北京市海淀區(qū)2017屆高三上學期期末考試數(shù)學理試題(全Word版-含答案)

wordword海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習數(shù)學(理科)2017.1本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1?拋物線y22x的焦點到準線的距離為B．1C．2D．32．在極坐標系中，的距離為點(1,)與點A．13.右側(cè)程序框圖所示的算法來自于《九章算術》若輸入ab的值為24，則執(zhí)行該程序框圖輸出的結(jié)果為A.6B．7C.8D．9已知向量a,b滿足a2b0，11A.B.22C．2D．24.(ab)a2，則ab5.已知直線l經(jīng)過雙曲線X24A1<5A.y2xTy21的一個焦點且與其一條漸近線平行，則直線l的方程可能是B.y<52C.y2x32xy0,6．設x,y滿足xy20,則(x1)2x2,A．1b.92

D.y2x<3y2的最小值為C.5D.97.在手繪涂色本的某頁上畫有排成一列的6條未涂色的魚，小明用紅、藍兩種顏色給這些魚涂色，wordwordwordword11每條魚只能涂一種顏色，兩條相鄰的魚不．都．涂．成．紅．色．，涂色后，既有紅色魚又有藍色魚的涂色方法種數(shù)為A.14B.16C.18如圖，已知正方體A.14B.16C.18如圖，已知正方體ABCDABCD1111的棱長為1，E,F分別是棱ADB&］上的動點，設AEx,BFy.1若棱DD與平面BEF有公共點,1則xy的取值范圍是A.[0,1]B.[丄222C.[1,2]3D.[2,2]D．20ED'B.?-F二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．已知復數(shù)z滿足(1i)z2,則z在仗2的展開式中，常數(shù)項為?(用數(shù)字作答)x11.若一個幾何體由正方體挖去一部分得到，其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為.12.已知圓c：X22xy2011.若一個幾何體由正方體挖去一部分得到，其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為.12.已知圓c：X22xy20，則圓心坐標為；若直線l過點(1,0)且與圓C相切，則直線l的方程為俯視圖13.已知函數(shù)y2sin(x)(0,||n.22若f(0)1，則若xR，使f(x2)f(x)4成立，則的最小值是已知函數(shù)f(x)eXIcos7X，給出下列命題:f(x)的最大值為2;仏)在(10,10)內(nèi)的零點之和為0;f(x)的任何一個極大值都大于1.其中所有正確命題的序號是.

三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程(本小題滿分13分)_在ABC中，c2a,B120，且ABC面積為亙.°2求b的值；求tanA的值.(本小題滿分13分)誠信是立身之本，道德之基.某校學生會創(chuàng)設了“誠信水站”，既便于學生用水，又推進誠信教育，并用“周實際回收水費”表示每周“水站誠信度”?為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期下周投入成本表為該水站連續(xù)十二周(共三個周期)的誠信度數(shù)據(jù)統(tǒng)計：第一周第二周第三周第四周第一個周95%98%92%88%期第二個周94%94%83%80%期第三個周85%92%95%96%期計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)X；分別從上表每個周期的4個數(shù)據(jù)中隨機抽取1個數(shù)據(jù)，設隨機變量X表示取出的3個數(shù)據(jù)中“水站誠信度”超過91%的數(shù)據(jù)的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和期望；已知學生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動.根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.(本小題滿分14分)如圖1,在梯形ABCD中，AB//CD，ABC90，AB三角形A0D繞邊0D所在直線旋轉(zhuǎn)到AOD位置，使得A?B平面AOB的交線.1(I)(I)2CD2BC4，O是邊AB的中點.將2CD2BC4，O是邊AB的中點.將120，如圖2.設m為平面ADC與1判斷直線DC與直線m的位置關系并證明；若直線m上的點G滿足OGAD,求出AG的長;1求直線AO與平面ABD所成角的正弦值.11圖218．(本小題滿分13分)已知A(0,2)B(3,1是橢圓G:蘭竺iab0)上的兩點.a2b2求橢圓G的離心率；已知直線l過點B，且與橢圓G交于另一點C(不同于點A)，若以BC為直徑的圓經(jīng)過點A,求直線l的方程.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)lnxa1.x若曲線yf(x)存在斜率為1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；求f(x)的單調(diào)區(qū)間；設函數(shù)g(x)一，求證：當1a0時，g(x)在(1,)上存在極小值.lnx（本小題滿分13分）對于無窮數(shù)列｛a｝,｛b｝，若bmax｛a,a,,a｝min｛a,a,,a｝（k1,2,3,），則稱｛b｝是nnk12k12kn｛a｝的“收縮數(shù)列”?其中，max｛a,a,,a｝,min｛a,a,,a｝分別表示a,a,,a中的最大數(shù)和n最小數(shù).12k12k12k???????已知｛a｝為無窮數(shù)列，其前n項和為S，數(shù)列｛b｝是｛a｝的“收縮數(shù)列”.nnnn若a2n1,求｛b｝的前n項和；nn證明：｛b｝的“收縮數(shù)列”仍是｛b｝；n（III）若SS12nSn覽Z覽Db」1,2,3,),求所有滿足該條件的呻?海淀區(qū)wordwordwordword=91%=91%=91%=91%高三年級第一學期期末練習數(shù)學（理科）答案及評分標準2017.1一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1.B2.B3.C4.C5.A6.7.D8.C二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分，9.1i12.（1,0）；10.1511.163旦(x1)3y-3(x1)和y3吩，n14.①②③三、解答題（共6小題，共80分）15.本小題滿分13分）解：（I）由ABC面積公式及題設得SiacsinB2a<32解得a1,c2,16.解：由余弦定理及題設可得b2a2c22accosB1217，又b0,b(II)在ABC中,又B120,v'7.不寫b>0不扣分）由正弦定理.JI得：sinAsinAsinB所以A是銳角（或：因為a1c5萬14，所以cosA<1sii2A5°tSinB2,)L、訂亙14所以tanA羋寶cosA5、''7本小題滿分13分）（I）十二周“水站誠信度”的平均數(shù)為x=95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+9612100（II）隨機變量X的可能取值為0,1,2,3三個周期“水站誠信度”超過91%分別有3次,2次,3次1212P（X0）121244464wordwordwordwordP(X1)3211211231444444444464P(X2)3213213233044444444464P(X3)3231844464隨機變量X的分布列為X012317159P3232323217159EX0—1_232.32323232（III）本題為開放問題，答案不唯一，在此給出評價標準，并給出可能出現(xiàn)的答案情況，閱卷時按照標準酌情給分.給出明確結(jié)論，1分，結(jié)合已有數(shù)據(jù)，能夠運用以下三個標準中的任何一個陳述得出該結(jié)論的理由，2分.標準1:會用主題活動前后的百分比變化進行闡述標準2：會用三個周期的誠信度平均數(shù)變化進行闡述標準3：會用主題活動前后誠信度變化趨勢進行闡述可能出現(xiàn)的作答情況舉例，及對應評分標準如下：情況一：結(jié)論：兩次主題活動效果均好.（1分）理由：活動舉辦后，“水站誠信度”由88%—94%和80%—85%看出，后繼一周都有提升（2分）情況二：結(jié)論：兩次主題活動效果都不好.（1分）理由：三個周期的“水站誠信度”平均數(shù)分別為93.25%，87.75%，92%（平均數(shù)的計算近似即可），活動進行后，后繼計算周期的“水站誠信度”平均數(shù)和第一周期比較均有下降.（2分）情況三：結(jié)論：第一次主題活動效果好于第二次主題活動.（1分）理由：第一次主題活動舉辦的后繼一周“水站誠信度”提升百分點（94%-88%=6%）高于第二次主題活動舉辦的后繼一周“水站誠信度”提升百分點（85%-80%=5%）.（2分）情況四：結(jié)論：第二次主題活動效果好于第一次主題活動.（1分）理由：第一次活動后“水站誠信度”雖有上升，但兩周后又有下滑，第二次活動后，“水站誠信度”數(shù)據(jù)連續(xù)四周呈上升趨勢.（2分）（答出變化）情況五：結(jié)論：兩次主題活動累加效果好.（1分）理由：兩次主題活動“水站誠信度”均有提高，且第二次主題活動后數(shù)據(jù)提升狀態(tài)持續(xù)周期好.（2分）情況六：以“‘兩次主題活動無法比較'作答，只有給出如下理由才給3分：“12個數(shù)據(jù)的標準差較大，盡管平均數(shù)差別不大，但比較仍無意義”.

