(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第8章§8.7《雙曲線》(含解析)

1、第八章考試要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練LUOSHIZHUGANZHISHI 落實(shí)主干知識(shí)1.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的 等于非零常數(shù)( |F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的 .絕對(duì)值小于焦點(diǎn)焦距標(biāo)準(zhǔn)方程 (a0，b0) (a0，b0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)_焦距_范圍_或_，yRya或ya，xR對(duì)稱性對(duì)稱軸：_；對(duì)稱中心：_2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)F1(c，0)，F(xiàn)2(c

2、，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)|F1F2|2cxaxa坐標(biāo)軸原點(diǎn)性質(zhì)頂點(diǎn)_軸實(shí)軸：線段_，長(zhǎng)：_；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：_，實(shí)半軸長(zhǎng)：_，虛半軸長(zhǎng)：_離心率e _漸近線_a，b，c的關(guān)系c2_(ca0，cb0)A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)A1A22a2bab(1，)a2b2常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為 .常用結(jié)論(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，

3、F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則 ，其中為F1PF2.(5)與雙曲線 (a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為 (t0).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(2)方程 (mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()(3)雙曲線 (m0，n0)的漸近線方程是 .()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于 .()1.若雙曲線 (a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為A. B.5C. D.2由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，即b2a，又a2b2c2，5a2c2.2.設(shè)P是雙曲線 上一點(diǎn)，

4、F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|9，則|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.以上均不對(duì)根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|PF2|8|PF2|等于1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17.3.(2022汕頭模擬)寫一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且離心率為 的雙曲線方程_.(答案不唯一，符合要求就可以)因此，符合條件的雙曲線方程為 (答案不唯一，符合要求就可以).TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1(1)已知定點(diǎn)F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2y21上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是A.橢圓 B.

5、雙曲線C.拋物線 D.圓題型一雙曲線的定義及應(yīng)用所以|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.如圖，連接ON，由題意可得|ON|1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以|MF2|2.因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|PF1|，(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF260，則F1PF2的面積為_.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，在F1PF2中，由余弦定理，得|PF1|PF2|8，延伸探究在本例(2)中，若將

6、“F1PF260”改為“ ”，則F1PF2的面積為_.2不妨設(shè)點(diǎn)P在線的右支上，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4， |PF1|PF2|2.1.已知圓C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為教師備選設(shè)圓M的半徑為r，由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|1r，|MC2|3r，|MC2|MC1|2b0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為教師備

7、選2.經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0).思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為 (0)，再根據(jù)條件求的值.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為 ，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是命題點(diǎn)1漸近線例3(1)由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線 (a0，b0)下支的一部

8、分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為題型三雙曲線的幾何性質(zhì)由題意知，b2，(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線xa與雙曲線C： (a0，b0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，若ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為A.4 B.8 C.16 D.32因?yàn)镈，E分別為直線xa與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)D(a，b)，E(a，b)，所以c2a2b22ab16(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值為8.思維升華命題點(diǎn)2離心率例4(1)(2021全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且F1PF260，|PF1|3

9、|PF2|，則C的離心率為設(shè)|PF2|m，則|PF1|3m，在F1PF2中，已知雙曲線 (a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，且F1AF2120，|AF2|2|AF1|，則雙曲線E的離心率為高考改編點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)|AF1|m，由|AF2|2|AF1|知|AF2|2m，由雙曲線定義得|AF2|AF1|2mmm2a，在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F(xiàn)1AF2120，由余弦定理知，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 1204a216a28a228a2，又|F1F2|2c，(2)(202

10、2濱州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 (a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sinPF2F13sinPF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為A.(1,2) B.(1,3)C.(3，) D.(2,3)在PF1F2中，sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理得，|PF1|3|PF2|，又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以|PF1|PF2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a，在PF1F2中，由|PF1|PF2|F1F2|，得3aa2c，即2ac，又e1，所以1e0，b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn).若|PQ|

11、OF|，則C的離心率為如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQOF.設(shè)垂足為M，連接OP，由|OM|2|MP|2|OP|2，思維升華求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2a2b2和e 轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過(guò)解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知雙曲線 (a0，b0)的離心率e2，C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為1，則A.雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)B.雙曲線C的漸近線方程為y xC.點(diǎn)(2,3)在雙曲線C上D.直線mxym0(mR)與雙曲線C恒

12、有兩個(gè)交點(diǎn)直線mxym0即ym(x1)，恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，當(dāng)m 時(shí)，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤.KESHIJINGLIAN 課時(shí)精練1.雙曲線9x216y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516123456789101112131415162.已知雙曲線 (m0)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為123456789101112131415163.若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于A.11 B.9 C.5 D.312345678910111213141516

13、方法一依題意知，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|639.方法二根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|3|6，所以|PF2|9或|PF2|3(舍去).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8B.雙曲線C的漸近線方程為yC.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為12345678910111213141516因?yàn)閍216，所以a4,2a8，故A正確；因?yàn)閍4，b3，所以雙曲線C

14、的漸近線方程為雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為ca1，故D錯(cuò)誤.123456789101112131415166.(多選)(2022濰坊模擬)已知雙曲線C： 1(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為y x，P為C上一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是A.C的實(shí)軸長(zhǎng)為8B.C的離心率為C.|PF1|PF2|8D.C的焦距為1012345678910111213141516雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a8，12345678910111213141516由于P可能在C不同分支上，則有|PF1|PF2|8，12345678910111213141516A，D正確，B，C錯(cuò)誤.7.(2021新高考全國(guó))已知雙

15、曲線C： 1(a0，b0)的離心率e2，則該雙曲線C的漸近線方程為_.123456789101112131415168.設(shè)雙曲線 的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_.1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閍29，b216，所以c5.所以A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，12345678910111213141516不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，MF1MF2.設(shè)|MF1|m，|MF2|n，由雙曲線的定義知mn2a8.在RtF1MF2中，由勾股定理得m2n2(2c

16、)280，由得mn8.1234567891011121314151612345678910111213141516解得4或14(舍去)，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；a2b2c2，由可得a25，b24，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)直線l：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若|AP|AQ|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.由題意知直線l不過(guò)點(diǎn)A.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為D(x0，y0)，連接AD(圖略

17、).12345678910111213141516整理得(45k2)x210kmx5m2200，12345678910111213141516由|AP|AQ|知，ADPQ，又A(0,2)，化簡(jiǎn)得10k289m，1234567891011121314151611.(多選)雙曲線C： 1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是12345678910111213141516D.|PF|的最小值為2技能提升練故A正確；12345678910111213141516故C正確；|PF|的最小值即為點(diǎn)F到漸近線的距離，1234567891011121314151612.(

18、2022湖南師大附中模擬)已知雙曲線C: 1(b0)，以C的焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是12345678910111213141516又該圓的圓心為(c，0)，又b2c2a2c24，則(c24)c22，n0)，12345678910111213141516由A，B分l別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，可得k1k2，則k1k21.14.已知雙曲線C： 1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，若以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，且|F1P| |OP|，則C的漸近線方程為_.12345678910111213141516根據(jù)雙曲線C： 1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，如圖所示，12345678910111213141516所以在POF1中，由余弦定理可得12345678910111213141516拓展沖刺練12345678910111213141516A.雙曲線C的一條漸近線方程為3x2y0D.OMN的面積為6如圖，123456789101112131415161234567891011121314151616.雙曲線C： 1(a0，b0)