(新高考)高考數(shù)學一輪考點復習7.3《直線、平面平行的判定與性質》教案 (含詳解)

PAGEPAGE15第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.結合立體幾何的定義、公理，會推導直線和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性質定理，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．常與求幾何體的體積計算相結合，會應用直線和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性質定理證明空間的線、面平行關系，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質定理兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b3.謹記兩個結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．(直線與平面平行的定義)如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的()A．一條直線不相交 B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交 D．任意一條直線都不相交解析：選D因為a∥平面α，直線a與平面α無公共點，因此a和平面α內的任意一條直線都不相交，故選D.2．(面面平行的判定定理)設α，β是兩個不同的平面，m是一條直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B當m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；當α∥β時，α內任一直線與β平行，因為m?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．3．(平行關系的判定)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．m∥α，n∥α，則m∥n B．m∥n，m∥α，則n∥αC．m⊥α，m⊥β，則α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，則α∥β解析：選CA中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n∥α或n?α，B不正確；根據(jù)線面垂直的性質，C正確；D中，α∥β或α與β相交，D不正確．4．(面面平行的性質定理)設α，β，γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(填序號)．解析：由面面平行的性質定理可知，①正確；當b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．故應填入的條件為①或③.答案：①或③二、易錯點練清1．(忽視面面平行的條件)下列條件中，能判斷兩個平面平行的是()A．一個平面內的一條直線平行于另一個平面B．一個平面內的兩條直線平行于另一個平面C．一個平面內有無數(shù)條直線平行于另一個平面D．一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面解析：選D由兩個平面平行的判定定理可知，如果一個平面內的兩條相交直線與另外一個平面平行，那么這兩個平面平行．故可知D符合．2．(對空間平行關系相互轉化的條件理解不到位)設m，l表示兩條不同的直線，α表示平面，若m?α，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的________條件．解析：由m?α，l∥α不能推出l∥m；由m?α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要條件．答案：既不充分也不必要3．(忽視線面平行的條件)(1)若直線a與平面α內無數(shù)條直線平行，則a與α的位置關系是______________．(2)已知直線a，b和平面α，β，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β的位置關系是______________．(3)若α∥β，直線a∥α，則a與β的位置關系是___________________________________．解析：(1)由直線與平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α內．(2)當a，b相交時，α∥β；當a，b平行時，α，β平行或相交．(3)當a在β外時，a∥β；當a在β內時，a∥α也成立．答案：(1)a∥α或a?α(2)平行或相交(3)a∥β或a?β考點一直線與平面平行的判定與性質考法(一)線面平行的判定[例1]如圖所示，在空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點．求證：PQ∥平面ABCD.[證明]法一：如圖，取AE的中點G，連接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因為PG∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ?平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如圖，連接EQ并延長，與AD的延長線交于點H，連接BH.因為EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ?平面ABCD，BH?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法(二)線面平行的性質定理的應用[例2]如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.[證明]如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴AP∥MO.又MO?平面BMD，AP?平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP?平面PAHG，∴AP∥GH.[方法技巧]線面平行問題的解題關鍵(1)證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．(2)應用線面平行性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．[針對訓練]如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.證明：(1)如圖，取BD的中點O，連接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO?平面EOC，EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O為BD的中點，所以BE＝DE.(2)如圖，取AB的中點N，連接DN，MN.因為M是AE的中點，N是AB的中點，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.因為△ABD為正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，MN?平面DMN，DN?平面DMN，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.