給出其他理由，則結(jié)論和理由均不得分(0分).說明：情況一和情況二用極差或者方差作為得出結(jié)論的理由，只給結(jié)論分1分，不給理由分2分.以下情況不得分.情況七：結(jié)論及理由“只涉及一次主題活動，理由中無法辯析是否為兩次活動后數(shù)據(jù)比較之結(jié)果”的.例：結(jié)論：第二次主題活動效果好.理由：第二次主題活動后誠信度有提高.其他答案情況，比照以上情況酌情給分，賦分原則是：遵循三個標準?能使用表中數(shù)據(jù)解釋所得結(jié)論.(本小題滿分14分)解：(I)直線DC//.證明：由題設可得CD//OB,CD平面AOB1所以CD//平面A1OB.A1DC,平面解：(I)直線DC//.證明：由題設可得CD//OB,CD平面AOB1所以CD//平面A1OB.A1DC,平面ADC1又因為CD平面所以CD//m.法1：(II)由已知AB2CD所以CD/OB,OB平面AOB1II平面AOB12BC4,0是邊AB的中點,AB//CD，所以四邊形CDOB是正方形,AB，因為ABC90，所以在圖1中DO所以結(jié)合題設可得，在圖2中有DOOA，1DOOB又因為0Ai0B0,所以DO平面AOB.1在平面AOB內(nèi)作OM垂直O(jiān)B于M,如圖，建立空間直角坐標系Oxyz,A④,1,0)B(0,2,0)D(0,0,2)i所以AD(*312).設G(j3,m,0),則由OG則DO則AD可得1A1DOG0，即(麗,12)(73,m,0)m0解得m3.所以AG4.1(III)設平面ABD的法向量n1(x,y,z)，則OMGwordwordwordword0,0,0,0,nAD0,3xy2z0,.1即令y1,則x+3z1,nAB0,3x3y0,1,所以n(、3,1,1)設直線AO與平面ABD所成角為Usin1cosA0,niAOnAO法2：(II)由已知AB2CD所以CD/OB,2BC4，設直線AO與平面ABD所成角為Usin1cosA0,niAOnAO法2：(II)由已知AB2CD所以CD/OB,2BC4，O是邊AB的中點，AB//CD，因為ABC90，所以四邊形CDOB是正方形，O所以在圖1中DOAB,所以結(jié)合題設可得，在圖2中有DOOA,DOOB,1又因為叫OBO,所以DO平面AOB.1又因為OG平面AOB，所以DOOG1若在直線m上的點G滿足OGAD,1所以OG平面AOD,1所以OGOA,1因為AOB120,OB//AG，所以OAG601。11。因為OA2,所以AG4.11又ODADD,注：答案中標灰部分，實際上在前面表達的符號中已經(jīng)顯現(xiàn)出該條件，故沒寫不扣分)(Ill)由(II)可知OD、OA、OG兩兩垂直,1如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，則O(0,0,0)A(2,0,0)(1V3,0)D(0,0,2)1所以AD(2,0,2)AB(3,73,0,)11設平面井］BD的法向量n(x,y,z)，則nAD1

nAB0,即2x2z0,3x<3y0,令乂y<3,z1,所以n(1,3,1)設直線A”與平面ApD所成角為，則wordwordwordword尸sincosAO,nAO—1—n<51AO1忖―?5—>-(本小題滿分13分)解：(I)由已知b2,TOC\o"1-5"\h\z91由點B(3,1在橢圓G上可得1,a24解得a212,a2\：3.所以C2a2b2&c2囂2，所以橢圓G的離心率是e-6.a3(II)法1：因為以BC為直徑的圓經(jīng)過點A,所以ABAC,由斜率公式和A(0,2)B(3,1可得k1,AB3所以k3，Ac設直線AC的方程為y3x2.y3x2,由x2y2得7x29x0,1249由題設條件可得x0,x9，AC7913所以c(-9,-173),2所以直線BC的方程為y3x1.3法2:因為以BC為直徑的圓經(jīng)過點A,所以ABAC,TOC\o"1-5"\h\z由斜率公式和A(0,2)B(3,1可得k1,AB3所以k3，Ac設C(x,y),則k■yc-3,即y3x2①CCAcxCCC由點C在橢圓上可得尋甘1②124

