高中數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)大全

知識(shí)點(diǎn)串講必修五1/21第一章：解三角形1．1．1正弦定理1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。2、已知ABC中，A600，a3,求abcsinAsinBsinC證明出abcabcAsinBsinCsinAsinBsinCsin解：設(shè)abck(k>o)sinBsinCsinA則有aksinA，bksinB，cksinC從而AabcsinC=ksinAksinBksinC=ksinsinBsinAsinBsinC又a302k，所以abc=2sinAsin60BsinAsinsinC評(píng)述：在A(yíng)BC中，等式abcabc0sinAsinBsinCsinAsinkkBsinC恒成立。3、已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）1.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bccosAb2a2c22cosBacc2a2b22abcosC從余弦定理，又可得到以下推論：b2 c2 a2cosA2bca2 c2 b2cosB2acb2 a2 c2cosC2ba2/212、在A(yíng)BC中，已知a23，c62，B600，求b及A⑴解：∵b2a2c22accosB=(23)2(62)2223(62)cos450=12(62)243(31)8b22.A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cosAb2c2a2(22)2(62)2(23)21,2bc222(62)2A600.解法二：∵sina230bsinB22sin45,A又∵62＞2.41.43.8,3＜21.83.6,a＜c，即00＜A＜900,A600.評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定 A的取值X圍。3、在 ABC中，若a2 b2 c2 bc，求角A（答案：A=1200）1．1．3解三角形的進(jìn)一步討論1、在A(yíng)BC中，已知a,b,A，討論三角形解的情況分析：先由sinBbsinAB；可進(jìn)一步求出a則C1800(AB)從而casinCA1．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須ab才能有且只有一解；否則無(wú)解。2．當(dāng)A為銳角時(shí)，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：3/211）若absinA，則有兩解；2）若absinA，則只有一解；3）若absinA，則無(wú)解。（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第910頁(yè)）評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且bsinAab時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。2、（1）在A(yíng)BC中，已知a80，b100，A450，試判斷此三角形的解的情況。（2）在A(yíng)BC中，若a1，c1，C400，則符合題意的b的值有_____個(gè)。2（3）在A(yíng)BC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值X圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）2 x 22）3、在A(yíng)BC中，已知a7，b5，c3，判斷ABC的類(lèi)型。解：725232，即a2b2c2，ABC是鈍角三角形。4、（1）在A(yíng)BC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判斷ABC的類(lèi)型。（2）已知ABC滿(mǎn)足條件acosAbcosB，判斷ABC的類(lèi)型。（答案：（1）ABC是鈍角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）5、在A(yíng)BC中，A600，b1，面積為3，求abc的值2sinAsinBsinCabcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由S1bcsinA3得c2，22則2b2c22cosA=3，即a3，abc從而abca2AsinBsinCsinAsin4/211.2解三角形應(yīng)用舉例1、兩燈塔 A、B與海洋觀(guān)察站 C的距離都等于 akm,燈塔A在觀(guān)察站 C的北偏東 30，燈塔B在觀(guān)察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？解略：2akm2、某人在M汽車(chē)站的北偏西20的方向上的A處，觀(guān)察到點(diǎn)C處有一輛汽車(chē)沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A的距離為31千米，汽車(chē)前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車(chē)站？解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車(chē)前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在A(yíng)BC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=AC2BC2AB2=23,2ACBC31則sin2C=1-cos2C=432,312sinC=123,31所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=35362MAC中，由正弦定理得MC=ACsinMAC=31353=35sinAMC3622從而有MB=MC-BC=15答：汽車(chē)還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車(chē)站。5/213、S=1absinC，A,S=1acsinB，S=1bcsin2224、在A(yíng)BC中，求證：（1）a2b2sin2Asin2B;（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）c2sin2C證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)a=b=c=ksinAsinBsinC顯然k0，所以左邊=a2c2b2k2sin2Ak2sin2Bk2sin2C2sinAsinB=右邊sin2C2）根據(jù)余弦定理的推論，b2c2a2c2a2b2a2b2c2右邊=2(bc2bc+ca2ca+ab2ab)=(b 2+c2-a2)+(c 2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊變式練習(xí)1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 3,求a及 ABC的面積S提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。