設(shè)計(jì)的基基本思想想則重構(gòu)系統(tǒng)統(tǒng)函數(shù)H(z)(7.4.1)將z=ej代入H(z)表達(dá)式可可得式中，內(nèi)內(nèi)插函數(shù)數(shù)(7.4.2)從式（7.4.2）可以看看出，在在個(gè)頻率率抽樣點(diǎn)點(diǎn)上，濾濾波器的的實(shí)際頻頻率響應(yīng)應(yīng)時(shí)嚴(yán)格格

20、和理想想頻率響響應(yīng)數(shù)值值相等，但是在在抽樣點(diǎn)點(diǎn)之間的的頻率響響應(yīng)則是是個(gè)抽樣樣點(diǎn)的加加權(quán)內(nèi)插插函數(shù)的的延伸疊疊加而形形成的，因而有有一定的的逼近誤誤差，誤誤差大小小取決于于理想頻頻率響應(yīng)應(yīng)的曲線線形狀，理想頻頻率響應(yīng)應(yīng)特性變變化越平平緩，則則內(nèi)插越越接近理理想值，逼近誤誤差越小??；反之之，如果果抽樣點(diǎn)點(diǎn)之間的的理想頻頻率響應(yīng)應(yīng)變化越越陡，則則內(nèi)插與與理想值值之間誤誤差就越越大。抽樣點(diǎn)上上，頻率率響應(yīng)嚴(yán)嚴(yán)格相等等抽樣點(diǎn)之之間，加加權(quán)內(nèi)插插函數(shù)的的延伸疊疊加變化越平平緩，內(nèi)內(nèi)插越接接近理想想值，逼逼近誤差差較小7.4.2H(k)滿足的條條件關(guān)于線性性相位FIR濾波器的的時(shí)域、頻域特特性，我我們已經(jīng)

21、經(jīng)將其歸歸納于表表7.1.1中。下面面將以該該表內(nèi)容容為依據(jù)據(jù)，討論論當(dāng)H(k)的幅度和和相位滿滿足什么么條件時(shí)時(shí)，才能能使所設(shè)設(shè)計(jì)的FIR濾波器具具有線性性相位。為了討論論方便，將所設(shè)設(shè)計(jì)濾波波器的H(ej)、H(k)分別表示示成以下下形式：(7.4.3)(7.4.4)比較上述述兩式，可知下下述關(guān)系系成立：(7.4.5)(7.4.6)從表7.1.1中看到，此時(shí)幅幅度函數(shù)數(shù)關(guān)于=偶對(duì)稱，即則即相位抽樣樣(k)1）h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)(7.4.7)(7.4.8)此時(shí)幅度度函數(shù)關(guān)關(guān)于=奇對(duì)稱，即即相位抽樣樣(k)2）h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)3）h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)3）h(n)奇對(duì)稱，N為偶

22、數(shù)7.4.3設(shè)計(jì)公式式頻率抽樣樣的兩種種方法1）第一種種頻率抽抽樣系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應(yīng)：2）第二種種頻率抽抽樣系統(tǒng)函數(shù)數(shù)：頻率響應(yīng)應(yīng)：線性相位位第一種種頻率抽抽樣依據(jù)式（7.4.8）而當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)時(shí)，N-1為偶數(shù)，由于，則可取取當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)時(shí)，為N-1奇數(shù)，由由于，則可取取但此時(shí)A(k)=-A(N-k)，則所以此時(shí)時(shí)可以將將幅度抽抽樣和相相位抽樣樣改寫(xiě)為為綜合上述述分析過(guò)過(guò)程，可可得到如如下設(shè)計(jì)計(jì)公式：（1）N為奇數(shù)（2）N為偶數(shù)(7.4.9)(7.4.10)例如：設(shè)設(shè)計(jì)所希希望的濾濾波器是是理想低低通濾波波器，要要求截止止頻率為為c，抽樣點(diǎn)點(diǎn)數(shù)N為奇數(shù)，則A(k)、(k)可以下列列公式計(jì)計(jì)算：

23、kc為小于或或等于的的最大整整數(shù)。7.4.4逼近誤差差1、逼近誤誤差的特特點(diǎn)例7.4.1用頻率抽抽樣法設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)具有第第一類線線性相位位FIR低通濾波波器，要要求截止止頻率c=0.4，繪制出出當(dāng)頻域域抽樣點(diǎn)點(diǎn)數(shù)分別為15、65時(shí)的設(shè)計(jì)計(jì)結(jié)果波波形，并并分析逼逼近誤差差的特點(diǎn)點(diǎn)。解：以理理想低通通濾波器器作為希希望逼近近的濾波波器，則則頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)為（1）對(duì)Hd(ej)進(jìn)行抽樣樣。先計(jì)計(jì)算在通通帶內(nèi)的的抽樣點(diǎn)點(diǎn)數(shù)kc+1（=0）。依據(jù)據(jù)所要求求的截止止頻率，得則接下來(lái)，從=0開(kāi)始對(duì)Hd(ej)在=02抽樣15點(diǎn)，得到到幅度抽抽樣A(k)，如圖7.4.1(a)所示。圖7.4.1例7.4.1波

