新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題28 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積（解析版）

1、專題28空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積 【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）知識(shí)點(diǎn)二：簡(jiǎn)單凸多面體棱柱、棱錐、棱臺(tái)1棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：

2、側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體2棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐3棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示知識(shí)點(diǎn)三：簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球1圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱2圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋

3、轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐3圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)4球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）知識(shí)點(diǎn)四：組合體由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體知識(shí)點(diǎn)五：表面積與體積計(jì)算公式表面積公式表面積柱體為直截面周長錐體臺(tái)體球體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球知識(shí)點(diǎn)六：空間幾何體的直觀圖1斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，建立直角坐標(biāo)系（2）畫出斜坐標(biāo)系在畫直觀圖的紙上（平面上

4、）畫出對(duì)應(yīng)圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，使（或），它們確定的平面表示水平平面（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话憧珊?jiǎn)化為“橫不變，縱減半”（4）擦去輔助線圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）被擋住的棱畫虛線注：直觀圖和平面圖形的面積比為2平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)【題型歸納目錄】題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型二：空間幾何體的表面積與體積題型三：直觀圖題型四：最短路徑問題【典例例題】題型一

5、：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1（2022全國模擬預(yù)測(cè)）以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè)B平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形C正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直D棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直【答案】D【解析】對(duì)于A，經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，故A正確，對(duì)于B，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故B正確，對(duì)于C，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，故C正確，對(duì)于D，棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，側(cè)棱中有可能與底面垂直，故D錯(cuò)誤，故選：D例2（2022全國高三專題練習(xí)（文）下列說法正確的是（）A經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B各個(gè)面都是三角形的多面體一定是三棱

6、錐C各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一個(gè)三棱錐的四個(gè)面可以都為直角三角形【答案】D【解析】A.錯(cuò)誤，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；B.錯(cuò)誤，正八面體的八個(gè)面也都是正三角形；C.錯(cuò)誤，側(cè)面都是正方形，但底面如果不是正多邊形，也不是正棱柱，比如側(cè)面是正方形，但底面是菱形的柱體不是正四棱柱；D.正確，底面是直角三角形，一條側(cè)棱和底面垂直，并且垂直落在非直角頂點(diǎn)處的三棱錐，即可滿足條件.故選：D例3（2022海南模擬預(yù)測(cè)）“三棱錐是正三棱錐”的一個(gè)必要不充分條件是（）A三棱錐是正四面體B三棱錐不是正四面體C有一個(gè)面是正三角形D是正三角形且【答案】C【解析】由正三棱錐的定義，得三棱錐是正三棱錐等價(jià)于

7、“有一個(gè)面是正三角形，其他面是等腰三角形”，對(duì)于A：因?yàn)槿忮F是正四面體等價(jià)于四個(gè)面是全等的正三角形，所以“三棱錐是正四面體”是“三棱錐是正三棱錐”的充分不必要條件，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)橐粋€(gè)正三棱錐可能是正四面體，也可能不是正四面體，所以“三棱錐不是正四面體”是“三棱錐是正三棱錐”的既不充分也不必要條件，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)槿忮F是正三棱錐等價(jià)于有一個(gè)面是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“有一個(gè)面是正三角形”是“三棱錐是正三棱錐”的必要不充分條件，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)槿忮F是正三棱錐等價(jià)于有一個(gè)面是正三角形，其他面是等腰三角形，當(dāng)?shù)切尾灰欢ㄊ?，所以“是正三角形且”是?/p>

8、三棱錐是正三棱錐”的充分不必要條件，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.例4（2022全國高三專題練習(xí)）給出下列命題:在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3【答案】A【解析】不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線;不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”,如圖(1)所示;不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體

9、不是圓錐,如圖(2)所示,它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體;錯(cuò)誤,棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長不一定相等.故選：A例5（2022山東省東明縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B過空間內(nèi)不同的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C棱錐的所有側(cè)面都是三角形D用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】C【解析】對(duì)：根據(jù)棱柱的定義知，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，所以錯(cuò)誤，反例如圖：對(duì)：若這三點(diǎn)共線，則可以確定無數(shù)個(gè)平面，故錯(cuò)誤；對(duì)