答案：a=6,S=9 3;a=12,S=18 35、如圖，在四邊形 ABCD中， ADB= BCD=75 ， ACB= BDC=45 ，DC=3，求：（1） AB的長(zhǎng)（2） 四邊形ABCD的面積6/21略解（1）因?yàn)?BCD=75 ， ACB=45 ，所以ACD=30 ，又因?yàn)?BDC=45 ，所以DAC=180 -（75 +45 +30 ）=30 ，所以 AD=DC= 3在 BCD中， CBD=180 -（75 +45 ）=60 ，所以BD=DC，BD=3sin75=62sin75sin60sin602在A(yíng)BD中，AB2=AD2+BD2-2ADBDcos75=5,所以得AB=5（3）SABD=1ADBDsin75=32324同理，SBCD=334所以四邊形ABCD的面積S=6334第二章：數(shù)列2．1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1、概括數(shù)列的概念： 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列， 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。辯析數(shù)列的概念：“1，2，3，4，5”與“5，4，3，2，1”是同一個(gè)數(shù)列嗎？與“ 1，3，2，4，5”呢？給出首項(xiàng)與第 n項(xiàng)的定義及數(shù)列的記法： {an}2、數(shù)列的分類(lèi) :有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列，常數(shù)列。3、數(shù)列的表示方法：項(xiàng)公式列表和圖象等方法表示數(shù)列4、 =2an-1+1（n∈N，n>1），（※） 式稱(chēng)為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。7/212．2等差數(shù)列1、數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2、個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。3、等差數(shù)列中，若m+n=p+q則amanapaq4、通項(xiàng)公式：以a1為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：ana1(n1)d5、迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：（迭加法）：{an}是等差數(shù)列，所以anan1d,an1an2d,an2an3d,??a2a1d,兩邊分別相加得ana1(n1)d,所以ana1(n1)d（迭代法）：{an}是等差數(shù)列，則有anan1dan2ddan22dan3d2dan33d??a1(n1)d所以ana1(n1)d8/216、 ⑴求等差數(shù)列 8，5，2，?的第 20項(xiàng).⑵-401是不是等差數(shù)列 -5，-9，-13，?的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20 8 (211) (3) 49⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an 5 4(n 1) 4n 1,由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù) n,使得-401=-4n-1 成立。解這個(gè)關(guān)于 n的方程，得 n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第 100項(xiàng)。7、某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為 1.2元/km，起步價(jià)為 10元，即最初的 4km（不含4千米）計(jì)費(fèi) 10元。如果某人乘坐該市的出租車(chē)去往 14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為 0，需要支付多少車(chē)費(fèi)？解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車(chē)的行程大于或等于 4km時(shí)，每增加 1km，乘客需要支付 1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列 {an}來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi).令a1=11.2，表示4km處的車(chē)費(fèi)，公差 d=1.2。那么當(dāng)出租車(chē)行至 14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車(chē)費(fèi)a11 11.2 (111) 1.2 23.2(元)答：需要支付車(chē)費(fèi) 23.2元。2．2等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和1、倒序相加法求和我們用兩種方法表示 Sn：（1）Sna1(a1d)(a12d)...[a1(n1)d],①Snan(and)(an2d)...[an(n1)d],②由①+②，得2Sn（a1an）+（a1an）+（a1an）+...+（a1an）n個(gè)n(a1an)由此得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式Snn(a1an)29/21（2）Sna1a2a3...an=a(ad)(a2d)...[a(n1)d]1111=na1[d2d...(n1)d]=na1[12...(n1)]d=na1n(n1)d22、已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由題意知S10310，S201220，Snna1（）將它們代入公式nn1d，210a145d，310得到20a1190d1220解這個(gè)關(guān)于a1與d的方程組，得到a1=4，d=6，所以Sn4n（）63n2nnn12a1an另解：S10103102得a1a1062；①S20a1a202012202所以a1a20122；②②-①，得10d60，所以d6代入①得：a14Sna1n（）3n2n所以有nn1d21n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為Snn2.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果2是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？10/21解：根據(jù)Sna1a2...an1an與Saa2...a（n＞1）n11n1可知，當(dāng)n＞1時(shí)，anSnSn1n21（[n211n1）（n1）]2n①222當(dāng)n=1時(shí)，a1S112113也滿(mǎn)足①式.221所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an2n.2由此可知，數(shù)列{an}是一個(gè)首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列。2這個(gè)例題還給出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)求法.