24、形因?yàn)镹為奇數(shù)，所以依依據(jù)式(7.4.9)的設(shè)計(jì)公公式，此此時(shí)相位位抽樣為為由此得頻頻率抽樣樣H(k)為（2）求解h(n)（3）求解設(shè)設(shè)計(jì)所得得濾波器器的頻率率響應(yīng)H(ej)由于A(k)=A(N-k)，(k)=-(N-1)k/N，所以滿滿足線性性相位條條件。當(dāng)N=65時(shí)，幅度度響應(yīng)如如圖7.4.2所示，為為了便于于比較，與N=15的曲線繪繪制在一一起。其其中，由由黑圓點(diǎn)點(diǎn)所描述述的曲線線是N=65時(shí)繪制出出的波形，空空心圓表表示N=15時(shí)的波形。由上圖看看出，抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N越大，Hd()平坦區(qū)域域的誤差差越小，過(guò)渡帶帶也越窄窄，通帶帶與阻帶帶的波紋紋變化越越快。本本例中當(dāng)當(dāng)N=15時(shí)，阻帶帶最

25、小衰衰減st約為15.2dB,當(dāng)N=65時(shí)，st約為16.6dB,可見(jiàn)N的增大對(duì)對(duì)阻帶的的最小衰衰減并無(wú)無(wú)明顯改改善。2逼近誤誤差產(chǎn)生生的原因因(頻域和時(shí)時(shí)域）頻域：從從式（7.4.2）可以看看出，H(ej)在各頻率率抽樣點(diǎn)點(diǎn)上等于于本抽樣樣點(diǎn)出的的H(k)，但是在在抽樣點(diǎn)點(diǎn)之間則則由各抽抽樣值H(k)乘以相應(yīng)應(yīng)的內(nèi)插插函數(shù)延延伸疊加加而成。這樣，在各抽抽樣點(diǎn)處處，二者者的逼近近誤差為為零；而而在各抽抽樣頻率率點(diǎn)之間間存在逼逼近誤差差，誤差差大小取取決于理理想頻率率響應(yīng)的的曲線形形狀和N的大小。時(shí)域：依據(jù)頻域域抽樣知知識(shí)若Hd(ej)是分段的的，則hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)長(zhǎng)的。這這樣，hd(n)在周

26、期延延拓時(shí)，就會(huì)產(chǎn)產(chǎn)生時(shí)域域混疊，從而使使所設(shè)計(jì)計(jì)的h(n)與所希望望的hd(n)之間出現(xiàn)現(xiàn)偏差。同時(shí)，頻域抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N越大，h(n)越接近于于hd(n)。3減小逼逼近誤差差的措施施1）增加過(guò)過(guò)渡帶抽抽樣點(diǎn)加大過(guò)渡渡帶寬，即在不不連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)的邊緣緣增加值值為0到1之間（不不包含0和1）的過(guò)渡渡帶抽樣樣點(diǎn)，可可以緩和和階躍突突變，使使所希望望的幅度度特性Hd()由通帶比比較平滑滑的過(guò)渡渡到阻帶帶，從而而使波紋紋幅度大大大減小小，同時(shí)時(shí)阻帶衰衰減也得得到改善善，如圖圖7.4.3所示。圖7.4.3增加過(guò)渡渡帶抽樣樣示意圖圖注意：這這時(shí)總抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N并未改變變，只是是將原來(lái)來(lái)為零的的幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)改為非非

27、零點(diǎn)增加過(guò)渡渡帶抽樣樣點(diǎn)，可可加大阻阻帶衰減減，一般般取過(guò)渡渡帶的抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)為13點(diǎn)即可得得到滿意意的效果果。不加過(guò)渡抽樣點(diǎn)：加一點(diǎn)：加兩點(diǎn)：加三點(diǎn)：2）增大抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N如果在要要求減小小波紋幅幅度、加加大阻帶帶衰減的的同時(shí)，又要求求不能增增加過(guò)渡渡帶寬，則可以以增大抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N。增加N，使抽樣樣點(diǎn)變密密，減小小過(guò)渡帶帶寬度，但增加加了計(jì)算算量?jī)?yōu)點(diǎn)：頻頻域直接接設(shè)計(jì)缺點(diǎn)：抽抽樣頻率率只能是是或或的的整數(shù)數(shù)倍，截截止頻率率c不能任意意取值。(7.4.11)7.4.5設(shè)計(jì)步驟驟及舉例例（1）確定過(guò)過(guò)渡帶抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)m。依據(jù)給給定的st，結(jié)合表表7.4.1確定。（2）估算抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N。依據(jù)給

