初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第18講圓的基本性質(zhì)

1、第十八講圓的基本性質(zhì)到定點(diǎn)(圓心)等于定長(半徑)的點(diǎn)的會(huì)集叫圓，圓常被人們看作是最圓滿的事物，圓的圖形在人類進(jìn)度中打下深深的烙印圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本看法與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對稱性，圓既是一個(gè)軸對稱圖形，又是一中心對稱圖形用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意：1熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明；2認(rèn)識弧的特色及中介作用；3善于促成同圓或等圓中不同樣樣名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)變熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為3和2，則BAC度數(shù)為作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同樣樣的地址關(guān)系注：由圓的對稱性可引出

2、好多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結(jié)合起來圓是一個(gè)對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性【例2】如圖，用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對稱圖形，則能將其圓滿覆蓋的圓的最小半徑為()5A2B5CD5172416思路點(diǎn)撥所作最小圓圓心應(yīng)在對稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能經(jīng)過圓形的某些極點(diǎn)，經(jīng)過設(shè)未知數(shù)求解1【例3】如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D依次在O上，AB=BD，BMAC于M，求證：AM=DC+CM思路點(diǎn)撥用截長(截AM)或補(bǔ)短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫€段相等的證明，證題的要點(diǎn)是促進(jìn)不

3、同樣樣量的互相變換并打破它【例4】如圖甲，O的直徑為AB，過半徑OA的中點(diǎn)G作弦CEAB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M求COA和FDM的度數(shù)；求證：FDMCOM；(3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，試判斷：此時(shí)可否有FDMCOM?證明你的結(jié)論思路點(diǎn)撥(1)在RtCOG中，利用OG=1OA=1OC；(2)證明COM=FDM，CMO=22FMD；(3)利用圖甲的啟示思慮注：善于促成同圓或等圓中不同樣樣名稱的互相轉(zhuǎn)變是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認(rèn)識到圓可為解與

4、直線形問題供應(yīng)新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題常常用到直線形的知識與方法(主若是指全等與相似)【例5】已知：在ABC中，AD為BAC的均分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且B=CAE，EF：FD4：3求證：AFDF；求AED的余弦值；若是BD10，求ABC的面積證明ADEDAE；(2)作ANBE于N，cosAEDEN，設(shè)FE=4x，F(xiàn)DAE3x，利用相關(guān)知識把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)搜尋相似三角形，運(yùn)用比率線段求出x的值2注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判斷、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識方法思想是

5、解與圓相關(guān)問題的要點(diǎn)學(xué)歷訓(xùn)練1D是半徑為5cm的O內(nèi)一點(diǎn)，且OD3cm，則過點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB=2閱讀下面資料：關(guān)于平面圖形A，若是存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋關(guān)于平面圖形A，若是存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋比方：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋回答以下問題：(1)邊長為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(2)邊長為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(3)長為2c

6、m，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm(2003年南京市中考題)3世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬物才顯得富饒活力，以下來自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與友善，這正是因?yàn)閳A擁有軸對稱和中心對稱性(1)請問以下三個(gè)圖形中是軸對稱圖形的有，是中心對稱圖形的有(分別用下面三個(gè)圖的代號a，b，c填空)(2)請你在下面的兩個(gè)圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能正確些，雅觀些)a是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形b既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形4如圖，AB是O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線C

7、D的距離之和為()A12cmB10cmC8cmD6cm35一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB8，則弓形的高CD為()A2B5C3D16236如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，若是AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（）AAB+CDEFBAB+CD=FCAB+CDAC，D為BAC的中點(diǎn)，DEABAC17將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑最少是多5少?(不考慮其他因素，精確到01cm)18如圖，直徑為13的O，經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB(OAOB)的長分別是方程x2kx600的兩根

8、(1)求線段OA、OB的長；2(2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC=CDCB時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；在O，上可否存在點(diǎn)P，使SPOD=SABD?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明原由6參照答案7第十九講轉(zhuǎn)變靈便的圓中角角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線地址關(guān)系、運(yùn)用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特色，恩賜角極強(qiáng)的活性，使得角能靈便地互相轉(zhuǎn)變依照圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)變；由同弧或等弧所對的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變極點(diǎn)在圓上的地址進(jìn)行研究；由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對角，可將與圓相關(guān)的角互相聯(lián)系起來熟悉以下

