2023學(xué)年度 二次根式的加減講義

二次根式的加減（一）教學(xué)目標(biāo)理解和掌握二次根式加減的方法．先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解．再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)．教學(xué)重點(diǎn)二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式．教學(xué)難點(diǎn)會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式【課堂引入】學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教師點(diǎn)評(píng)：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并．同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減．【探索新知】學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式．（1）2+3（2）2-3+5（3）+2+3（4）3-2+老師點(diǎn)評(píng)：（1）如果我們把當(dāng)成x，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？2+3=（2+3）=5（2）把當(dāng)成y；2-3+5=（2-3+5）=4=8（3）把當(dāng)成z；+2+=2+2+3=（1+2+3）=6（4）看為x，看為y．3-2+=（3-2）+=+因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的．（板書）3+=3+2=53+=3+3=6所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．【例題講解】例1．計(jì)算（1）+（2）+分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并．解：（1）+=2+3=（2+3）=5（2）+=4+8=（4+8）=12例2．計(jì)算（1）3-9+3（2）（+）+（-）解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15（2）（+）+（-）=++-=4+2+2-=6+【應(yīng)用拓展】例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值．解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6當(dāng)x=，y=3時(shí)，原式=×+6=+3【歸納小結(jié)】本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并．【課后練習(xí)】一、選擇題1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中錯(cuò)誤的有（）．A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)二、填空題1．在、、、、、3、-2中，與是同類二次根式的有________．2．計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是________．三、綜合提高題1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（結(jié)果精確到0.01）二次根式的加減（二）運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題．通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題．教學(xué)重點(diǎn)利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題．【課堂引入】請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題:1．計(jì)算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy2．計(jì)算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn)．它主要有（1）單項(xiàng)式×單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式×多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運(yùn)用．【探索新知】如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立．整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式．例1．計(jì)算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-例2．計(jì)算（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立．解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）2=10-7=3【應(yīng)用拓展】例3．已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b≠0，化簡(jiǎn)+，并求值．分析：由于（+）（-）=1，因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可．解：原式=+=+=（x+1）+x-2+x+2=4x+2∵=2-