28、給定的過(guò)過(guò)渡帶寬寬B，利用式（7.4.11）來(lái)確定定。（3）確定所所希望逼逼近的頻頻率響應(yīng)應(yīng)函數(shù)Hd(ej)。一般選選擇Hd(ej)為理想頻頻率響應(yīng)應(yīng)，注意意應(yīng)確保保相位()為線性相相位，而而要Hd()滿足線性性相位要要求。（4）對(duì)Hd(ej)進(jìn)行頻域域抽樣，得到H(k)。首先確確定在通通帶內(nèi)的的抽樣點(diǎn)點(diǎn)數(shù)kc+1（=0）;然后進(jìn)行行抽樣，并加入入過(guò)渡帶帶抽樣點(diǎn)點(diǎn)。（5）求解所所設(shè)計(jì)濾濾波器單單位抽樣樣響應(yīng)h(n)。對(duì)H(k)做N點(diǎn)離散傅傅里葉反反變換即即得，即即（6）設(shè)計(jì)結(jié)結(jié)果驗(yàn)證證。例7.4.2運(yùn)用頻率率抽樣法法設(shè)計(jì)一一個(gè)FIR低通數(shù)字字濾波器器，要求求截止頻頻率c=0.4，阻帶最最小衰減

29、減st40dB，過(guò)渡帶帶寬B 0.1，所設(shè)計(jì)計(jì)的濾波波器應(yīng)具具有第一一類線性性相位。解：（1）確定需增增加的過(guò)過(guò)渡帶抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)m根據(jù)所要要求的st，由表7.4.1看出，當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，滿足足st40dB的要求。（2）估算頻頻域抽樣樣點(diǎn)數(shù)，依據(jù)式式(7.4.11)，得留一點(diǎn)的的裕量，取N=41（3）構(gòu)造所所希望的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)。依據(jù)據(jù)題意選選擇以下下理想函函數(shù)：（4）頻域抽抽樣，求求得H(k)先求kc，依據(jù)所所要求的的截止頻頻率，得得所以在通通帶內(nèi)抽抽樣9點(diǎn)（=0）此題是h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)的的情況。所以從從=0開(kāi)始對(duì)Hd()在=02內(nèi)抽樣41點(diǎn)，得到到幅度抽抽樣A(k)在A(k)原為零

30、的的k=9、32處加入值值為0.38的過(guò)渡帶帶抽樣點(diǎn)點(diǎn)，即A(9)=A(32)=0.38，則又依據(jù)式式(7.4.9)得到相位位抽樣(k)為由此得到到頻率抽抽樣（5）求解h(n)。對(duì)H(k)做41點(diǎn)離散傅傅里葉反反變換即即得，即即（6）分析所所設(shè)計(jì)濾濾波器的的頻域性性能。將H(k)表達(dá)式帶帶入內(nèi)插插公式（7.4.2）化簡(jiǎn)，得依據(jù)上式式分析濾濾波器的的性能，從而驗(yàn)驗(yàn)證設(shè)計(jì)計(jì)結(jié)果是是否滿足足指標(biāo)要要求。設(shè)設(shè)計(jì)過(guò)程程及結(jié)果果波形如如圖7.4.4所示。圖7.4.4例7.4.2波形阻帶衰減減：-42.2dB例：利用用頻率抽抽樣法設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)頻率特特性為矩矩形的理理想低通通濾波器器，截止止頻率為為0.5，抽

31、樣點(diǎn)點(diǎn)數(shù)為N=33，要求濾濾波器具具有線性性相位。解：理想想低通頻頻率特性性按第一種種頻率抽抽樣方式式，N=33，得得線性相相位FIR濾波器的的頻率響響應(yīng)：過(guò)渡帶寬：阻帶衰減減：-20dB增加一點(diǎn)點(diǎn)過(guò)渡帶帶抽樣點(diǎn)點(diǎn)，令H(9)=0.5過(guò)渡帶寬：阻帶衰減減：-40dB增加兩點(diǎn)點(diǎn)過(guò)渡帶帶抽樣點(diǎn)點(diǎn)，且增加抽抽樣點(diǎn)數(shù)數(shù)為N=65，令H(17)=0.5886H(18)=0.1065過(guò)渡帶寬：阻帶衰減減：-60dB窗函數(shù)設(shè)設(shè)計(jì)法和和頻率抽抽樣設(shè)計(jì)計(jì)法的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單直觀觀、易于于實(shí)現(xiàn)。但同時(shí)時(shí)二者存存在以下下不足：所設(shè)計(jì)計(jì)濾波器器的通帶帶和阻帶帶的截止止頻率不不易精確確控制；通帶和和阻帶內(nèi)內(nèi)的波紋紋幅度不

