包頭市2016年中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析

XX市2016年中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．若2（a+3）的值與 4互為相反數(shù)，則 a的值為（ ）A．﹣1B．﹣C．﹣5D．【考點(diǎn)】解一元一次方程；相反數(shù)．【解析】先根據(jù)相反數(shù)的意義列出方程，解方程即可．【解答】解：∵2（a+3）的值與4互為相反數(shù)，∴2（a+3）+4=0，∴a=﹣5，故選C2．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（ ）A．2+ =2 B． =2C．（﹣2a2）3=﹣6a6D．（a+1）2=a2+1【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式．【解析】依次根據(jù)合并同類二次根式，二次根式的除法，積的乘方，完全平方公式的運(yùn)算．【解答】解：A、2+ 不是同類二次根式，所以不能合并，所以 A錯(cuò)誤；B、 =2，所以B正確；C、（﹣2a2）3=﹣8a6≠6a﹣6，所以C錯(cuò)誤；D、（a+1）2=a2+2a+1≠a2+1，所以D錯(cuò)誤．第1頁(yè)共37頁(yè)故選B3．不等式 ﹣ ≤1的解集是（ ）A．x≤4B．x≥4C．x≤1﹣D．x≥1﹣【考點(diǎn)】解一元一次不等式．【解析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得．【解答】解：去分母，得： 3x﹣2（x﹣1）≤6，去括號(hào)，得：3x﹣2x+2≤6，移項(xiàng)、合并，得： x≤4，故選：A．4．一組數(shù)據(jù) 2，3，5，4，4，6的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）A．4.5和4B．4和4C．4和4.8D．5和4【考點(diǎn)】中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù)．【解析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義結(jié)合選項(xiàng)選出正確答案即可．【解答】解：這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為： 2，3，4，4，5，6，故中位數(shù)為：（4+4）÷2=4；平均數(shù)為：（2+3+4+4+5+6 ）÷6=4．故選：B．5．120°的圓心角對(duì)的弧長(zhǎng)是 6π，則此弧所在圓的半徑是（ ）A．3B．4C．9D．18第2頁(yè)共37頁(yè)【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算．【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式 l= ，將n及l(fā)的值代入即可得出半徑 r的值．【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式 l= ，得到：6π= ，解得r=9．故選C．6．同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有兩枚硬幣正面向上的概率是（ ）A． B． C． D．【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法．【解析】根據(jù)題意，通過(guò)列樹(shù)狀圖的方法可以寫出所有可能性， 從而可以得到至少有兩枚硬幣正面向上的概率．【解答】解：由題意可得，所有的可能性為：∴至少有兩枚硬幣正面向上的概率是： = ，故選D．7．若關(guān)于x的方程x2+（m+1）x+ =0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身， 則m的值是（ ）A．﹣B． C．﹣或 D．1第3頁(yè)共37頁(yè)【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得： x1+x2=﹣（m+1），x1?x2= ，又知個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則該實(shí)根為 1或﹣1，然后把±1分別代入兩根之和的形式中就可以求出 m的值．【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=﹣（m+1），x1?x2= ，又知個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則該實(shí)根為 1或﹣1，若是1時(shí)，即1+x2=﹣（m+1），而x2= ，解得m=﹣；若是﹣1時(shí)，則m= ．故選：C．8．化簡(jiǎn)（ ） ?ab，其結(jié)果是（ ）A． B． C． D．【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算．【解析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式= ? ?ab= ，故選B9．如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等．若∠ BOC=120°，則tanA的值為（ ）第4頁(yè)共37頁(yè)A． B． C． D．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．【解析】由條件可知 BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形內(nèi)角和可求得∠ A，再由特殊角的三角函數(shù)的定義求得結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A=180°﹣（ABC+∠∠ACB）=180°2﹣（∠OBC+∠OCB）=180°2﹣×=180°2﹣×=60°，∴tanA=tan60°= ，故選A．10．已知下列命題：①若 a＞b，則a2＞b2；②若a＞1，則（a﹣1）0=1；③兩個(gè)全等的三角形的面積相等；④四條邊相等的四邊形是菱形．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【考點(diǎn)】命題與定理．【解析】交換原命題的題設(shè)和結(jié)論得到四個(gè)命題的逆命題， 然后利用反例、零指數(shù)冪的意義、全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)判斷各命題的真假．【解答】解：當(dāng)a=0，b=﹣1時(shí)，a2＜b2，所以命題“若a＞b，則a2＞b2”為假命題，其逆命題為若a2＞b2；，則a＞b“，此逆命題也是假命題，如 a=﹣2，b=﹣1；第5頁(yè)共37頁(yè)若a＞1，則（a﹣1）0=1，此命題為真命題，它的逆命題為：若（ a﹣1）0=1，則a＞1，此逆命題為假命題，因?yàn)椋?a﹣1）0=1，則a≠1；兩個(gè)全等的三角形的面積相等， 此命題為真命題， 它的逆命題為面積相等的三角形全等， 此逆命題為假命題；四條邊相等的四邊形是菱形， 這個(gè)命題為真命題， 它的逆命題為菱形的四條邊相等， 此逆命題為真命題．