10、：棱錐的底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故正確；對(duì)：只有用平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，故錯(cuò)誤，故選：.例6（2022全國高三專題練習(xí)）給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）ABCD【答案】A【解析】不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；錯(cuò)誤，棱

11、臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.故選：A.例7（2022全國高三專題練習(xí)）萊昂哈德歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，他的研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學(xué)分支，有許多公式定理解法函數(shù)方程常數(shù)等是以歐拉名字命名的.歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E面數(shù)F之間總滿足數(shù)量關(guān)系，此式稱為歐拉公式，已知某凸32面體，12個(gè)面是五邊形，20個(gè)面是六邊形，則該32面體的棱數(shù)為_；頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.【答案】 【解析】因?yàn)槟惩?2面體，12個(gè)面是五邊形，20個(gè)面是六邊形，則該32面體的棱數(shù)：；因?yàn)轫旤c(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E面數(shù)F之間總滿足數(shù)量關(guān)系，設(shè)頂

12、點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則，解得，故答案為：；.例8（2022安徽合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）如圖，正方體上、下底面中心分別為，將正方體繞直線旋轉(zhuǎn)，下列四個(gè)選項(xiàng)中為線段旋轉(zhuǎn)所得圖形是（）ABCD【答案】D【解析】解：設(shè)正方體的棱長等于，的中點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離等于，而、兩點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離等于，的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓較小，可得所得旋轉(zhuǎn)體的中間小，上、下底面圓較大由此可得A、C項(xiàng)不符合題意，舍去又在所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上有無數(shù)條直線，且直線的方向與轉(zhuǎn)軸不共面，B項(xiàng)不符合題意，只有D項(xiàng)符合題意故選：D例9（多選題）（2022全國高三專題練習(xí)）如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）（多選）A是棱臺(tái)B是圓臺(tái)C是棱

13、錐D是棱柱【答案】CD【解析】題圖中的幾何體不是由棱錐被一個(gè)平面所截得到的，且上、下底面不是相似的圖形，所以不是棱臺(tái)；題圖中的幾何體上、下兩個(gè)面不平行，所以不是圓臺(tái)；圖中的幾何體是三棱錐；題圖中的幾何體前、后兩個(gè)面平行，其他面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行，所以是棱柱.故選:CD.例10（2022陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理）碳60（）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個(gè)面，且滿足：頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)2則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為_.【答案】【解析】根據(jù)

14、題意， 碳（）由個(gè)頂點(diǎn)，有個(gè)面，由頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)2可得：棱數(shù)為，設(shè)正五邊形有個(gè)，正六邊形有個(gè)，則，解得：，所以六元環(huán)的個(gè)數(shù)為個(gè)，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】熟悉幾何體的基本概念.題型二：空間幾何體的表面積與體積例11（多選題）（2022湖北高三階段練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄決勝千里大智大勇的象征（如圖1）圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺(tái)的（）A高為B體積為C表面積為D上底面積下底面積和側(cè)面積之比為【答案】AC

15、【解析】解：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得圓臺(tái)的母線長，圓臺(tái)的高為，則選項(xiàng)正確；圓臺(tái)的體積，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓臺(tái)的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的表面積為，則正確；由前面可知上底面積下底面積和側(cè)面積之比為，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：AC例12（2022青海海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）設(shè)一圓錐的側(cè)面積是其底面積的3倍，則該圓錐的高與母線長的比值為（）ABCD【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意得，解得，又，則，故選：B.例13（2022云南二模（文）已知長方體的表面積為62，所有棱長之和為40，則線段的長為（）ABCD【答案】A【解析】由題意知：，故，則

16、，所以.故選：A.例14（2022福建省福州第一中學(xué)三模）已知，分別是圓柱上下底面圓的直徑，且，.，O分別為上下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐的體積為18，則該圓柱的側(cè)面積為（）A9B12C16D18【答案】D【解析】分別過作圓柱的母線，連接，設(shè)圓柱的底面半徑為則三棱錐的體積為兩個(gè)全等四棱錐減去兩個(gè)全等三棱錐即，則圓柱的側(cè)面積為故選：D例15（2022河南模擬預(yù)測(cè)（文）在正四棱錐中，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（）ABC4D【答案】C【解析】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.取BC的中點(diǎn)E，連接.因?yàn)檎睦忮F的體積是8，所以，解得.因?yàn)椋?/p>

17、所以在直角三角形中,，則的面積為，故該四棱錐的側(cè)面積是.故選：C例16（2022全國高三專題練習(xí)）九章算術(shù)中將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和，則方亭的體積為（）ABCD【答案】C【解析】由題意得，設(shè)，則，.過點(diǎn)、在平面內(nèi)分別作，垂足分別為點(diǎn)、，在等腰梯形中，因?yàn)椋瑒t四邊形為矩形，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以等腰梯形的面積為，得.所以，故方亭的體積為.故選：C.例17（2022湖南高三階段練習(xí)）如圖，一種棱臺(tái)形狀的無蓋容器（無上底面）模型其上、下底面均為

18、正方形，面積分別為，且，若該容器模型的體積為，則該容器模型的表面積為（）ABCD【答案】C【解析】由題意得該容器模型為正四棱臺(tái)，上、下底面的邊長分別為2cm，3cm.設(shè)該棱臺(tái)的高為h，則由棱臺(tái)體積公式，得： 得，所以側(cè)面等腰梯形的高，所以，故選：C例18（2022海南?？诙＃┤鐖D是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，其面積為，兩個(gè)圓弧所在的圓半徑分別為2和4，則該圓臺(tái)的體積為（）ABCD【答案】D【解析】圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，得，所以扇環(huán)的兩個(gè)圓弧長分別為和，設(shè)圓臺(tái)的上底半徑，下底半徑分別為，圓臺(tái)的高為，則所以，又圓臺(tái)的母線長所以圓臺(tái)的高為，所以圓臺(tái)的體積為故選：D.例

19、19（2022全國高三專題練習(xí)）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)閳A臺(tái)下底面半徑為5，球的直徑為，所以圓臺(tái)下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫出軸截面如圖， 設(shè)圓臺(tái)上底面圓的半徑，則所以球心到上底面的距離，即圓臺(tái)的高為3，所以母線長，所以，故選：C.例20（2022河南安陽模擬預(yù)測(cè)（文）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，AB，CD分別為上、下底面圓的直徑，則四面體ABCD的體積為（）ABC1D【答案】D【解析】解：如圖所示：連接，因?yàn)?，且，所以平面，所以，故選：D例21（2022山東煙臺(tái)市教育科

20、學(xué)研究院二模）魯班鎖是我國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部的凹凸部分嚙合十分精巧圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖它的表面由八個(gè)正三角形和六個(gè)正八邊形構(gòu)成，其中每條棱長均為若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩擦），則此正方體表面積的最小值為_【答案】【解析】將魯班鎖補(bǔ)成正方體，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在魯班鎖所在幾何體上任取一個(gè)頂點(diǎn)，觀察圖形可知，到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值在、中取得，結(jié)合圖形可知、，則，所以，到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值，所以，若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩

21、擦），設(shè)該正方體的棱長的最小值為，則，該正方體的表面積為.故答案為：.例22（2022湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓柱的體積為，底面直徑與母線長相等，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，與圓柱等高，底面是頂點(diǎn)在圓周上的正三角形，則三棱柱的側(cè)面積為_.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，設(shè)三棱柱底面邊長為，則，三棱柱的側(cè)面積為，故答案為：例23（2022上海閔行二模）已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的_倍.【答案】2【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴(kuò)大為原來的4倍，則擴(kuò)大后的體積為，因?yàn)楦卟蛔?，故體積，即底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍，原來側(cè)面積為，擴(kuò)大后

22、的圓柱側(cè)面積為，故側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍.故答案為：2例24（2022浙江紹興模擬預(yù)測(cè)）有書記載等角半正多面體是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖，將正四面體沿相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條梭上的個(gè)點(diǎn)截去一個(gè)正三棱錐，如此共截去個(gè)正三棱錐，若得到的幾何體是一個(gè)由正三角形與正六邊形圍成的等角半正多面體，且正六邊形的面積為，則原正四面體的表面積為_【答案】【解析】設(shè)正六邊形的邊長為，根據(jù)題意有，可得，由題意可知，原正四面體的棱長為，故原正四面體的表面積為，故答案為：.例25（2022上海徐匯三模）設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)、間的距離為，圓錐頂點(diǎn)到直線的距離為，和圓錐的軸的距離為，則該圓錐的側(cè)面積為_.【

23、答案】【解析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓圓心為點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，則，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，為直線、的公垂線，故，因?yàn)?，所以，圓錐的底面圓半徑為，母線長為，因此，該圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.例26（2022全國高三專題練習(xí)）中國古代的“牟合方蓋”可以看作是兩個(gè)圓柱垂直相交的公共部分，計(jì)算其體積所用的“冪勢(shì)即同，則積不容異”是中國古代數(shù)學(xué)的研究成果，根據(jù)此原理，取牟合方蓋的一半，其體積等于與其同底等高的正四棱柱中，去掉一個(gè)同底等高的正四棱錐之后剩余部分的體積（如圖1所示）現(xiàn)將三個(gè)直徑為4的圓柱放于同一水平面上，三個(gè)圓柱的軸所在的直線兩兩成角都相等，三個(gè)圓柱的公共部分為如圖2所示的幾

24、何體，該幾何體中間截面三角形邊長為 ，則該幾何體的體積為_【答案】【解析】根據(jù)題意，圖2立體圖形的一半，其體積等于與其同底等高的正三棱柱中，去掉一個(gè)與其同底等高正三棱錐之后的體積，因?yàn)樵搸缀误w中間截面三角形邊長為，所以該底面積，因?yàn)閳A柱的直徑為4，所以該幾何體一半的高為2，所以對(duì)應(yīng)正三棱柱及三棱錐的高均為2，所以對(duì)應(yīng)正三棱柱的體積，正三棱錐的體積，所以該幾何體的體積為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】熟悉幾何體的表面積、體積的基本公式，注意直角等特殊角.題型三：直觀圖例27（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，已知用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖是邊長為的正三角形，原的面積為 _【答案】【解析】過點(diǎn)作軸，且

25、交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，且交軸于點(diǎn)，則，所以，則，所以原三角形的高，底邊長為，其面積為故答案為：例28（2022浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，梯形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為（）ABCD【答案】B【解析】解：由題得,所以.故選：B例29（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，ABC是水平放置的ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）AABC是鈍角三角形BABC是等邊三角形CABC是等腰直角三角形DABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【解析】解：將其還原成原圖，如圖，設(shè)，則可得，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.例30（2022全國高三專題練習(xí)）如

26、圖，水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，則四邊形的周長為（）A20B12CD【答案】A【解析】由題設(shè)，則原四邊形中，又，故，且，所以四邊形的周長為.故選：A例31（2022全國高三專題練習(xí)（文）如圖，已知等腰直角三角形，是一個(gè)平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）ABCD【答案】D【解析】，由此可知平面圖形是如下圖所示的，其中，.故選：D.例32（2022全國高三專題練習(xí)）一個(gè)三角形的水平直觀圖在是等腰三角形，底角為，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點(diǎn)到軸距離是（）A1B2CD【答案】D【解析】過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，如圖，在中，由正弦定理得，于是得，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知