將①代入②得7x29x0,CC9因為點C不同于點A,所以xc7,913所以c（-9，-13），772所以直線BC的方程為y3x1.3法3：當直線l過點B且斜率不存在時，可得點C（3,1），不滿足條件.設直線BC的方程為y1k（x3）,點C（x,y）CCykx13k,由X2y2可得?21)X26k(13k)x3(13k)2120,124顯然0,此方程兩個根是點B和點C的橫坐標,所以3xC3(13k)212(13k)24，即x,3k21C3k21所以yC3k26k13k21，因為以BC為直徑的圓經(jīng)過點A,所以ABAC,即ABAC0.（此處用kk1亦可）ABACABAC36k212k8~3k21-(3〔)(9k26k39k26k1、

,(3kABAC36k212k8~3k21-當k23時’即直線ab，與已知點C不同于點A矛盾,所以kk1BC32所以直線BC的方程為y-x1.3（本小題滿分14分）解：(1)由f(x)lnxa1得xf'x)1旦卩(x0).xx2xx2x2由已知曲線yf(x)存在斜率為1的切線,所以f'(x)1存在大于零的實數(shù)根，即x2xa0存在大于零的實數(shù)根，因為yx2xa在x0時單調(diào)遞增，所以實數(shù)a的取值范圍(-,0).(II)由f‘x)xa,x0,aR可得x2當a0時，f'x)0,所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,);當a0時,若x(a,),f'(x)0,若x(0,a),f'(x)0所以此時函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(a,)，減區(qū)間為(0,a).f(x)(lnx)2lnxf(x)(lnx)2(iii)由g(x)弓及題設得g，x)門xlnx(lnx)2)上遞增,由1a0可得0a1,由(II)可知函數(shù)f(x)在(a,所以f(1)a10)上遞增,取xe,顯然e1,f(e)lnea1a0,ee所以存在x0(1，e滿足f(x0)0,即存在x0(1,e滿足小。)o,所以g(x),g，x)在區(qū)間(1,)上的情況如下:x(1,x)x0x(1,x)x00g，(x)0g(x)極°小(x,)0所以當1a0時，g(x)在(1,)上存在極小值.1即可)(本題所取的特殊值不唯一’注意到寸0(x1)),因此只需要1nx1即可)(本小題滿分13分)解：(1)由a2n1可得{a}為遞增數(shù)列，nn所以bmax{a,a,,a}min{a,a,,a}aa2n132n2,n12n12nn1

故的前n項和為2n2nn(n1).-n2(II)因為max{a,a,,a}max{a,a,,a}(n1,2,3,),12n12n1min{a,a,,a}12n1,2,3,),min{a,a,,a}12n1,2,3,),12n1所以max{a,a,12,a}min{a,a,,a112max{a,a,,a}min{a,a,12,a}所以max{a,a,12,a}min{a,a,,a112max{a,a,,a}min{a,a,12,a}2n所以bnb(n1,2,3,In又因為b1aa0,11,b}bbb,

nn1n,b}bbb,

nn1n12n12所以｛b｝的“收縮數(shù)列”仍是｛b｝.nn猜想：滿足SS12a1猜想：滿足SS12a1,由(*)可得aa.32n(n1)b(n1,2,3,2nn(n1)a1)的數(shù)列｛a｝是:na,n1,

a,n1,

a1a

na,n1,2

2a.1經(jīng)驗證,左式=S1S

2n(n1)n(n右式二a212[1經(jīng)驗證,左式=S1S

2n(n1)n(n右式二a212[1na1n(n1)a

21(nn(n…1)/(a

22下面證明其它數(shù)列都不滿足(III)的題設條件.1)]a2a)1na1na1n(n1)a，22n(n1)2(III)由SSSn(n1)an(n1)b(n1,2,3,)可得12n212n當n???1時，a1a；1???當n2時,2aa3ab,即baa