故選D．11．如圖，直線 y= x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段 AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn) P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PD 值最小時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ ）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對(duì)稱 -最短路線問(wèn)題．【解析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn) A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn) C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn) D′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點(diǎn) P的坐標(biāo)．【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖所示．第6頁(yè)共37頁(yè)令y= x+4中x=0，則y=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得：x=﹣6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．∵點(diǎn)C、D分別為線段 AB、OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C（﹣3，2），點(diǎn)D（0，2）．∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，﹣2）．設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b，∵直線CD′過(guò)點(diǎn)C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有 ，解得： ，∴直線CD′的解析式為y=﹣x﹣2．y=﹣x﹣2中y=0，則0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）．故選C．第7頁(yè)共37頁(yè)12．如圖，在四邊形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，且 DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，則CE與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）A．CE= DEB．CE= DEC．CE=3DED．CE=2DE【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，利用勾股定理可得 AB的長(zhǎng)，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，設(shè)BE=x，由相似三角形的性質(zhì)可解得 x，易得CE，DE的關(guān)系．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB= = =2 ，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ ，第8頁(yè)共37頁(yè)設(shè)BE=x，則AE=2 ，即 ，解得x= ，∴ ，∴CE= ，故選B．二、填空題13．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2015年，我國(guó)發(fā)明專利申請(qǐng)受理量達(dá) 1102000 件，連續(xù)5年居世界首位，將1102000 用科學(xué)記數(shù)法表示為 1.102×106 ．【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定 n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成 a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位， n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜ 1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將1102000用科學(xué)記數(shù)法表示為 1.102×106，故答案為：1.102×106．14．若2x﹣3y﹣1=0，則5﹣4x+6y的值為 3 ．第9頁(yè)共37頁(yè)【考點(diǎn)】代數(shù)式求值．【解析】首先利用已知得出 2x﹣3y=1，再將原式變形進(jìn)而求出答案．【解答】解：∵2x﹣3y﹣1=0，∴2x﹣3y=1，∴5﹣4x+6y=5﹣2（2x﹣3y）=5﹣2×1=3．故答案為：3．15．計(jì)算：6 ﹣（ +1）2= ﹣4 ．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【解析】首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用完全平方公式計(jì)算，求出答案．【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）=2 ﹣4﹣2=﹣4．故答案為：﹣4．16．已知一組數(shù)據(jù)為 1，2，3，4，5，則這組數(shù)據(jù)的方差為 2 ．【考點(diǎn)】方差．【解析】先求出這 5個(gè)數(shù)的平均數(shù)，然后利用方差公式求解即可．【解答】解：平均數(shù)為=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．第10頁(yè)共37頁(yè)故答案為：2．17．如圖，在矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE= 22.5 度．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【解析】首先證明△AEO是等腰直角三角形，求出∠ OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣OAE=22∠.5°．故答案為 22.5°．第11頁(yè)共37頁(yè)18．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P，連接AC，若∠A=30°，PC=3，則BP的長(zhǎng)為 ．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【解析】在RT△POC中，根據(jù)∠P=30°，PC=3，求出OC、OP即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切線，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC?tan30°= ，PC=2OC=2 ，∴PB=PO﹣OB= ，故答案為 ．