9、基本圖形、基本結(jié)論注：依照極點(diǎn)、角的兩邊與圓的地址關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，近似地，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)，我們能夠定義圓外角與圓內(nèi)角，這兩類角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系?讀者可自行作一番商議【例題求解】【例1】如圖，直線AB與O訂交于A，B再點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，點(diǎn)C在O上，且AOC40，點(diǎn)E是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合)，直線EC交O于另一點(diǎn)D，則使DE=DO的點(diǎn)正共有個(gè)思路點(diǎn)撥在直線AB上使DE=DO的動(dòng)點(diǎn)E與O有怎樣的地址關(guān)系?分點(diǎn)E在AB上(E在O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點(diǎn)在O外)三種情況考慮，經(jīng)過角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)地址、存在的個(gè)數(shù)注：弧是聯(lián)系與圓相關(guān)的角的

10、中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓相關(guān)的角互相轉(zhuǎn)變的基本方法8【例2】如圖，已知ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、D的O與邊AB、AC、BC分別訂交于點(diǎn)E、F、M，關(guān)于以下五個(gè)結(jié)論：FMC=45；AE+AFAB；EDBA；2BM2=BFBA；四邊形AEMF為矩形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是EFBC()A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)思路點(diǎn)撥充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角，搜尋特別三角形、特別四邊形、相似三角形，逐一考據(jù)注：多重選擇單項(xiàng)選擇化是近來幾年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的研究，方能作出小正確的選擇【例3】如圖，已知四邊形ABCD外接O的半徑為5，對

11、角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD的面積思路點(diǎn)撥由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵【例4】如圖，已知AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，連結(jié)AC，過點(diǎn)C作直線CDAB于D(ADDB)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)(點(diǎn)D、B除外)，直線CE交O于點(diǎn)F，連結(jié)AF與直線CD交于點(diǎn)G(1)求證：AC2=AGAF；(2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論可否依舊成立?若成立請畫出圖形并恩賜證明；若不成立，請說明原由思路點(diǎn)撥(1)作出圓中常用輔助線證明ACGAFC；2）判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況下可否成立，依題意正確畫出圖形是要點(diǎn)注：構(gòu)造直

12、徑上90的圓周角，是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判斷創(chuàng)立了條件9【例5】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線AD、BE、CF訂交于一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CF的交點(diǎn)為P求證：（1）QDAC；(2)CPAC2EDECPECE2思路點(diǎn)撥解本例的要點(diǎn)在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形CPQC(1)證明QDEACF；(2)易證，經(jīng)過其他三角形相似并結(jié)合(1)把特別規(guī)問題PEDE的證明轉(zhuǎn)變?yōu)槌＠龁栴}的證明注：有些幾何問題誠然表面與圓沒關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，特別是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有：利用

13、圓的定義判斷；利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的抗命題判斷學(xué)歷訓(xùn)練1一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為2如圖，AB是O的直徑，C、D、E都是O上的一點(diǎn)，則1+2=3如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長AF交O于E，CF=2，AF=3，則EF的長為4如圖，已知ABC內(nèi)接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，設(shè)O的半徑為y，AB的長為x，用x的代數(shù)式表示y，y=5如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于()A120B136C144D1506如圖，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，則BOC等于()A20B

14、30C40D50107如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點(diǎn)，AB=3，BC=2，則D的度數(shù)為()A60B120C135D1508如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，點(diǎn)P是弧AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長線上，PD與AB交于點(diǎn)F給出以下四個(gè)結(jié)論：22CH=AHBH；AD=AC；AD=DFDP；EPC=APD，其中正確的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D49如圖，已知B正是ABC的外接圓O的直徑，CD是ABC的高求證：ACBC=BECD；已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直徑BE的長10如圖，已知AD是ABC外角EAC的均分線，交BC的延長線于

15、點(diǎn)D，延長DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C求證：FB=FC；求證：FB2=FAFD；若AB是ABC的外接圓的直徑，EAC=120，BC=6cm，求AD的長11如圖，B、C是線段AD的兩個(gè)三均分點(diǎn)，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(diǎn)(B、C點(diǎn)除外)，則tanAPBtanCPD=12如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=a，則四邊形ABCD的面積為13如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，則BC=14如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點(diǎn)，B=40，則A等于()A60B50C80D7015如圖，已知ABCD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長AB和DC，它們訂交于P，若APD=60，則O的面積為()A25B16C15D1311(2001年紹興市競賽題)16如圖，AD是RtABC的斜邊BC上的高，AB=AC別，過A、D兩點(diǎn)的圓與AB、AC分訂交于點(diǎn)E、F，弦EF與AD訂交于點(diǎn)G，則圖中與GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為()A5B4C3D217如圖，已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AE=EC，AB=2AE，且BD=23，求四邊形ABCD的面積18如圖，已知ABCD為O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，且有BAE=DAC求證：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADBCACB