數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單13個(gè)例子課件

數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單實(shí)例數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單實(shí)例通常，1公斤面，1公斤餡，包100個(gè)湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問(wèn)應(yīng)多包幾個(gè)（小一些），還是少包幾個(gè)（大一些）？問(wèn)題圓面積為S的一個(gè)皮，包成體積為V的湯圓。若分成n個(gè)皮，每個(gè)圓面積為s，包成體積為v。V和nv哪個(gè)大?Ssss…Vvvv(共n個(gè))1、從包湯圓（餃子）定性分析V比nv大多少?定量分析通常，1公斤面，1公斤餡，包100個(gè)湯圓（餃子）今天，1假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應(yīng)用若100個(gè)湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個(gè)湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮的半徑；r~小皮的半徑V是nv是倍1.4返回假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應(yīng)問(wèn)題殺羊方案現(xiàn)有26只羊，要求7天殺完且每天必須殺奇數(shù)只，問(wèn)各天分別殺幾只？分析：1).這是一個(gè)有限問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的一類方法是枚舉，你可以試試。2).依題意，設(shè)第天殺只，則所提問(wèn)題變?yōu)樵谧匀粩?shù)集上求解方程于是，我們有了該問(wèn)題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)——數(shù)學(xué)模型求解：建模：用反證法容易證明本問(wèn)題的解不存在。2、殺羊方案返回問(wèn)題殺羊方案分析：1).這是一個(gè)有限問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的

某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

3、相遇問(wèn)題某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然似乎條某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。

某人早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿，次日早8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店，則這人在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)途中的同—地點(diǎn)，為什么?

解法一：將兩天看作一天，一人兩天的運(yùn)動(dòng)看作一天兩人同時(shí)分別從山下和山頂沿同一路徑相反運(yùn)功，因?yàn)閮扇送瑫r(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)目的地，又沿向一路徑反向運(yùn)動(dòng)，所以必在中間某一時(shí)刻t兩人相遇，這說(shuō)明某人在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路途中的同一地點(diǎn)。4、爬山問(wèn)題某人早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂

解法二：以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)穆烦蘹為縱坐標(biāo)，從山下到山頂?shù)目偮烦虨閐;解法二：以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：令

思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，兄妹倆都想吃，妹妹指著蛋糕上的一點(diǎn)P，讓哥哥過(guò)點(diǎn)P切開(kāi)一人一半，能辦到嗎?返回嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：令思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，

在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長(zhǎng)短，因此三根電線的長(zhǎng)度均未知?，F(xiàn)在工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻。如何測(cè)量出這三根電線的電阻?5、測(cè)量電阻在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單13個(gè)例子(同名88)課件

由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電線的電阻。

說(shuō)明：此問(wèn)題的難點(diǎn)也是可貴之處是用方程“觀點(diǎn)”、”立場(chǎng)”去分析，用活的數(shù)學(xué)思想使實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)到新創(chuàng)設(shè)的情景中去。返回由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電線37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？一般思維：逆向思維：每場(chǎng)比賽淘汰一名失敗球隊(duì)，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊(duì)，因此比賽進(jìn)行了36場(chǎng)。6、比賽場(chǎng)次返回37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍?/p>

在氣象臺(tái)A的正西方向300km處有一臺(tái)風(fēng)中心，它以40km/h的速度向東北方向移動(dòng)；根據(jù)臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度，在距其中心250km以內(nèi)的地方將受到影響，問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間后氣象臺(tái)所在地區(qū)將遭受臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)?此問(wèn)題是某氣象臺(tái)所遇到的實(shí)際問(wèn)題，為了搞好氣象預(yù)報(bào)，現(xiàn)建立解析幾何模型加以探討。

以氣象臺(tái)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平而直角坐標(biāo)系，設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為B，如圖

7、氣象預(yù)報(bào)問(wèn)題在氣象臺(tái)A的正西方向300km處有一臺(tái)風(fēng)中心，它以4

根據(jù)題意，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-300，0)，單位為km．臺(tái)風(fēng)中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BC，這里的∠CBA＝450，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中處于以A為圓心、半徑為250km的圓內(nèi)(即MN上)時(shí)，氣象臺(tái)A所在地區(qū)將遭受臺(tái)風(fēng)的影響。因?yàn)閳A的方程為：直線BC的方程為：其中參數(shù)t為時(shí)間(單位為h)。當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心處于圓內(nèi)時(shí)，有：解得

