專題3-4 壓軸小題導(dǎo)數(shù)技巧：多元變量（多參）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練（全國(guó)通用）（解析版）

1、 專題3-4 導(dǎo)數(shù)技巧：多元變量（多參）目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc3202 HYPERLINK l _Toc27840 【題型一】多元（多參）：放縮型 PAGEREF _Toc27840 1 HYPERLINK l _Toc303 【題型二】多元（多參）：方程與函數(shù) PAGEREF _Toc303 4 HYPERLINK l _Toc25278 【題型三】多元（多參：極值點(diǎn)偏移型 PAGEREF _Toc25278 6 HYPERLINK l _Toc5485 【題型四】多元（多參）：零點(diǎn)多項(xiàng)式 PAGEREF _Toc5485 10 HYPERLINK

2、l _Toc7037 【題型五】多元（多參）：凸凹翻轉(zhuǎn)型 PAGEREF _Toc7037 12 HYPERLINK l _Toc611 【題型六】多元（多參）：討論最值型 PAGEREF _Toc611 15 HYPERLINK l _Toc10273 【題型七】多元（多參）：換元型（比值換元） PAGEREF _Toc10273 17 HYPERLINK l _Toc5768 【題型八】多元（多參）：切線放縮 PAGEREF _Toc5768 20 HYPERLINK l _Toc8089 【題型九】多元（多參）：絕對(duì)值型maxmin或minmax PAGEREF _Toc8089 22

3、HYPERLINK l _Toc28162 二、真題再現(xiàn) PAGEREF _Toc28162 26 HYPERLINK l _Toc21158 三、模擬檢測(cè) PAGEREF _Toc21158 29【題型一】多元（多參）：放縮型【典例分析】（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)不等式在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值，轉(zhuǎn)化為 ，再令，得到，求其最大值即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以不等式在上恒成立，令，則 在上恒成立，令，所以，若，則 ， 在遞增，當(dāng)時(shí)， ，不等式不成立，故，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取

4、得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值是故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律本題型最早源于新課標(biāo)2012年導(dǎo)數(shù)壓軸大題，處理有兩個(gè)關(guān)鍵步驟1.含參式子求最值2.二次構(gòu)造時(shí)，不完全是“恒成立”型，而是“存在型”【變式演練】1.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若時(shí)，恒有，則的最大值為ABCD【答案】C【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并帶入已知不等式中，將不等式恒成立問題由構(gòu)造新函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)利用分類討論求最小值即可求出ab的不等式關(guān)系，進(jìn)而表示，再令并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，由題可知，對(duì)，恒有成立，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且時(shí)

5、，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減；所以，故，令，則，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故，綜上所述，的最大值為.故選：C2.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若不等式對(duì)恒成立，則的最小值是（）ABCD【答案】B【分析】通過將不等式變形，即需要證明在上恒成立，再通過對(duì)求導(dǎo)，找出求出的最大值，再證明大于等于零在上恒成立即可【詳解】解法1：令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，即，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，且，；當(dāng)時(shí)，可得時(shí)，取得最小值，上的最小值為，故選B3.（2019湖北模擬）已知不等式x3lnx1mlnxn

6、（m，nR，且m3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為A、2ln2 B、ln2 C、1ln2 D、2ln2解答：解：令f（x）x3lnx1mlnxn，則f（x）1(m3)/x（x0），若m30，則f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，由當(dāng)x0時(shí)，f（x），不合題意；m30，由f（x）0，得xm3，當(dāng)x（0，m3）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（m3，）時(shí)，f（x）0，當(dāng)xm3時(shí)，f（x）有最小值，則f（m3）m33ln（m3）1mln（m3）n0，即n3m4（m3）ln（m3），令g（x）當(dāng)x（3，1）時(shí)，g（x）0，當(dāng)x（1，）時(shí)，g（x）0，當(dāng)x1時(shí)，g（x）有最大值為ln2即的最大值為ln2故選：B【題型二

