專題3-4 壓軸小題導數(shù)技巧：多元變量（多參）高考數(shù)學一輪復習題型歸納與變式演練（全國通用）（解析版）

1、 專題3-4 導數(shù)技巧：多元變量（多參）目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc3202 HYPERLINK l _Toc27840 【題型一】多元（多參）：放縮型 PAGEREF _Toc27840 1 HYPERLINK l _Toc303 【題型二】多元（多參）：方程與函數(shù) PAGEREF _Toc303 4 HYPERLINK l _Toc25278 【題型三】多元（多參：極值點偏移型 PAGEREF _Toc25278 6 HYPERLINK l _Toc5485 【題型四】多元（多參）：零點多項式 PAGEREF _Toc5485 10 HYPERLINK

2、l _Toc7037 【題型五】多元（多參）：凸凹翻轉(zhuǎn)型 PAGEREF _Toc7037 12 HYPERLINK l _Toc611 【題型六】多元（多參）：討論最值型 PAGEREF _Toc611 15 HYPERLINK l _Toc10273 【題型七】多元（多參）：換元型（比值換元） PAGEREF _Toc10273 17 HYPERLINK l _Toc5768 【題型八】多元（多參）：切線放縮 PAGEREF _Toc5768 20 HYPERLINK l _Toc8089 【題型九】多元（多參）：絕對值型maxmin或minmax PAGEREF _Toc8089 22

3、HYPERLINK l _Toc28162 二、真題再現(xiàn) PAGEREF _Toc28162 26 HYPERLINK l _Toc21158 三、模擬檢測 PAGEREF _Toc21158 29【題型一】多元（多參）：放縮型【典例分析】（2022全國高三專題練習）設，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)不等式在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，用導數(shù)法求得最大值，轉(zhuǎn)化為 ，再令，得到，求其最大值即可.【詳解】因為不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，則 在上恒成立，令，所以，若，則 ， 在遞增，當時， ，不等式不成立，故，當時，當時，所以當時，取

4、得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當時，當時，所以當時，取得最小值，所以的最小值是故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律本題型最早源于新課標2012年導數(shù)壓軸大題，處理有兩個關鍵步驟1.含參式子求最值2.二次構(gòu)造時，不完全是“恒成立”型，而是“存在型”【變式演練】1.（2022全國高三專題練習）已知函數(shù)，若時，恒有，則的最大值為ABCD【答案】C【分析】對函數(shù)求導并帶入已知不等式中，將不等式恒成立問題由構(gòu)造新函數(shù)并借助導數(shù)利用分類討論求最小值即可求出ab的不等式關系，進而表示，再令并構(gòu)造，利用導數(shù)求得最大值即可.【詳解】因為函數(shù)，則，由題可知，對，恒有成立，令，則，當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且時

5、，不符合題意；當時，當時，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減；所以，故，令，則，且，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故，綜上所述，的最大值為.故選：C2.（2022全國高三專題練習）已知函數(shù)若不等式對恒成立，則的最小值是（）ABCD【答案】B【分析】通過將不等式變形，即需要證明在上恒成立，再通過對求導，找出求出的最大值，再證明大于等于零在上恒成立即可【詳解】解法1：令，則，當時，單調(diào)遞增，無最大值，不合題意；當時，令，則，時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，即，由的導數(shù)為，當時，且，；當時，可得時，取得最小值，上的最小值為，故選B3.（2019湖北模擬）已知不等式x3lnx1mlnxn

6、（m，nR，且m3）對任意實數(shù)x恒成立，則的最大值為A、2ln2 B、ln2 C、1ln2 D、2ln2解答：解：令f（x）x3lnx1mlnxn，則f（x）1(m3)/x（x0），若m30，則f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，由當x0時，f（x），不合題意；m30，由f（x）0，得xm3，當x（0，m3）時，f（x）0，當x（m3，）時，f（x）0，當xm3時，f（x）有最小值，則f（m3）m33ln（m3）1mln（m3）n0，即n3m4（m3）ln（m3），令g（x）當x（3，1）時，g（x）0，當x（1，）時，g（x）0，當x1時，g（x）有最大值為ln2即的最大值為ln2故選：B【題型二