考點二平面與平面平行的判定與性質[典例]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵在△A1B1C1中，G，H分別是A1B1，A1C∴GH∥B1C1又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC∴GH與BC確定一個平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易證A1G綊EB，∴四邊形A1EBG∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.[方法技巧]1．判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行)．2．面面平行條件的應用(1)兩平面平行，分析構造與之相交的第三個平面，交線平行．(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行．[提醒]利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明在一個平面內的兩條直線是相交直線．[針對訓練]1.如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．(1)證明：平面BMN∥平面PCD；(2)若AD＝6，求三棱錐P-BMN的體積．解：(1)證明：如圖，連接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD為正三角形．∵M為AD的中點，∴BM⊥AD.∵AD⊥CD，CD?平面ABCD，BM?平面ABCD，∴BM∥CD.又BM?平面PCD，CD?平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分別為AD，PA的中點，∴MN∥PD.又MN?平面PCD，PD?平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM?平面BMN，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.(2)在(1)中已證BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM?平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3eq\r(3).∵M，N分別為AD，PA的中點，PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD＝3eq\r(2)，∴S△PMN＝eq\f(1,4)S△PAD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×(3eq\r(2))2＝eq\f(9,4).∴VP-BMN＝VB-PMN＝eq\f(1,3)S△PMN·BM＝eq\f(1,3)×eq\f(9,4)×3eq\r(3)＝eq\f(9\r(3),4).考點三平行關系的綜合[典例]如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求證：EF∥平面β；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．[解](1)證明：①當AB，CD在同一平面內時，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF?β，BD?β，∴EF∥平面β.②當AB與CD異面時，如圖所示，設平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥HD，∴四邊形ACDH是平行四邊形．在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，連接EG，F(xiàn)G，BH.∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.又EF?平面EFG，∴EF∥平面β.綜合①②可知，EF∥平面β.(2)如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝eq\f(1,2)BD＝3，MF＝eq\f(1,2)AC＝2.∴∠EMF為AC與BD所成的角或其補角，∴∠EMF＝60°或120°.∴在△EFM中，由余弦定理得EF＝eq\r(ME2＋MF2－2ME·MF·cos∠EMF)＝eq\r(32＋22±2×3×2×\f(1,2))＝eq\r(13±6)，即EF＝eq\r(7)或EF＝eq\r(19).[方法技巧]利用線面平行或面面平行的性質，可以實現(xiàn)與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應線段成比例或相似三角形來解決．[針對訓練]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點．(1)求證：PE∥平面BFG；(2)若PD＝AD＝1，AB＝2，求點C到平面BFG的距離．解：(1)證明：如圖，連接DE.∵在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱BC，AD的中點，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE∥BF.∵G是PA的中點，∴FG∥PD.∵PD?平面BFG，DE?平面BFG，F(xiàn)G?平面BFG，BF?平面BFG，∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG.又PD∩DE＝D，∴平面PDE∥平面BFG.∵PE?平面PDE，∴PE∥平面BFG.(2)法一：∵PD⊥平面ABCD，F(xiàn)G∥PD，∴FG⊥平面ABCD.過點C在平面ABCD內，作CM⊥BF，垂足為M，則FG⊥CM.∵FG∩BF＝F，∴CM⊥平面BFG，∴線段CM的長是點C到平面BFG的距離．在矩形ABCD中，∵F是AD的中點，AD＝1，AB＝2，△BCM∽△FBA，∴eq\f(CM,BA)＝eq\f(BC,FB).∵FB＝eq\r(AB2＋AF2)＝eq\f(\r(17),2)，BC＝AD＝1，∴CM＝eq\f(4\r(17),17)，即點C到平面BFG的距離為eq\f(4\r(17),17).法二：設點C到平面BFG的距離為d.在矩形ABCD中，AF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，AB＝2，∴BF＝eq\r(\f(1,4)＋4)＝eq\f(\r(17),2).∵PD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，∴PD⊥BF.∵FG∥PD，∴FG⊥BF，又FG＝eq\f(1,2)PD＝eq\f(1,2)，∴△BFG的面積為eq\f(1,2)BF·FG＝eq\f(\r(17),8).∵△BCF的面積為eq\f(1,2)BC·AB＝1，VC-BFG＝VG-BCF，∴eq\f(1,3)×eq\f(\r(17),8)d＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)，解得d＝eq\f(4\r(17),17)，即點C到平面BFG的距離為eq\f(4\r(17),17).創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向1.如圖，已知底面邊長為eq\r(3)且高為1的正三棱柱ABC-A1B1C1，過頂點A作平面α與側面BCC1B1交于EF，且EF∥BC，若∠FAB＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,6)))，四邊形BCEF的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()解析：選C由題意得，在Rt△ABF中，BF＝ABtanx，所以y＝f(x)＝BC·BF＝BC·ABtanx＝3tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,6))).由正切函數(shù)的圖象及性質，可得C正確．2．(多選)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個動點，且EF＝eq\f(\r(2),2)，以下結論正確的為()A．