第12頁(yè)共37頁(yè)19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函數(shù) y= （x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，若S△ABO= ，則k的值為 ﹣3 ．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù) k的幾何意義．【解析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，由∠AOB=30°可得出 = ，由此可是點(diǎn) A的坐標(biāo)為（﹣3a， a），根據(jù)S△ABO= 結(jié)合三角形的面積公式可用 a表示出線段 OB的長(zhǎng)，再由勾股定理可用含 a的代數(shù)式表示出線段 BD的長(zhǎng)，由此即可得出關(guān)于 a的無(wú)理方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵∠AOB=30°，AD⊥OD，∴ =tan∠AOB= ，∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3a， a）．∵S△ABO= OB?AD= ，∴OB= ．第13頁(yè)共37頁(yè)在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD= a，AB=OB= ，∴BD2=AB2﹣AD2= ﹣3a2，BD= ．∵OD=OB+BD=3a ，即3a= + ，解得：a=1或a=﹣1（舍去）．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3， ），∴k=﹣3× =﹣3 ．故答案為：﹣3 ．20．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn) D、E分別在邊 BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn) F，使EF=AE，連接AF，CF，連接BE并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，則GF=2EG．其中正確的結(jié)論是 ①②③④ ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【解析】①正確．根據(jù)兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可判斷．②正確．只要證明四邊形 ABDF是平行四邊形即可．③正確．只要證明△BCE≌△FDC．④正確．只要證明△BDE∽△FGE，得 = ，由此即可證明．【解答】解：①正確．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，第14頁(yè)共37頁(yè)∵DE=DC，∴△DEC是等邊三角形，∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，∵EF=AE，∴△AEF是等邊三角形，∴AF=AE，∠EAF=60°，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF，故①正確．②正確．∵∠ABC=∠FDC，∴AB∥DF，∵∠EAF=∠ACB=60°，∴AB∥AF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF=AB=BC，故②正確．③正確．∵△ABE≌△ACF，∴BE=CF，S△ABE=S△AFC，在△BCE和△FDC中，，∴△BCE≌△FDC，∴S△BCE=S△FDC，第15頁(yè)共37頁(yè)∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正確．④正確．∵△BCE≌△FDC，∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，∴△BDE∽△FGE，∴ = ，∴ = ，∵BD=2DC，DC=DE，=2，∴FG=2EG．故④正確．三、解答題．一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個(gè)，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球是白球的概率為 ．1）求袋子中白球的個(gè)數(shù)；（請(qǐng)通過(guò)列式或列方程解答）2）隨機(jī)摸出一個(gè)球后，放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率．（請(qǐng)結(jié)合樹(shù)狀圖或列表解答）【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；概率公式．【解析】（1）首先設(shè)袋子中白球有 x個(gè)，利用概率公式求即可得方程： = ，解此方程即可求得答案；第16頁(yè)共37頁(yè)2）首先根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到相同顏色的小球的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）設(shè)袋子中白球有x個(gè)，根據(jù)題意得： = ，解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原分式方程的解，∴袋子中白球有2個(gè)；（2）畫樹(shù)狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到相同顏色的小球的有 5種情況，∴兩次都摸到相同顏色的小球的概率為： ．22．如圖，已知四邊形 ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長(zhǎng)線AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A=60°，求BC的長(zhǎng)；（2）若sinA=，求AD的長(zhǎng)．（注意：本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào)）第17頁(yè)共37頁(yè)【考點(diǎn)】解直角三角形．【解析】（1）要求BC的長(zhǎng)，只要求出BE和CE的長(zhǎng)即可，由題意可以得到BE和CE的長(zhǎng)，本題得以解決；（2）要求AD的長(zhǎng)，只要求出AE和DE的長(zhǎng)即可，根據(jù)題意可以得到AE、DE的長(zhǎng)，本題得以解決．【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴設(shè)BE=4x，則AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的長(zhǎng)是．23．