7、】多元（多參）：方程與函數(shù)【典例分析】（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知a，b分別滿足，則ab_【答案】【分析】同構(gòu)化處理，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性確定答案【詳解】，且，令，該函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，即，則故答案為：.【提分秘籍】基本規(guī)律利用方程或者不等式，進(jìn)行“二次構(gòu)造”求導(dǎo)求最值【變式演練】1.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為_【答案】【分析】分類討論，時(shí)不合題意；時(shí)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究，可解,【詳解】令；當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)椋以趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處

8、取極小值，即最小值為.若，則，即.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為： 2.（2022湖北孝昌縣第一高級(jí)中學(xué)三模）若對(duì)于任意的x，不等式恒成立，則b的取值范圍為_【答案】【分析】不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得的最小值為，所以，即，z令，轉(zhuǎn)化為，對(duì)求導(dǎo)知當(dāng)時(shí)，取最大值為，即可求出b的取值范圍.【詳解】由，得，設(shè)，則,令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，所以，所以，即，令，則，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以b的取值范圍為.故答案為：.3.（2022天津津衡高級(jí)中學(xué)有限公司高三階

9、段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魰r(shí)，取得最小值，則的取值范圍是_【答案】【分析】先通過時(shí)，取得最小值，解出，再通分換元令，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得最小值即得的取值范圍.【詳解】由題意知：，令，解得，故函數(shù)在遞減，在遞增，又時(shí)，取得最小值，故，即.，令，則，令，由對(duì)勾函數(shù)易知在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故的取值范圍是.故答案為：.【題型三】多元（多參：極值點(diǎn)偏移型【典例分析】（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，（），則下列不等式不成立的是（）ABCD【答案】D【分析】由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)且橫坐標(biāo)分別為，（），利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得且有，令則，

10、構(gòu)造中間函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而判斷的符號(hào)，即可確定A、B的正誤；構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，判斷C、D的正誤.【詳解】由題意，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)且橫坐標(biāo)分別為，（），而，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；的極小值也是最小值為，而，要使題設(shè)成立，則且有.令，則，若且，即在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故在右側(cè)存在，使，即，若，且恒成立，即，故A、B正確；令且，則，即，遞減；，遞增；，故單調(diào)遞增，即，易知C正確，D錯(cuò)誤；故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律1.極值點(diǎn)偏移小題是屬于“大題”題型。2.如果只是做小題，可以考慮畫出草圖，粗略的可以判斷真假一般思路1.求出函數(shù)的極值點(diǎn)；2.構(gòu)造一元差函數(shù)；3.確

11、定函數(shù)的單調(diào)性；4.結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系【變式演練】1.（2019遼寧高三期中（文）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，則下面說法不正確的是（ ）ABCD有極小值點(diǎn)，且【答案】C【分析】先證明出對(duì)數(shù)平均不等式，由題意得出，將兩式作差結(jié)合對(duì)數(shù)平均不等式可判斷出A、B選項(xiàng)的正誤，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的極值以及該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可判斷出選項(xiàng)的正誤，求出極值點(diǎn)，將中兩等式相加可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】先證明對(duì)數(shù)平均不等式.先考慮不等式，設(shè)，即證，即證，令，即證不等式.構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)，且時(shí)，；接下來考慮不等式，設(shè)，即證，即證，設(shè)，即證不等式.構(gòu)造函數(shù)，則

12、，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)，且時(shí)，有.即當(dāng)，且時(shí)，.對(duì)于C選項(xiàng)，.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，由于該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A、B選項(xiàng)，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且，由于，則，且有，則，兩個(gè)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，兩式相減得，由對(duì)數(shù)平均不等式得，即，A、B選項(xiàng)都正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，將中兩個(gè)等式相加得，即，D選項(xiàng)正確.故選C.2.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，若，且，則與2的關(guān)系為ABCD大小不確定【答案】A【分析】先求導(dǎo)求出的極