27、，在原平面圖形中，頂點(diǎn)到軸距離是.故選：D【方法技巧與總結(jié)】斜二測(cè)法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：題型四：最短路徑問題例33（多選題）（2022廣東廣州三模）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，且，則（）A該圓臺(tái)的高為B該圓臺(tái)軸截面面積為C該圓臺(tái)的體積為D一只小蟲從點(diǎn)沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為【答案】BCD【解析】如圖，作交于，易得，則，則圓臺(tái)的高為，A錯(cuò)誤；圓臺(tái)的軸截面面積為，B正確；圓臺(tái)的體積為，C正確；將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中，設(shè)為中點(diǎn)，圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形，由可得，則，又，則，即點(diǎn)到的中點(diǎn)所經(jīng)過的最短路程

28、為，D正確.故選：BCD.例34（2022河南洛陽三模（理）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_.【答案】【解析】如圖，將正方形、鋪平在同一平面上，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，故答案為：例35（2022黑龍江齊齊哈爾二模（文）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的有_.（填序號(hào)）直三棱柱外接球的體積為存在點(diǎn)E，使得為鈍角截面周長的最小值為【答案】【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，矩形中可得，平面，所以平面，所以是外心，同理是的外心，所以的中點(diǎn)是直三棱柱外接球的球心，由已知，又，所以，所以外接球的體積為，正確；矩形中，為直徑的圓與相切，切點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，當(dāng)

29、是上其他點(diǎn)時(shí)，錯(cuò)誤；中，把矩形與矩形攤平，得正方形，當(dāng)共線時(shí)，最短，最短為，所以截面周長的最小值為，正確故答案為：例36（2022河南二模（理）在正方體中，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_.【答案】【解析】如圖，連接、，將沿翻折到與在同一個(gè)平面，如下圖：已知為等邊三角形，為等腰三角形，兩個(gè)三角形有公共邊，則當(dāng)P是中點(diǎn)時(shí)，、P、三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值故答案為：例37（2022陜西寶雞二模（文）如圖，在正三棱錐中，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是_.【答案】【解析】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，因?yàn)?，所以，?dāng)蟲子沿爬行時(shí)，距離最短，又，所以蟲子爬

30、行的最短距離是.故答案為：.例38（2022安徽宣城二模（理）已知正四面體ABCD的棱長為2，P為AC的中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是DP的動(dòng)點(diǎn)，N是平面ECD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_.【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，由正四面體可知，又，面，又，面，當(dāng)最小時(shí)，面，故在線段上. 由面可得，又，將沿翻折到平面上，如圖所示：易知，則，故的最小值即到的距離，即.故答案為：.例39（2022新疆阿勒泰三模（理）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個(gè)邊長為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E，則螞蟻爬行的最短距離為（）ABCD【答案】C【解析】將圓柱側(cè)面展開半周，則展開矩形長為，.故選：C.例40（

31、2022云南昆明一中高三階段練習(xí)（文）一豎立在水平地面上的圓錐形物體，一只螞蟻從圓錐底面圓周上一點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)，已知圓錐底面半徑為1，母線長為3，則螞蟻爬行的最短路徑長為（）A3BCD【答案】B【解析】將圓錐沿過點(diǎn)母線展開，由，若扇形圓心角為，則，所得扇形圓心角，由余弦定理得螞蟻爬行的最短路徑長為.故選：B【方法技巧與總結(jié)】此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c(diǎn)間線段最短問題【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1（2022河北高三階段練習(xí)）已知圓錐的高為1，母線長為，則過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（）A2BCD3【答案】D【解析】如圖是圓錐的軸截面，由題意母線，高，則，是銳角

32、，所以，于是得軸截面頂角，設(shè)截面三角形的頂角為，則過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積，當(dāng)兩條母線夾角為時(shí)，截面面積為為所求面積最大值，故選：D.2（2022全國模擬預(yù)測(cè)（文）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點(diǎn)，在圓錐底面上，在圓錐側(cè)面上，則該正方體的棱長為（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意過頂點(diǎn)和正方體上下兩個(gè)平面的對(duì)角線作軸截面如下所示：所以，所以，為矩形，設(shè)，所以，所以，所以，即，即，解得.故選：C.3（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4，則圓錐的體積為（）ABCD【答案】D【解析】由題設(shè)，圓錐的體高、底面半徑均為，所以圓錐的體積為.故選：D