已知前n項(xiàng)和S，可求出通項(xiàng)na1（n）an1SnSn1（n＞1）4、如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.5、已知等差數(shù)列，2，4，....的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最大的序號(hào)n的值.54377245解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，，，....，所以547377Snn[25（n1）（5）]27=75n5n25152112514（n2）5614于是，當(dāng)n取與15最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，S取最大值.2n6、已知數(shù)列an,是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，設(shè)kN,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問(wèn)題 .解：設(shè) an,首項(xiàng)是a1，公差為d則：S6 a1 a2 a3 a4 a5 a611/21S12S6a7a8a9a10a11a12(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636dS18S12a13a14a15a16a17a18(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12)36dS12S636dS6,S12 S6,S18 S12為等差數(shù)列同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列.7、求集合mm7n,nN*,且m100的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。解由m=100，得n10027147滿(mǎn)足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，?7×14即：7，14，21，28，?98這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為an,其中a17,a149814(798)S142735解由m=100，得n10014277滿(mǎn)足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，?7×14即：7，14，21，28，?98這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為an,其中a17,a1498S1414(798)7352答：集合m中共有14個(gè)元素，它們和等于73512/213等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義：一般地，若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0），an即：an1=q（q≠0）2、既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:ana1qn1(a1,q均不為0)qnm(am，q等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:anam0)4、若{an}為等比數(shù)列，mnpq(m,n,q,pN)，則amanapaq．由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得：ama1qm1,ana1qn1，apa1qp1,aqa1qq1，故aman22qpq2，a1qmn2且apaqa1∵mnpq，∴amanapaq．5、已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)。解：由題意可以設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a,a,aq，得：qaaaq27a3qa2(12a22221q2)91q2aaq91q∴9q482q290，即得q29或q21，1，9∴q3或q31，3，9或9，3，1或9，3，1．故該三數(shù)為：1，3，9或說(shuō)明：已知三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設(shè)該三數(shù)為a,a,aq．q6、數(shù)列an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，它的前2n項(xiàng)和為6560，求首項(xiàng)a1和公比q。解：若q1，則應(yīng)有S2n2Sn，與題意不符合，故q1。依題意有：13/21a11 qn80 (1)qa11q2n1q6560(2)(2)得1q2nn82即q2n82qn8101q得qn81或qn1（舍去），qn81。由qn81知q1，數(shù)列an的前n項(xiàng)中an最大，得an54。將qn81代入（1）得a1q1（3），由aaqn154得aqn54q，即81a154q（4），n11聯(lián)立（3）（4）解方程組得a12q。32.4等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：一般地，設(shè)等比數(shù)列a1,a2a3,an它的前n項(xiàng)和是Sna1a2a3anSna1a2a3an由ana1qn1Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1得qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn14/21(1q)Sna1a1qna1(1qn)a1anq論同上）∴當(dāng)qSn1qSnq1時(shí)，①或1②當(dāng)q=1時(shí)，Snna11,1,1,，求使得Sn大于100的最小的n的值.2、已知等比數(shù)列93答案：使得Sn大于100的最小的n的值為7.3、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn3na．當(dāng)常數(shù)a滿(mǎn)足什么條件時(shí)，{an}才是等比數(shù)列？答案：a14、已知等比數(shù)列an中,S420,S81640,求S12.15、某商店采用分期付款元的方式促銷(xiāo)一款價(jià)格每臺(tái)為6000電的腦.商規(guī)店定，購(gòu)買(mǎi)時(shí)先支付貨款的3，剩余部分在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款，且結(jié)算欠款的利息.已知欠款的月利率為0.5%到第一個(gè)月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？22解(1)因?yàn)橘?gòu)買(mǎi)電腦時(shí),貨主欠商店3的貨款,即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一個(gè)月底的欠款數(shù)應(yīng)為4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一個(gè)月底,欠款余額為4020元.