13、大值點(diǎn)為1，再比較和的大小得出，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減可得【詳解】由題，,令則有，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以,在時(shí)取得極大值和最大值.又當(dāng)趨近于正無窮時(shí),正向趨近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令 ,則,，對(duì)于任意的,分別取兩點(diǎn)、，現(xiàn)在比較和的大小. ，令分子部分為,.求導(dǎo)有,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),又，故單調(diào)遞增且大于0.所以,在 上是單調(diào)增函數(shù),且,故,即，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減且,所以在點(diǎn)的右側(cè)必能找到一點(diǎn),使得,且，故，令,則有，故選A3.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，則的取值范圍是_(其中)【答案】【分析】由，令，討論單調(diào)性，作出圖像，找出臨界位置即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?/p>

14、上有兩個(gè)不同的根，令，則，由得：,且時(shí)，且時(shí)，如圖，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，即，所以，所以.故答案為：.【題型四】多元（多參）：零點(diǎn)多項(xiàng)式【典例分析】（2021全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是_【答案】【分析】先做出函數(shù)，的大致圖象，利用圖像的對(duì)稱性得到， ，再由得，所以規(guī)定函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出的取值范圍【詳解】作出，的大致圖象如圖所示，由，的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱可得，由得，所以設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，的取值范圍是故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)畫圖時(shí)，要注意水平漸線與豎直漸近線【變式演練】1.（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（文）已知，若

15、函數(shù)(為實(shí)數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的最小值為_.【答案】【分析】由題可知有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，則，根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖像可知，在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】，求導(dǎo)，在上單調(diào)遞增.函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，則，又在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖像，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，則，.設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在性定理知，在上有唯一零點(diǎn)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：2.（2021江蘇高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則的最小值為_.【答案】【分析】先證明據(jù)，結(jié)合，求出，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出代

16、數(shù)式的最小值即可【詳解】，即，又在，上單調(diào)遞增，故由得，故，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故答案為：3.（2022浙江高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)已知，且，若的最小值為，則a的值為_【答案】1【分析】令，由圖象可知，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值即得.【詳解】令，由圖象如圖所示可知因?yàn)?，則，得，所以令，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得與矛盾，舍去綜上可得，故答案為：1.【題型五】多元（多參）：凸凹翻轉(zhuǎn)型【典例分析】（2023江蘇南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為ABCD【答案】A【分析】設(shè)，得，變形

17、為，令，求導(dǎo)求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設(shè)，則，令，(m)=m0,m1,(m)0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，,故x+y=2故選A【提分秘籍】基本規(guī)律凸凹翻轉(zhuǎn)型常見思路，如下圖 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵，是難題【變式演練】1.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，令，可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并令，解得，且根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得在處取得最大值。所以可得，進(jìn)而根據(jù)極限值情況可得m的取值范圍?！驹斀狻苛?，可化為，令，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，先增后減，即從負(fù)無窮增大到，然后遞減到，而函數(shù)是時(shí)由

18、正無窮遞減到0，然后又逐漸增大，所以，即所以選B2.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為ABCD【答案】A【分析】設(shè)，得，變形為，令，求導(dǎo)求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設(shè)，則，令，(m)=m0,m1,(m)0時(shí), 0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(0),滿足題意.（2）當(dāng)a0時(shí),.若a0時(shí)，則，當(dāng)或時(shí)，0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，所以x=0為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，符合題意；若a0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；綜上所述：.故答案為：.3.設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，函數(shù)，.若存在，使成立，則的取值范圍為_.浙江省金華市浙江師大附屬東陽花園外國(guó)語學(xué)校2020