一幅長(zhǎng)20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設(shè)豎彩條的寬度為 xcm，圖案中三條彩條所占面積為 ycm2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；第18頁(yè)共37頁(yè)（2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的 ，求橫、豎彩條的寬度．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式．【解析】（1）由橫、豎彩條的寬度比為 3：2知橫彩條的寬度為 xcm，根據(jù)：三條彩條面積=橫彩條面積+2條豎彩條面積﹣橫豎彩條重疊矩形的面積，可列函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)：三條彩條所占面積是圖案面積的 ，可列出關(guān)于 x的一元二次方程，整理后求解可得．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，橫彩條的寬度為 xcm，∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=﹣3x2+54x；（2）根據(jù)題意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），x=3，答：橫彩條的寬度為 3cm，豎彩條的寬度為 2cm．24．如圖，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB為直徑的⊙AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)于點(diǎn)F．

O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)EG，DF⊥DG，且交BC第19頁(yè)共37頁(yè)1）求證：AE=BF；2）連接GB，EF，求證：GB∥EF；3）若AE=1，EB=2，求DG的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【解析】（1）連接BD，由三角形 ABC為等腰直角三角形，求出∠ A與∠C的度數(shù)，根據(jù) AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到∠ ADB為直角，即 BD垂直于AC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 得到AD=DC=BD= AC，進(jìn)而確定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用 ASA得到三角形 AED與三角形 BFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接EF，BG，由三角形 AED與三角形 BFD全等，得到 ED=FD，進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；（3）由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到 AE=BF=1，在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義求出 DE的長(zhǎng)，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的長(zhǎng)，由GE+ED求出GD的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：連接BD，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°，第20頁(yè)共37頁(yè)∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD= AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°，∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；2）證明：連接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE=DF，∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF；第21頁(yè)共37頁(yè)3）∵AE=BF，AE=1，∴BF=1，在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根據(jù)勾股定理得：EF2=EB2+BF2，∵EB=2，BF=1，∴EF==，∵△DEF為等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=，∵EF=，∴DE=×=，∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，=，即GE?ED=AE?EB，∴ ?GE=2，即GE= ，則GD=GE+ED= ．25．如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片 ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接 EF．第22頁(yè)共37頁(yè)（1）圖①，若將紙片 ACB的一角沿 EF折疊，折疊后點(diǎn) A落在AB邊上的點(diǎn) D處，且使S四邊形ECBF=3S△EDF，求AE的長(zhǎng)；（2）如圖②，若將紙片 ACB的一角沿 EF折疊，折疊后點(diǎn) A落在BC邊上的點(diǎn) M處，且使MF∥CA．①試判斷四邊形 AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；②求EF的長(zhǎng)；（3）如圖③，若 FE的延長(zhǎng)線與 BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N，CN=1，CE= ，求 的值．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【解析】（1）先利用折疊的性質(zhì)得到 EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF≌S△DEF，則易得 S△ABC=4S△AEF，再證明 Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =（ ）2，再利用勾股定理求出 AB即可得到 AE的長(zhǎng)；（2）①通過(guò)證明四條邊相等判斷四邊形 AEMF為菱形；②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，設(shè) AE=x，則EM=x，CE=4﹣x，先證明△CME∽△CBA得到 = = ，解出x后計(jì)算出 CM= ，再利用勾股定理計(jì)算出 AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算 EF；（3）如圖③，作 FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到 FH：NH=4：7，設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）