7、】多元（多參）：方程與函數(shù)【典例分析】（2022全國高三專題練習）已知a，b分別滿足，則ab_【答案】【分析】同構(gòu)化處理，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性確定答案【詳解】，且，令，該函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，即，則故答案為：.【提分秘籍】基本規(guī)律利用方程或者不等式，進行“二次構(gòu)造”求導求最值【變式演練】1.若關于的不等式在上恒成立，則的最大值為_【答案】【分析】分類討論，時不合題意；時求導，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡得，構(gòu)造放縮函數(shù)對自變量再研究，可解,【詳解】令；當時，不合題意；當時，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處

8、取極小值，即最小值為.若，則，即.當時，當時，則.設，則.當時，；當時，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為： 2.（2022湖北孝昌縣第一高級中學三模）若對于任意的x，不等式恒成立，則b的取值范圍為_【答案】【分析】不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，設，對求導得的最小值為，所以，即，z令，轉(zhuǎn)化為，對求導知當時，取最大值為，即可求出b的取值范圍.【詳解】由，得，設，則,令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，所以，所以，即，令，則，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，取最大值為，所以b的取值范圍為.故答案為：.3.（2022天津津衡高級中學有限公司高三階

9、段練習）已知函數(shù)的定義域為，若時，取得最小值，則的取值范圍是_【答案】【分析】先通過時，取得最小值，解出，再通分換元令，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求得最小值即得的取值范圍.【詳解】由題意知：，令，解得，故函數(shù)在遞減，在遞增，又時，取得最小值，故，即.，令，則，令，由對勾函數(shù)易知在上單調(diào)遞增，故，當且僅當，即時取等，故的取值范圍是.故答案為：.【題型三】多元（多參：極值點偏移型【典例分析】（2022全國高三專題練習）已知方程有兩個不同的實數(shù)根，（），則下列不等式不成立的是（）ABCD【答案】D【分析】由題設，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點且橫坐標分別為，（），利用導數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間，進而可得且有，令則，

10、構(gòu)造中間函數(shù)并利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而判斷的符號，即可確定A、B的正誤；構(gòu)造，利用導數(shù)研究單調(diào)性，判斷C、D的正誤.【詳解】由題意，即與在上有兩個交點且橫坐標分別為，（），而，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；的極小值也是最小值為，而，要使題設成立，則且有.令，則，若且，即在上單調(diào)遞減，且當時單調(diào)遞增，故在右側(cè)存在，使，即，若，且恒成立，即，故A、B正確；令且，則，即，遞減；，遞增；，故單調(diào)遞增，即，易知C正確，D錯誤；故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律1.極值點偏移小題是屬于“大題”題型。2.如果只是做小題，可以考慮畫出草圖，粗略的可以判斷真假一般思路1.求出函數(shù)的極值點；2.構(gòu)造一元差函數(shù)；3.確

11、定函數(shù)的單調(diào)性；4.結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關系【變式演練】1.（2019遼寧高三期中（文）已知函數(shù)有兩個零點、，則下面說法不正確的是（ ）ABCD有極小值點，且【答案】C【分析】先證明出對數(shù)平均不等式，由題意得出，將兩式作差結(jié)合對數(shù)平均不等式可判斷出A、B選項的正誤，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的極值以及該函數(shù)有兩個零點可判斷出選項的正誤，求出極值點，將中兩等式相加可判斷D選項的正誤.【詳解】先證明對數(shù)平均不等式.先考慮不等式，設，即證，即證，令，即證不等式.構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當，且時，；接下來考慮不等式，設，即證，即證，設，即證不等式.構(gòu)造函數(shù)，則

12、，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當，且時，有.即當，且時，.對于C選項，.當時，對于任意恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多有一個零點；當時，令，得.當時，當時，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，由于該函數(shù)有兩個零點，則，即，解得，C選項錯誤；對于A、B選項，由于函數(shù)有兩個零點、，且，由于，則，且有，則，兩個等式兩邊取自然對數(shù)得，兩式相減得，由對數(shù)平均不等式得，即，A、B選項都正確；對于D選項，由C選項可知，將中兩個等式相加得，即，D選項正確.故選C.2.（2022全國高三專題練習）已知，若，且，則與2的關系為ABCD大小不確定【答案】A【分析】先求導求出的極