所以，大約在2h以后氣象臺(tái)A所在地區(qū)將會(huì)遭受臺(tái)風(fēng)的影響，持續(xù)時(shí)間大約為6．6h。根據(jù)題意，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-300，0)，單位為km．臺(tái)風(fēng)中交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。

設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車(chē)。停車(chē)是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車(chē)輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說(shuō)，在離街口距離為L(zhǎng)處存在著一條停車(chē)線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在地上），見(jiàn)圖。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車(chē)輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。

DL8、黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈

馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2。其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程，L2為剎車(chē)制動(dòng)后車(chē)輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車(chē)距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。

第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車(chē)。

第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車(chē)順利穿過(guò)馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。DL返回馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的

將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

9、磚塊延伸返回將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到

飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設(shè)計(jì)一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個(gè)參數(shù)，至少要用儀器檢測(cè)兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。10、尋找黑匣子飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射出某種射線。為了方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的距離的平方成反比，即

黑匣子所在方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定距離。設(shè)在同一方向不同位置檢測(cè)了兩次，測(cè)得的照度分別為I1和I2，兩測(cè)量點(diǎn)間的距離為a，則有方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源黑匣子方法二在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子位于一直線上，這一點(diǎn)比較容易做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對(duì)照度測(cè)量的精度要求較高，很少的誤差會(huì)造成結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在A點(diǎn)測(cè)得黑匣子方向后，到B點(diǎn)再測(cè)方向，AB距離為a，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，當(dāng)黑匣子位于較遠(yuǎn)處而α又較小時(shí)，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而對(duì)結(jié)果的精確性影響也會(huì)很大，為了使結(jié)果較好，應(yīng)使a也相對(duì)較大。BACaαβ返回方法二在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子

11、艦艇的會(huì)合

某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。11、艦艇的會(huì)合某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘令：則上式可簡(jiǎn)記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護(hù)衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則匯合點(diǎn)p必位于此圓上。

（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用

返回令：則上式可簡(jiǎn)記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,12、價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)

問(wèn)題：兩個(gè)加油站位于同一條公路旁，為在公路上行駛的汽車(chē)提供同樣的汽油，彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈．一天，甲加油站推出“降價(jià)銷售”吸引顧客．結(jié)果造成乙加油站的顧客被拉走，影響了乙站的贏利．利潤(rùn)是受銷價(jià)和銷售量的影響和控制．他們?yōu)榱送旎負(fù)p失采取對(duì)策，決定也降低銷售價(jià)以爭(zhēng)取顧客．乙加油站如何決定汽油的價(jià)格，既可以同甲站競(jìng)爭(zhēng)，又可以獲取盡可能高的利潤(rùn)．分析：在這場(chǎng)“價(jià)格戰(zhàn)”中，我們將站在乙加油站的立場(chǎng)上為其制定價(jià)格對(duì)策．因此需要組建一個(gè)模型來(lái)描述甲站汽油價(jià)格下調(diào)后乙加油站銷售量的變化情況．為描述價(jià)格和汽油銷售量之間的關(guān)系，我們引入如下一些指標(biāo)：12、價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題：兩個(gè)加油站位于同一條公路旁，為

影響乙加油站汽油銷售量的因素

(1)甲加油站汽油降價(jià)的幅度；

(2)乙加油站汽油降價(jià)的幅度；

(3)兩站之間汽油銷售價(jià)格之差．影響乙加油站汽油銷售量的因素

在這場(chǎng)“價(jià)格戰(zhàn)”中，我們假設(shè)汽油的正常銷售價(jià)格保持定常不變，并且假定以上各因素對(duì)乙加油站汽油銷售量的影響是線性的．于是乙加油站的汽油銷售量可以由下式給出在這場(chǎng)“價(jià)格戰(zhàn)”中，我們假設(shè)汽油的正常銷售價(jià)格保持定常不變返回返回13、遺傳模型