19、-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】【分析】由區(qū)間的表示可知,令，存在，使成立等價(jià)于，求導(dǎo)后判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)，即可討論出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】存在，使成立，得；令；，令，即時(shí)，遞增；時(shí)，遞減；若，即在上單調(diào)遞減；，對(duì)恒成立；若，即，在上先遞減后遞增；，即，綜上的取值范圍為.故答案為：.【題型七】多元（多參）：換元型（比值換元）【典例分析】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_【答案】4【分析】根據(jù)，是的兩個(gè)不同的零點(diǎn)列方程組，由此化簡(jiǎn)不等式得到恒成立通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?，是的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不妨設(shè)則，

20、兩式相加，得，故.兩式相減，得，故，即，也即恒成立令，則有恒成立，即恒成立記，則，下證充分性時(shí)，在上單調(diào)遞增，故恒成立，得證所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律1.主要是比值代換。2.整體代換?！咀兪窖菥殹?.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知存在，若要使等式成立（e=2.71828），則實(shí)數(shù)的可能的取值是（）ABCD0【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，求出的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】解：，令，又，且，令，則，再令，在上單調(diào)遞增又，在上，；在上，則在上，；在上，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或?；蛩越Y(jié)合選項(xiàng)，可知答案選B.故選：B2.（2023全國(guó)高三專題練習(xí)）已

21、知函數(shù)，當(dāng)，恒成立，則的最大值為_.【答案】1【分析】令，則，先由得，再由對(duì)恒成立得，結(jié)合得，往下證明時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，即可說明的最大值為1.【詳解】令，則，當(dāng)，恒成立，則有，由得，因?yàn)槿我獾?，都有，所以，結(jié)合，得.當(dāng)時(shí)，令，則，由得，；由得，；所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，由，得，對(duì)恒成立.所以，取，有恒成立.綜上可知，的最大值為1.故答案為：1.3.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是_.【答案】.K【解析】由題意有且，結(jié)合已知有，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求最值即可.【詳解】由題意，即有且，將代入化簡(jiǎn)得：，令，則有，當(dāng)，有，單調(diào)遞減；當(dāng)，有，單調(diào)遞增；，故答案為：【

22、題型八】多元（多參）：切線放縮【典例分析】（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為_【答案】【分析】已知不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，在a=0時(shí)易得ab=0;當(dāng)a0時(shí)，設(shè)函數(shù),函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得相切時(shí)a,b滿足的條件，進(jìn)而得到當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，得到,記,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求得最大值，即得所求.【詳解】原不等式等價(jià)于：恒成立，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易知，當(dāng)時(shí)不等式為對(duì)于x0恒成立，需要，此時(shí),當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù),當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,即。所以當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，,記,則,令，解得當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，,

23、綜上，的最大值為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，求最值問題，關(guān)鍵是將已知不等式分離為兩個(gè)易于處理的函數(shù)之間的不等關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合方法求得a,b滿足的條件，得到后，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【提分秘籍】基本規(guī)律一般能切線放縮的，多是簡(jiǎn)單的凸函數(shù)或者凹函數(shù)【變式演練】1.（2020四川二模（理）若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最大值是_.【答案】【分析】由，原不等式可化為.再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，根據(jù)的圖象恒在的圖象的上方，對(duì)進(jìn)行分類討論，即可得到答案.【詳解】由，原不等式可化為.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，遞增；，遞減.所以，在處取得極大值，且為最大值；時(shí)，. 的圖象恒在的圖

24、象的上方，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，所以取得最大值為.此時(shí)，直線與在點(diǎn)處相切.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.2.（018江蘇南京高三期中）存在使對(duì)任意的恒成立，則的最小值為_.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線恒在上方來求解，利用導(dǎo)數(shù)與切線的知識(shí)將轉(zhuǎn)化為只含的表達(dá)式，并利用導(dǎo)數(shù)求得這個(gè)表達(dá)式的最小值.【詳解】存在使對(duì)任意的恒成立，則等價(jià)于等價(jià)于存在，在的上方.直線過定點(diǎn)，即定點(diǎn)在直線上，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，所以，由得，化簡(jiǎn)得，故.構(gòu)造函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)