13、大值點為1，再比較和的大小得出，再根據(jù)當時，單調(diào)遞減可得【詳解】由題，,令則有，所以當時，當時，所以,在時取得極大值和最大值.又當趨近于正無窮時,正向趨近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令 ,則,，對于任意的,分別取兩點、，現(xiàn)在比較和的大小. ，令分子部分為,.求導有,當時, ;當時,又，故單調(diào)遞增且大于0.所以,在 上是單調(diào)增函數(shù),且,故,即，因為，在上單調(diào)遞減且,所以在點的右側(cè)必能找到一點,使得,且，故，令,則有，故選A3.（2022全國高三專題練習）若有兩個不同零點，且，則的取值范圍是_(其中)【答案】【分析】由，令，討論單調(diào)性，作出圖像，找出臨界位置即可.【詳解】因為，所以，在

14、上有兩個不同的根，令，則，由得：,且時，且時，如圖，所以，當時，由可得，所以，即，所以，所以.故答案為：.【題型四】多元（多參）：零點多項式【典例分析】（2021全國模擬預測）已知函數(shù)，若方程有4個不同的實根，則的取值范圍是_【答案】【分析】先做出函數(shù)，的大致圖象，利用圖像的對稱性得到， ，再由得，所以規(guī)定函數(shù)設，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求出的取值范圍【詳解】作出，的大致圖象如圖所示，由，的圖象都關于直線對稱可得，由得，所以設，則，所以在上單調(diào)遞增，的取值范圍是故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律數(shù)形結(jié)合，利用導數(shù)畫圖時，要注意水平漸線與豎直漸近線【變式演練】1.（2021全國高三專題練習（文）已知，若

15、函數(shù)(為實數(shù))有兩個不同的零點，且，則的最小值為_.【答案】【分析】由題可知有兩個不等實根，設，則，根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖像可知，在上有兩個不同的實根，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】，求導，在上單調(diào)遞增.函數(shù)有兩個不同零點，等價于方程有兩個不等實根.設，則，又在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖像，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實根，則，則，.設，則，在上單調(diào)遞增，且，由零點存在性定理知，在上有唯一零點，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：2.（2021江蘇高三開學考試）已知函數(shù)，若，則的最小值為_.【答案】【分析】先證明據(jù)，結(jié)合，求出，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出代

16、數(shù)式的最小值即可【詳解】，即，又在，上單調(diào)遞增，故由得，故，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故答案為：3.（2022浙江高三專題練習）設函數(shù)已知，且，若的最小值為，則a的值為_【答案】1【分析】令，由圖象可知，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最小值即得.【詳解】令，由圖象如圖所示可知因為，則，得，所以令，則，當時，即時，在上單調(diào)遞減，所以，解得；當時，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得與矛盾，舍去綜上可得，故答案為：1.【題型五】多元（多參）：凸凹翻轉(zhuǎn)型【典例分析】（2023江蘇南京市中華中學高三階段練習）已知實數(shù)，滿足，則的值為ABCD【答案】A【分析】設，得，變形

17、為，令，求導求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設，則，令，(m)=m0,m1,(m)0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，,故x+y=2故選A【提分秘籍】基本規(guī)律凸凹翻轉(zhuǎn)型常見思路，如下圖 轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題是關鍵，是難題【變式演練】1.已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點定義，令，可得，構(gòu)造函數(shù)，求導并令，解得，且根據(jù)導數(shù)的符號判斷單調(diào)性，進而可得在處取得最大值。所以可得，進而根據(jù)極限值情況可得m的取值范圍?！驹斀狻苛?，可化為，令，令，得，當時，；當時，所以，先增后減，即從負無窮增大到，然后遞減到，而函數(shù)是時由

18、正無窮遞減到0，然后又逐漸增大，所以，即所以選B2.已知實數(shù)，滿足，則的值為ABCD【答案】A【分析】設，得，變形為，令，求導求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設，則，令，(m)=m0,m1,(m)0時, 0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(0),滿足題意.（2）當a0時,.若a0時，則，當或時，0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.又當時，所以x=0為函數(shù)f(x)的最大值點，符合題意；若a0時，則當時，不符合題意；綜上所述：.故答案為：.3.設a，b是正實數(shù)，函數(shù)，.若存在，使成立，則的取值范圍為_.浙江省金華市浙江師大附屬東陽花園外國語學校2020

19、-2021學年高三上學期期中數(shù)學試題【答案】【分析】由區(qū)間的表示可知,令，存在，使成立等價于，求導后判斷導數(shù)的正負號，即可討論出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】存在，使成立，得；令；，令，即時，遞增；時，遞減；若，即在上單調(diào)遞減；，對恒成立；若，即，在上先遞減后遞增；，即，綜上的取值范圍為.故答案為：.【題型七】多元（多參）：換元型（比值換元）【典例分析】已知函數(shù)有兩個不同的零點為，若恒成立，則實數(shù)的最大值為_【答案】4【分析】根據(jù)，是的兩個不同的零點列方程組，由此化簡不等式得到恒成立通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求得的取值范圍.【詳解】的定義域為.，是的兩個不同的零點，不妨設則，