1．問(wèn)題分析

所謂常染色體遺傳，是指后代從每個(gè)親體的基因中各繼承一個(gè)基因從而形成自己的基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和B控制的，那么就有三種可能的基因型：AA，AB和BB.例如，金魚(yú)草是由兩個(gè)遺傳基因決定它開(kāi)花的顏色，AA型開(kāi)紅花，AB型的開(kāi)粉花，而B(niǎo)B型的開(kāi)白花.這里的AA型和AB型表示了同一外部特征(紅色)，則人們認(rèn)為基因A支配基因B，也說(shuō)成基因B對(duì)于A是隱性的.13、遺傳模型1．問(wèn)題分析所謂常染色體遺傳，是指后當(dāng)一個(gè)親體的基因型為AB，另一個(gè)親體的基因型為BB，那么后代便可從BB型中得到基因B，從AB型中得到A或B，且是等可能性地得到.

問(wèn)題：某植物園中一種植物的基因型為AA，AB和BB.現(xiàn)計(jì)劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。試預(yù)測(cè)，若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況.當(dāng)一個(gè)親體的基因型為AB，另一個(gè)親體的基因型為BB，那么

2．模型假設(shè)（1）按問(wèn)題分析，后代從上一代親體中繼承基因A或B是等可能的,即有雙親基因型的所有可能結(jié)合使其后代形成每種基因型的概率分布情況如表下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/212．模型假設(shè)下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-

3．模型建立

注意到原問(wèn)題是采用AA型與每種基因型相結(jié)合，因此這里只考慮遺傳分布表的前三列.

下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21首先考慮第n代中的AA型

即第n-1代的AA與AA型結(jié)合全部進(jìn)入第n代的AA型，第n-1代的AB型與AA型結(jié)合只有一半進(jìn)入第n代AA型，第n-1代的BB型與AA型結(jié)合沒(méi)有一個(gè)成為AA型而進(jìn)入第n代AA型3．模型建立注意到原問(wèn)題是采用AA型與每種基因型相結(jié)合下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21按上表所給數(shù)據(jù)，第n代AA型所占百分率為故有同理，第n代的AB型和BB型所占有比率分別為將三式聯(lián)立，并用矩陣形式表示，得到下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AA

其中進(jìn)行遞推，便可獲得第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型其中進(jìn)行遞推，便可獲得第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型4．模型求解4．模型求解分別為故有即得分別為故有即得于是或?qū)憺橛谑腔驅(qū)憺?．模型分析（1）完全類似地，可以選用AB型和BB型植物與每一個(gè)其它基因型植物相結(jié)合從而給出類似的結(jié)果.特別是將具有相同基因植物相結(jié)合，并利用前表的第1、4、6列數(shù)據(jù)使用類似模型及解法而得到以下結(jié)果：

這就是說(shuō)，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情形下，后代僅具有基因AA與BB，而AB消失了.

（2）本例巧妙地利用了矩陣來(lái)表示概率分布，從而充分利用特征值與特征向量，通過(guò)對(duì)角化方法解決了矩陣n次冪的計(jì)算問(wèn)題，可算得上高等代數(shù)方法應(yīng)用于解決實(shí)際的一個(gè)范例.

返回5．模型分析這就是說(shuō)，如果用基因型相同的植物20212021數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單實(shí)例數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單實(shí)例通常，1公斤面，1公斤餡，包100個(gè)湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問(wèn)應(yīng)多包幾個(gè)（小一些），還是少包幾個(gè)（大一些）？問(wèn)題圓面積為S的一個(gè)皮，包成體積為V的湯圓。若分成n個(gè)皮，每個(gè)圓面積為s，包成體積為v。V和nv哪個(gè)大?Ssss…Vvvv(共n個(gè))1、從包湯圓（餃子）定性分析V比nv大多少?定量分析通常，1公斤面，1公斤餡，包100個(gè)湯圓（餃子）今天，1假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應(yīng)用若100個(gè)湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個(gè)湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮的半徑；r~小皮的半徑V是nv是倍1.4返回假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應(yīng)問(wèn)題殺羊方案現(xiàn)有26只羊，要求7天殺完且每天必須殺奇數(shù)只，問(wèn)各天分別殺幾只？分析：1).這是一個(gè)有限問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的一類方法是枚舉，你可以試試。2).依題意，設(shè)第天殺只，則所提問(wèn)題變?yōu)樵谧匀粩?shù)集上求解方程于是，我們有了該問(wèn)題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)——數(shù)學(xué)模型求解：建模：用反證法容易證明本問(wèn)題的解不存在。2、殺羊方案返回問(wèn)題殺羊方案分析：1).這是一個(gè)有限問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的