(2)設(shè)第i個(gè)月底還款后的欠款數(shù)為yi,則有y1=4000(1+0.5%)-ay2=y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a15/21yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)i-a(1+0.5%)i1i2-a,-a(1+0.5%)-整理得ia(10.5%)i1,36)yi=4000(1+0.5%)0.5%.(i=1,2,-(3)因?yàn)閥36=0,所以36a(10.5%)3614000(1+0.5%)-0.5%=0即每月還款數(shù)4000(10.5%)360.5%121.69a=(10.5%)361(元)所以每月的款額為121.69元.第三章不等式3.1不等式與不等關(guān)系1、不等式的基本性質(zhì)：（1）ab,bcac（2）abacbc（3）ab,c0acbc（4）ab,c0acbc2、已知ab0,c0,求證cc。ab證明：以為ab0，所以ab>0,10。ab16/21于是1111ab，即aababb由c<0，得ccab3.2 一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式的定義象x2 5x 0這樣，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式．2、設(shè)一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的兩根為 x1、x2且x1 x2， b2 4ac，則不等式的解的各種情況如下表：0 0 0二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根b無(wú)實(shí)根ax2bxc0x1,x2(x1x2)x1x22aax2bxc0xxx1或xx2xxbR(a0)的解集2aax2bxc0xx1xx2(a0)的解集3、一個(gè)汽車(chē)制造廠(chǎng)引進(jìn)了一條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線(xiàn)，這條流水線(xiàn)生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值y（元）之間有如下的關(guān)系：y2x2220x若這家工廠(chǎng)希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線(xiàn)創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車(chē)？解：設(shè)在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車(chē)，根據(jù)題意，我們得到2x2220x6000移項(xiàng)整理，得x2110x3000017/21因?yàn)椤?000，所以方程x2110x30000有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x150,x260．由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50x60．因?yàn)閤只能取正整數(shù)，所以，當(dāng)這條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線(xiàn)在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量在51-59輛之間時(shí)，這家工廠(chǎng)能夠獲得6000元以上的收益．4、設(shè)A{x|x24x30}，B{x|x22xa80}，且AB，求a的取值X圍．解：令f(x)x22xa8由AB，及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得f(1)0，即12a80，解之得9a5．f(3)096a80因此a的取值X圍是9a5．3．3二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．1、畫(huà)出不等式2x+y－6＜0表示的平面區(qū)域。解：先畫(huà)直線(xiàn)2x+y－＝（畫(huà)成虛線(xiàn)）。60取原點(diǎn)（0，0），代入2x+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，∴原點(diǎn)在2x+y－＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2x+y－＜0表示的區(qū)域如圖：662、線(xiàn)性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線(xiàn)性約束條件：在上述問(wèn)題中，不等式組是一組變量 x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱(chēng)線(xiàn)性約束條件．18/21②線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式 z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量 x、y的解析式，叫線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)．③線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題．④可行解、可行域和最優(yōu)解 ：滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解（ x,y）叫可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解3、有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果見(jiàn)表．效果方式輪船運(yùn)輸量／t飛機(jī)運(yùn)輸量／t種類(lèi)糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸至少2000t糧食和1500t石油，需至少安排多少艘輪船和多少架飛機(jī)？答案：解：設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機(jī)，則≥，6x3y≥，y300x150y2000405x2y300≥，5x2y≥，250x100y150030x≥0，即x≥，0y≥0．y≥．0目標(biāo)函數(shù)為zxy．作出可行域，如圖所示．作出在一組平行直線(xiàn)xyt（t為參數(shù)）中經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)某點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最小的直線(xiàn)，此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)x20，，直線(xiàn)方程6x3y400和y0的交點(diǎn)A03為：x20y．3由于20不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中x，y必須都是整數(shù)，所以，可行域內(nèi)點(diǎn)20，不是最優(yōu)解．033經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且與原點(diǎn)距離最近的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是(7，0)，19/21即為