20、兩式相加，得，故.兩式相減，得，故，即，也即恒成立令，則有恒成立，即恒成立記，則，下證充分性時，在上單調(diào)遞增，故恒成立，得證所以實數(shù)的最大值為.故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律1.主要是比值代換。2.整體代換?！咀兪窖菥殹?.（2022全國高三專題練習）已知存在，若要使等式成立（e=2.71828），則實數(shù)的可能的取值是（）ABCD0【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，求出的取值范圍，進而可得的取值范圍，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】解：，令，又，且，令，則，再令，在上單調(diào)遞增又，在上，；在上，則在上，；在上，且當時，；當時，或?；蛩越Y(jié)合選項，可知答案選B.故選：B2.（2023全國高三專題練習）已

21、知函數(shù)，當，恒成立，則的最大值為_.【答案】1【分析】令，則，先由得，再由對恒成立得，結(jié)合得，往下證明時，存在實數(shù)使得對恒成立，即可說明的最大值為1.【詳解】令，則，當，恒成立，則有，由得，因為任意的，都有，所以，結(jié)合，得.當時，令，則，由得，；由得，；所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，由，得，對恒成立.所以，取，有恒成立.綜上可知，的最大值為1.故答案為：1.3.（2022全國高三專題練習）已知，則的最小值是_.【答案】.K【解析】由題意有且，結(jié)合已知有，令，利用導數(shù)研究其單調(diào)性求最值即可.【詳解】由題意，即有且，將代入化簡得：，令，則有，當，有，單調(diào)遞減；當，有，單調(diào)遞增；，故答案為：【

22、題型八】多元（多參）：切線放縮【典例分析】（2022全國高三專題練習）已知，若關于的不等式恒成立，則的最大值為_【答案】【分析】已知不等式等價轉(zhuǎn)化為恒成立，在a=0時易得ab=0;當a0時，設函數(shù),函數(shù)圖象在直線下方時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導數(shù)求得相切時a,b滿足的條件，進而得到當函數(shù)圖象在直線下方時，得到,記,利用導數(shù)研究單調(diào)性求得最大值，即得所求.【詳解】原不等式等價于：恒成立，由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易知，當時不等式為對于x0恒成立，需要，此時,當時，設函數(shù),當直線與函數(shù)圖象相切時，設切點坐標為,則,即。所以當函數(shù)圖象在直線下方時，,記,則,令，解得當時,單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，,

23、綜上，的最大值為：，故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，求最值問題，關鍵是將已知不等式分離為兩個易于處理的函數(shù)之間的不等關系，利用數(shù)形結(jié)合方法求得a,b滿足的條件，得到后，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最大值.【提分秘籍】基本規(guī)律一般能切線放縮的，多是簡單的凸函數(shù)或者凹函數(shù)【變式演練】1.（2020四川二模（理）若關于x的不等式恒成立，則的最大值是_.【答案】【分析】由，原不等式可化為.再利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象，根據(jù)的圖象恒在的圖象的上方，對進行分類討論，即可得到答案.【詳解】由，原不等式可化為.設，則，當時，遞增；，遞減.所以，在處取得極大值，且為最大值；時，. 的圖象恒在的圖

24、象的上方，顯然不符題意；當時，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，所以取得最大值為.此時，直線與在點處相切.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)及其應用等基礎知識；考查抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.2.（018江蘇南京高三期中）存在使對任意的恒成立，則的最小值為_.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線恒在上方來求解，利用導數(shù)與切線的知識將轉(zhuǎn)化為只含的表達式，并利用導數(shù)求得這個表達式的最小值.【詳解】存在使對任意的恒成立，則等價于等價于存在，在的上方.直線過定點，即定點在直線上，設直線與相切于點，所以，由得，化簡得，故.構(gòu)造函數(shù)，則，所以當時，函數(shù)