33、4（2022廣東深圳高三階段練習(xí)）通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺(tái)形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個(gè)半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)形容器的高為（）AcmB1cmCcmDcm【答案】D【解析】由已知圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為，則，解得，所以圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長分別為和，腰長為，即,過點(diǎn)作,為垂足，所以， 該圓臺(tái)形容器的高為，故選：D5（2022全國高三專題練習(xí)）已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（）ABCD【答案】C【

34、解析】由斜二測(cè)畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖如圖所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面積為.故選：C6（2022湖北天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的側(cè)面積為，高為，則該圓錐底面圓的半徑為（）A2B3C4D6【答案】B【解析】設(shè)該圓錐底面圓的半徑為，則，故，即，解得故選：B7（2022山西大同高三階段練習(xí)）正四棱臺(tái)的上下底面的邊長分別為24，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A56BCD【答案】B【解析】如圖所示， 在正四棱臺(tái)中，點(diǎn)分別為上、下底面的中心，連接，則由題意可知底面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則底面，四邊形為矩形，所以，因?yàn)椋?，即正四棱臺(tái)的高為，所以正四棱臺(tái)的體積為.故選：B.8（2

35、022江西九江三模（理）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（）ABCD【答案】D【解析】設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長滿足，解得：，故選：D.9（2022浙江湖州模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，將沿對(duì)角線翻折到在翻折的過程中，下列結(jié)論中不正確的是（）AB與可能垂直C直線與平面所成角的最大值是D四面體的體積的最大是【答案】C【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接 是以為斜邊的等腰直角三角形, 為等邊三角形, 面 ,

36、 ,故A正確對(duì)于B，假設(shè)，又 面，又,，故與可能垂直，故B正確當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)面，即為直線與平面所成角此時(shí)，故C錯(cuò)誤當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積最大，此時(shí)的體積為： ，故D正確故選：C10（2022全國高三專題練習(xí)）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（）ABCD【答案】C【解析】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積棱臺(tái)上底面積，下底面積，故選：C二、多選題11（2022河北高三階段練

37、習(xí)）如圖，正方體棱長為1，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A的最小值為B的最小值為C當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP最小，由于到直線的距離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將平面翻折到平面上，如圖，連接AC，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)取最小值A(chǔ)C，在三角形ADC中，,，故B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，到平面的距離為定值，又為定值，則為定值，即三棱錐的體積不變，故正確；對(duì)于D，由于平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，設(shè)以為球心，為半徑的球與面交線上任一點(diǎn)為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為 ，其內(nèi)切圓

38、半徑為 ，故此圓恰好為的內(nèi)切圓，完全落在面內(nèi)，交線長為，故正確故選：BCD.12（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則（）ABCD【答案】CD【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫?，則，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，則，則，則，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.13（2022江蘇常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）棱長為1的正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）AB三棱錐的體積為定值CD的最小值為【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，連接，由正方體可知，且平面，而，又，所以平面

39、，而平面，所以，即，故A正確；選項(xiàng)B，連接，由點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，得，平面，平面，故平面，即點(diǎn)到平面的距離為定值，又，故為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；選項(xiàng)C，連接，由點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，故，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，故，即，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.14（2022湖北高三階段練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄決勝千里大智大勇的象征（如圖1）圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別

40、是3和9，且，則該圓臺(tái)的（）A高為B體積為C表面積為D上底面積下底面積和側(cè)面積之比為【答案】AC【解析】解：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得圓臺(tái)的母線長，圓臺(tái)的高為，則選項(xiàng)正確；圓臺(tái)的體積，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓臺(tái)的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的表面積為，則正確；由前面可知上底面積下底面積和側(cè)面積之比為，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：AC三、填空題15（2022全國高三專題練習(xí)）已知一三角形ABC用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖是面積為的正三角形(如圖)，則三角形ABC中邊長與正三角形的邊長相等的邊上的高為_【答案】【解析】設(shè)正三角形的邊長為a，a=2，=故答案為：.16（2022上海模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為_；【答案】【解析】圓柱底面