32、不能分開(kāi)開(kāi)控制；由于所所設(shè)計(jì)的的濾波器器一般在在阻帶的的截止頻頻率附近近剛好滿滿足衰減減要求，而在大大于該截截止頻率率的頻段段，衰減減加大，因而存存在很大大的衰減減裕量，即這兩兩種設(shè)計(jì)計(jì)方法存存在較大大的資源源浪費(fèi)，所設(shè)計(jì)計(jì)的濾波波器性價(jià)價(jià)比不高高。7.5等波紋最最佳逼近近設(shè)計(jì)法法針對(duì)窗函函數(shù)設(shè)計(jì)計(jì)法和頻頻率抽樣樣設(shè)計(jì)法法存在的的缺點(diǎn)，我們希希望有一一種方法法，在濾濾波器長(zhǎng)長(zhǎng)度給定的情情況下，設(shè)計(jì)出出的濾波波器是所所能得到到的所有有濾波器器中性能能最佳的的，即尋尋求一種種最優(yōu)化化的設(shè)計(jì)計(jì)方法，而等波波紋最佳佳逼近設(shè)設(shè)計(jì)法就就是這樣樣一種方方法。7.5.1設(shè)計(jì)思想想設(shè)計(jì)濾波波器的過(guò)過(guò)程，其其實(shí)就

33、是是用一個(gè)個(gè)實(shí)際的的頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)H(ej)（或?qū)?yīng)應(yīng)的h(n)）對(duì)所希希望的頻頻率響應(yīng)應(yīng)函數(shù)Hd(ej)（或?qū)?yīng)應(yīng)的hd(n)）的一個(gè)個(gè)逼近過(guò)過(guò)程。而而最優(yōu)化化設(shè)計(jì)過(guò)過(guò)程則是是依據(jù)某某一優(yōu)化化準(zhǔn)則，改變一一組變量量值，進(jìn)進(jìn)行迭代代運(yùn)算，尋求一一種最佳佳逼近的的過(guò)程。函數(shù)逼近近準(zhǔn)則（1）均方誤差差最小準(zhǔn)準(zhǔn)則：窗函數(shù)數(shù)設(shè)計(jì)法法（2）插值逼近近準(zhǔn)則：頻率抽抽樣設(shè)計(jì)計(jì)法這兩種逼逼近有一一個(gè)共同同的缺點(diǎn)點(diǎn)：在整整個(gè)要求求逼近的的區(qū)間（0）內(nèi)誤差差分布是是不均勻勻的，特特別是在在幅度特特性具有有躍變點(diǎn)點(diǎn)的過(guò)渡渡區(qū)附近近，誤差差最大。（3）最大誤差差最小化化準(zhǔn)則：等波紋紋最近逼逼近設(shè)計(jì)計(jì)法，使使得在要要

34、求逼近近的整個(gè)個(gè)范圍內(nèi)內(nèi)，逼近近誤差分分布是均均勻的，所以也也稱為最最佳一致致意義下下的逼近近。在設(shè)計(jì)濾濾波器時(shí)時(shí)，對(duì)通通帶和阻阻帶的性性能要求求是不同同的，為為了統(tǒng)一一使用最最大誤差差最小化化準(zhǔn)則，則采用用誤差函函數(shù)加權(quán)權(quán)的辦法法，使得得不同頻頻段（如如通帶和和阻帶）的加權(quán)權(quán)誤差最最大值是是相等的的。設(shè)所希望望的幅度度頻率響響應(yīng)為Hd()，實(shí)際設(shè)設(shè)計(jì)得到到的頻率率響應(yīng)為為H()，誤差的的加權(quán)函函數(shù)為W()，則定義義加權(quán)逼逼近誤差差函數(shù)為為（7.5.1）使式(7.5.1)所定義的的加權(quán)逼逼近誤差差函數(shù)的最大絕絕對(duì)值在在各個(gè)要要求逼近近的頻帶帶內(nèi)達(dá)到到最小，即式中，|E()|為得到的的最小值值，A為所要求求逼近的的通帶和和阻帶。7.5.2交錯(cuò)點(diǎn)組組定理若H()是r個(gè)余弦函函數(shù)的線線性組合合，即A是0,內(nèi)的一個(gè)個(gè)閉區(qū)間間（包括括通帶、阻帶，但不包包括過(guò)渡渡帶），Hd()是A上的一個(gè)個(gè)連續(xù)函函數(shù)，則則Hd()的唯一和和最佳一一致逼近近的充要要條件是是：加權(quán)權(quán)逼近誤誤差函數(shù)數(shù)E()在A中至少存存在r+2個(gè)交錯(cuò)頻頻率點(diǎn)01|，則說(shuō)明明是紋波的的極值，且初始始猜測(cè)i（i=0,1,r+1）恰好是是交錯(cuò)