25、遞減，當時，函數(shù)遞增，所以.所以的最小值為.故答案為：3.（2020全國高三專題練習（文）若關于的不等式恒成立，則的最小值是_.【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)，求得導數(shù)，判斷單調(diào)性、極值和最值，作出的圖象，運用函數(shù)圖象的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合確定的最小值即可.【詳解】解：設，當時，遞增；，遞減，可得在處取得極大值，且為最大值1，且時，作出的圖象，滿足題意時，的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當時，可令，即，故取到最小值時，直線在軸上的截距最大，再令，可得，由此推得的最小值是，故答案為：.【題型九】多元（多參）：絕對值型maxmin或minmax【典例分析】（2020浙江杭州三模）已知函數(shù).當，的最大值為，

26、則的最小值為_【答案】7【分析】，設函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到，分別計算最值得到答案.【詳解】，設，則恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故；設，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，故，當時等號成立；且，故，當時等號成立.綜上所述：.故答案為：7.【變式演練】1.（2020江蘇揚州中學高三階段練習）設函數(shù)，其中.若恒成立，則當取得最小值時，的值為_.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)的圖象關于點對稱，然后分三種情況進行討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出函數(shù)在區(qū)間上最值的可能取值，利用絕對值三角不等式可求出當取得最小值時的值.【詳解】令函數(shù)，則，因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，且，所以當時，所以函數(shù)在上單

27、調(diào)遞增，所以，兩式相加可得，此時，當時，取得最小值；當時，對任意的，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，兩式相加可得，此時當時，取得最小值；當時，令，得，令，列表如下： 極大值 極小值 不妨設，則，則，所以，因為，且，所以，因為，若，則，若，則，但，因為，所以，當時，當且僅當時，即當時，取得最小值；當時，綜上所述，當當時，取得最小值，此時.故答案為：【點睛】本題考查利用絕對值三次函數(shù)的最值求參數(shù)、絕對值三角不等式的運用、通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；考查運算求解能力和分類討論的思想；充分利用三次函數(shù)的單調(diào)性、求出絕對值三次函數(shù)的最大值的可能值、并結(jié)合絕對值三角不等式的性質(zhì)是求解本題的關鍵；屬

28、于抽象型、難度大型試題.2.（2018浙江高三階段練習）設函數(shù)，若對任意的實數(shù)和實數(shù)，總存在，使得，則實數(shù)的最大值是_【答案】【分析】先由題意，得到原問題等價于，構(gòu)造函數(shù)，且，得到，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標相等時，兩縱坐標的豎直距離；畫出對應圖像，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解，即可得出結(jié)果【詳解】原問題等價于，構(gòu)造函數(shù)，且，則，解得：；所以，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標相等時，兩縱坐標的豎直距離，畫出如下圖像，由圖顯然，當函數(shù)位于直線與直線正中間時，函數(shù)取得最大值中的最小值，易知，直線的方程為：，又，令，解得或（舍去），在遞減，在 遞增.則直線的方程為，所以； 故 ，即實數(shù)的最大值是.故

29、答案為：3.（2022全國高三專題練習）已知函數(shù)，記為的最大值，則的最小值為_.【答案】【分析】對求導，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得的最值，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為=，所以，所以當時，又因為為的最大值，所以，兩式相加可得：因為，因為二次函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，所以即，當且僅當，時取等號，的最小值為.故答案為：. 1（全國高考真題（文）已知函數(shù)f(x)=,下列結(jié)論中錯誤的是A, f()=0B函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形C若是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間（-, ）單調(diào)遞減D若是f（

30、x）的極值點，則 ()=0【答案】C【詳解】試題分析：由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，當x時，函數(shù)值，當x時，函數(shù)值也，又三次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，故一定穿過x軸，即一定x0R，f(x0)0，選項A中的結(jié)論正確；函數(shù)f(x)的解析式可以通過配方的方法化為形如(xm)3n(xm)h的形式，通過平移函數(shù)圖象，函數(shù)的解析式可以化為yx3nx的形式，這是一個奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱，故函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形，選項B中的結(jié)論正確；由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，故函數(shù)如果存在極值點x1，x2，則極小值點x2x1，即函數(shù)在到極小值點的區(qū)間上是先遞增后遞減的，所以選項C中的結(jié)論錯誤；根據(jù)導

31、數(shù)與極值的關系，顯然選項D中的結(jié)論正確. 考點：函數(shù)的零點、對稱性、單調(diào)性、極值2（2021全國高考真題（理）設，若為函數(shù)的極大值點，則（）ABCD【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當時，由時，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題