AC⊥BFB．三棱錐A-BEF的體積為定值C．EF∥平面ABCDD．異面直線AE，BF所成的角為定值解析：選ABC對于A，∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，易得AC⊥平面BDD1B1，∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF∵E，F(xiàn)，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距離為定值，∵EF＝eq\f(\r(2),2)，又B到直線EF的距離為1，∴△BEF的面積為定值，∴三棱錐A-BEF的體積為定值，故B正確；對于C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；對于D，設上底面中心為O，當F與B1重合時，E與O重合，易知兩異面直線所成的角是∠A1AO；當E與D1重合時，F(xiàn)與O重合，連接BC1，易知兩異面直線所成的角是∠OBC1，可知，這兩個角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，故D錯誤．3.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件______________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)解析：如圖，連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥D1D，HN∥BD，∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FNH∥平面B1BDD1，若M∈FH，則MN?平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.答案：點M在線段FH上(或點M與點H重合)4．(2021·福建漳州適應性測試)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點N是棱A1B1的中點，點T是棱CC1上靠近點C的三等分點，動點Q在正方形D1DAA1(包含邊界)內運動，且QB∥平面D1NT，則動點Q解析：由于QB∥平面D1NT，所以點Q在過B且與平面D1NT平行的平面上，如圖，取DC的中點E1，取線段AA1上一點G，使A1G＝1，易證平面BGE1∥平面D1NT.延長BE1，AD，交于點E，連接EG，交DD1于點I，顯然，平面BGE∩正方形D1DAA1＝GI，所以點Q的軌跡是線段GI，易求得GI＝eq\r(10).答案：eq\r(10)5．在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________．解析：如圖，過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作EN∥PB，F(xiàn)M∥PB，分別交AB，BC于點N，M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8.答案：8eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．(多選)已知直線a，b，l，平面α，β，則下列命題中錯誤的選項為()A．若α⊥β，l⊥α，則l∥β B．若a⊥l，b⊥l，則a∥bC．若α⊥β，l?α，則l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，則α∥β解析：選ABC對于A，由α⊥β，l⊥α，可知l?β或l∥β，故A錯誤；對于B，當a⊥l，b⊥l時，直線a與b可能平行，也可能相交，還可能異面，故B錯誤；對于C，當α⊥β，l?α時，l可能與平面β平行，也可能斜交，故C錯誤；對于D，垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，故D正確．2．(多選)已知α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線．給出下列命題，其中正確的命題是()A．若l上兩點到α的距離相等，則l∥αB．若l⊥α，l∥β，則α⊥βC．若α∥β，l?β，且l∥α，則l∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥n解析：選BC對于A，若直線l在平面α內，l上有兩點到α的距離為0，相等，此時l不與α平行，所以A錯誤；對于B，因為l∥β，所以存在直線m?β使得l∥m，因為l⊥α，所以m⊥α，又m?β，所以β⊥α，所以B正確；對于C，l∥α，故存在m?α使得l∥m，因為α∥β，所以m∥β，因為l∥m，l?β，所以l∥β，C正確；對于D，因為m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D錯誤，故選B、C.3．(2021·濰坊期中)m，n是平面α外的兩條直線，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由已知條件m∥α，結合線面平行的性質定理可得，過直線m作一平面β交α于直線l，則m∥l，從而存在l?α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，從而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或異面．所以m∥n是n∥α的充分不必要條件，故選A.4．若平面β截三棱錐所得的截面為平行四邊形，則該三棱錐的所有棱中與平面β平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．1條或2條解析：選C如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD，又∵EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2條棱與平面EFGH平行．因此選C.5．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，有以下四個命題：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中真命題的序號是()A．②③ B．③④C．①④ D．①②解析：選A對于命題①，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯誤的；易知②③正確；對于命題④，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯誤的．故選A.6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：選Dm∥α，m∥β，則有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A?l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C點可以在平面β內，AC與直線l異面垂直，如圖所示，此時AC⊥β不成立，所以D不一定成立．7.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1解析：如圖，設BC1∩B1C＝O，連接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四邊形BCC1B1是菱形，∴O為BC1的中點，∴D為A1C1的中點，則A1D∶DC1答案：18．(2021·蘇州調研)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________(填序號)．解析：①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤．答案：②9．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．解析：①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案：①④10.(2021·武漢模擬)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點．(1)求證：P