25、遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，所以.所以的最小值為.故答案為：3.（2020全國(guó)高三專題練習(xí)（文）若關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值是_.【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性、極值和最值，作出的圖象，運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合確定的最小值即可.【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，遞增；，遞減，可得在處取得極大值，且為最大值1，且時(shí)，作出的圖象，滿足題意時(shí)，的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，可令，即，故取到最小值時(shí)，直線在軸上的截距最大，再令，可得，由此推得的最小值是，故答案為：.【題型九】多元（多參）：絕對(duì)值型maxmin或minmax【典例分析】（2020浙江杭州三模）已知函數(shù).當(dāng)，的最大值為，

26、則的最小值為_【答案】7【分析】，設(shè)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到，分別計(jì)算最值得到答案.【詳解】，設(shè)，則恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故；設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；且，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述：.故答案為：7.【變式演練】1.（2020江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.若恒成立，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，然后分三種情況進(jìn)行討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出函數(shù)在區(qū)間上最值的可能取值，利用絕對(duì)值三角不等式可求出當(dāng)取得最小值時(shí)的值.【詳解】令函數(shù)，則，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，所以當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單

27、調(diào)遞增，所以，兩式相加可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，兩式相加可得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，令，得，令，列表如下： 極大值 極小值 不妨設(shè)，則，則，所以，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，若，則，若，則，但，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用絕對(duì)值三次函數(shù)的最值求參數(shù)、絕對(duì)值三角不等式的運(yùn)用、通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；考查運(yùn)算求解能力和分類討論的思想；充分利用三次函數(shù)的單調(diào)性、求出絕對(duì)值三次函數(shù)的最大值的可能值、并結(jié)合絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬

28、于抽象型、難度大型試題.2.（2018浙江高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是_【答案】【分析】先由題意，得到原問題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，且，得到，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，兩縱坐標(biāo)的豎直距離；畫出對(duì)應(yīng)圖像，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解，即可得出結(jié)果【詳解】原問題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，且，則，解得：；所以，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，兩縱坐標(biāo)的豎直距離，畫出如下圖像，由圖顯然，當(dāng)函數(shù)位于直線與直線正中間時(shí)，函數(shù)取得最大值中的最小值，易知，直線的方程為：，又，令，解得或（舍去），在遞減，在 遞增.則直線的方程為，所以； 故 ，即實(shí)數(shù)的最大值是.故

29、答案為：3.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，記為的最大值，則的最小值為_.【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得的最值，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以當(dāng)時(shí)，又因?yàn)闉榈淖畲笾?，所以，兩式相加可得：因?yàn)椋驗(yàn)槎魏瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，的最小值為.故答案為：. 1（全國(guó)高考真題（文）已知函數(shù)f(x)=,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A, f()=0B函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C若是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間（-, ）單調(diào)遞減D若是f（

30、x）的極值點(diǎn)，則 ()=0【答案】C【詳解】試題分析：由于三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正值，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值也，又三次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，故一定穿過x軸，即一定x0R，f(x0)0，選項(xiàng)A中的結(jié)論正確；函數(shù)f(x)的解析式可以通過配方的方法化為形如(xm)3n(xm)h的形式，通過平移函數(shù)圖象，函數(shù)的解析式可以化為yx3nx的形式，這是一個(gè)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)B中的結(jié)論正確；由于三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正值，故函數(shù)如果存在極值點(diǎn)x1，x2，則極小值點(diǎn)x2x1，即函數(shù)在到極小值點(diǎn)的區(qū)間上是先遞增后遞減的，所以選項(xiàng)C中的結(jié)論錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)

31、數(shù)與極值的關(guān)系，顯然選項(xiàng)D中的結(jié)論正確. 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)稱性、單調(diào)性、極值2（2021全國(guó)高考真題（理）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）ABCD【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題