32、主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解答.3（安徽高考真題（文）函數(shù)f（x）ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0【答案】A【解析】由圖像知f(0)d0，先對函數(shù)求導，由圖像可知有兩個不相等的正實根，且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可得a0，再結(jié)合根與系數(shù)的關系可判斷得答案【詳解】由圖像知f(0)d0，因為有兩個不相等的正實根，且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以a0，所以b0，所以a0，b0，d0.故選：A.【點睛】此題考查導函數(shù)與原函數(shù)的圖象關系，

33、理解利用導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性和極值之間的關系是解題的關鍵，屬于基礎題.4（福建高考真題（文）若a0，b0，且函數(shù)f（x）=4x3ax22bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A2B3C6D9【答案】D【詳解】試題分析：求出導函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：f（x）=12x22ax2b又因為在x=1處有極值a+b=6a0，b0當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等5（天津高

34、考真題（文）設函數(shù)，若實數(shù)滿足，則ABCD【答案】A【詳解】試題分析：對函數(shù)求導得，函數(shù)單調(diào)遞增，由知，同理對函數(shù)求導，知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由知，所以.考點：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.【方法點睛】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系，對函數(shù)求導得，函數(shù)單調(diào)遞增，進一步求得函數(shù)的零點；同理對函數(shù)求導，知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由知的零點，所以g（a）lna+a23g（1）ln1+1320，f（b）eb+b2f（1）e+12e10即.6（安徽高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間0,1上的圖像如圖所示，則m，n的值可能是ABCD【答案】B【詳解】試題分析：原函數(shù)的極大值點小于0.5把答案代入驗證看哪個對應的極值點符合要求即可

35、得出答案解：由于本題是選擇題，可以用代入法來作，由圖得，原函數(shù)的極大值點小于0.5當m=1，n=1時，f（x）=ax（1-x）=-a(x-)2+在x=處有最值，故A錯；當m=1，n=2時，f（x）=axm（1-x）n=ax（1-x）2=a（x3-2x2+x），所以f（x）=a（3x-1）（x-1），令f（x）=0 x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故B對；當m=2，n=1時，f（x）=axm（1-x）n=ax2（1-x）=a（x2-x3），有f（x）=a（2x-3x2）=ax（2-3x），令f（x）=0 x=0，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故C錯；當m=3，n=1時，f（x）=axm（1-x

36、）n=ax3（1-x）=a（x3-x4），有f（x）=ax2（3-4x），令f（x）=0，x=0，x=，即函數(shù)在x= 處有最值，故D錯故選 B7（2022全國高考真題（理）當時，函數(shù)取得最大值，則（）ABCD1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有故選：B.1.（2020浙江臺州市新橋中學高三階段練習）已知不等式恒成立，則的最小值為_.【答案】【分析】令，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，得到，得到，設設，設，得到，利用導數(shù)求得函數(shù)最大值，即可求解.【詳解】令，其中

37、，可得，當時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值，不符合題意；當時，令，即，解得，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，且，因為恒成立，即恒成立，即，可得恒成立，設，設，可得，則，令，即，解得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，且，所以，即的最小值為.故答案為：.2.（2022全國高三專題練習）已知，（為常數(shù)），的最大值為，則_【答案】2【分析】令，得到，然后對取對數(shù)，構(gòu)建新的函數(shù)，然后利用導數(shù)得到，進一步得到，最后得到結(jié)果.【詳解】令，所以，其中，令，且，所以可知：，；，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，由，所以函數(shù)在單

38、調(diào)遞增所以由，即，所以故答案為：23.已知函數(shù)，若且，關于下列命題：正確的個數(shù)為 A1個B2個C3個D4個黑龍江省大慶市大慶實驗中學2018屆高三上學期期初考試數(shù)學（文）試題【答案】B【詳解】,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減f(0)=1f(1)=0，當x0，所以即x軸是函數(shù)的漸近線，畫出草圖如下由圖可知（1）（4）錯，（2）（3）對選B.4.（2021河北衡水市冀州區(qū)滏運中學高三期末）函數(shù)，若存在a，b，c（），使得，則的最小值是_.【答案】.【解析】先畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得出a，b，c的范圍以及，再設，解出b，c，代入所求的函數(shù)關系式中，再換元得到一個新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最小值即可.【詳解】設，則，且，由，得，由，得，所以，設，則，設，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故的最小值是.故答案為：.5.（2022全國高三專題練習）若是實數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，則_【答案】【分析】令，結(jié)合導數(shù)可求即；令同理結(jié)合導數(shù)可求出，即，從而可得，再結(jié)合，可得，即可求出的值，