32、主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.3（安徽高考真題（文）函數(shù)f（x）ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0【答案】A【解析】由圖像知f(0)d0，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由圖像可知有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可得a0，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可判斷得答案【詳解】由圖像知f(0)d0，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不相等的正實(shí)根，且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以a0，所以b0，所以a0，b0，d0.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖象關(guān)系，

33、理解利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4（福建高考真題（文）若a0，b0，且函數(shù)f（x）=4x3ax22bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A2B3C6D9【答案】D【詳解】試題分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：f（x）=12x22ax2b又因?yàn)樵趚=1處有極值a+b=6a0，b0當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)所以ab的最大值等于9故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等5（天津高

34、考真題（文）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則ABCD【答案】A【詳解】試題分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，函數(shù)單調(diào)遞增，由知，同理對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由知，所以.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，函數(shù)單調(diào)遞增，進(jìn)一步求得函數(shù)的零點(diǎn)；同理對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由知的零點(diǎn)，所以g（a）lna+a23g（1）ln1+1320，f（b）eb+b2f（1）e+12e10即.6（安徽高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間0,1上的圖像如圖所示，則m，n的值可能是ABCD【答案】B【詳解】試題分析：原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5把答案代入驗(yàn)證看哪個(gè)對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)符合要求即可

35、得出答案解：由于本題是選擇題，可以用代入法來作，由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5當(dāng)m=1，n=1時(shí)，f（x）=ax（1-x）=-a(x-)2+在x=處有最值，故A錯(cuò)；當(dāng)m=1，n=2時(shí)，f（x）=axm（1-x）n=ax（1-x）2=a（x3-2x2+x），所以f（x）=a（3x-1）（x-1），令f（x）=0 x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故B對(duì)；當(dāng)m=2，n=1時(shí)，f（x）=axm（1-x）n=ax2（1-x）=a（x2-x3），有f（x）=a（2x-3x2）=ax（2-3x），令f（x）=0 x=0，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故C錯(cuò)；當(dāng)m=3，n=1時(shí)，f（x）=axm（1-x

36、）n=ax3（1-x）=a（x3-x4），有f（x）=ax2（3-4x），令f（x）=0，x=0，x=，即函數(shù)在x= 處有最值，故D錯(cuò)故選 B7（2022全國(guó)高考真題（理）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）ABCD1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有故選：B.1.（2020浙江臺(tái)州市新橋中學(xué)高三階段練習(xí)）已知不等式恒成立，則的最小值為_.【答案】【分析】令，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，得到，得到，設(shè)設(shè)，設(shè)，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最大值，即可求解.【詳解】令，其中

37、，可得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，且，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，即，可得恒成立，設(shè)，設(shè)，可得，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，且，所以，即的最小值為.故答案為：.2.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，（為常數(shù)），的最大值為，則_【答案】2【分析】令，得到，然后對(duì)取對(duì)數(shù)，構(gòu)建新的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)得到，進(jìn)一步得到，最后得到結(jié)果.【詳解】令，所以，其中，令，且，所以可知：，；，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，由，所以函數(shù)在單

38、調(diào)遞增所以由，即，所以故答案為：23.已知函數(shù)，若且，關(guān)于下列命題：正確的個(gè)數(shù)為 A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)黑龍江省大慶市大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)（文）試題【答案】B【詳解】,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減f(0)=1f(1)=0，當(dāng)x0，所以即x軸是函數(shù)的漸近線，畫出草圖如下由圖可知（1）（4）錯(cuò)，（2）（3）對(duì)選B.4.（2021河北衡水市冀州區(qū)滏運(yùn)中學(xué)高三期末）函數(shù)，若存在a，b，c（），使得，則的最小值是_.【答案】.【解析】先畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得出a，b，c的范圍以及，再設(shè)，解出b，c，代入所求的函數(shù)關(guān)系式中，再換元得到一個(gè)新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，且，由，得，由，得，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故的最小值是.故答案為：.5.（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則_【答案】【分析】令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求即；令同理結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出，即，從而可得，再結(jié)合，可得，即可求出的值，