某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

3、相遇問(wèn)題某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然似乎條某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。

某人早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿，次日早8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店，則這人在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)途中的同—地點(diǎn)，為什么?

解法一：將兩天看作一天，一人兩天的運(yùn)動(dòng)看作一天兩人同時(shí)分別從山下和山頂沿同一路徑相反運(yùn)功，因?yàn)閮扇送瑫r(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)目的地，又沿向一路徑反向運(yùn)動(dòng)，所以必在中間某一時(shí)刻t兩人相遇，這說(shuō)明某人在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路途中的同一地點(diǎn)。4、爬山問(wèn)題某人早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂

解法二：以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)穆烦蘹為縱坐標(biāo)，從山下到山頂?shù)目偮烦虨閐;解法二：以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：令

思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，兄妹倆都想吃，妹妹指著蛋糕上的一點(diǎn)P，讓哥哥過(guò)點(diǎn)P切開(kāi)一人一半，能辦到嗎?返回嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：令思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，

在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長(zhǎng)短，因此三根電線的長(zhǎng)度均未知?，F(xiàn)在工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻。如何測(cè)量出這三根電線的電阻?5、測(cè)量電阻在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單13個(gè)例子(同名88)課件

由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電線的電阻。

說(shuō)明：此問(wèn)題的難點(diǎn)也是可貴之處是用方程“觀點(diǎn)”、”立場(chǎng)”去分析，用活的數(shù)學(xué)思想使實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)到新創(chuàng)設(shè)的情景中去。返回由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電線37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？一般思維：逆向思維：每場(chǎng)比賽淘汰一名失敗球隊(duì)，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊(duì)，因此比賽進(jìn)行了36場(chǎng)。6、比賽場(chǎng)次返回37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍?/p>

在氣象臺(tái)A的正西方向300km處有一臺(tái)風(fēng)中心，它以40km/h的速度向東北方向移動(dòng)；根據(jù)臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度，在距其中心250km以內(nèi)的地方將受到影響，問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間后氣象臺(tái)所在地區(qū)將遭受臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)?此問(wèn)題是某氣象臺(tái)所遇到的實(shí)際問(wèn)題，為了搞好氣象預(yù)報(bào)，現(xiàn)建立解析幾何模型加以探討。

以氣象臺(tái)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平而直角坐標(biāo)系，設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為B，如圖

7、氣象預(yù)報(bào)問(wèn)題在氣象臺(tái)A的正西方向300km處有一臺(tái)風(fēng)中心，它以4

根據(jù)題意，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-300，0)，單位為km．臺(tái)風(fēng)中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BC，這里的∠CBA＝450，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中處于以A為圓心、半徑為250km的圓內(nèi)(即MN上)時(shí)，氣象臺(tái)A所在地區(qū)將遭受臺(tái)風(fēng)的影響。因?yàn)閳A的方程為：直線BC的方程為：其中參數(shù)t為時(shí)間(單位為h)。當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心處于圓內(nèi)時(shí)，有：解得

所以，大約在2h以后氣象臺(tái)A所在地區(qū)將會(huì)遭受臺(tái)風(fēng)的影響，持續(xù)時(shí)間大約為6．6h。根據(jù)題意，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-300，0)，單位為km．臺(tái)風(fēng)中交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。

設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車(chē)。停車(chē)是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車(chē)輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說(shuō)，在離街口距離為L(zhǎng)處存在著一條停車(chē)線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在地上），見(jiàn)圖。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車(chē)輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。

DL8、黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈

馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2。其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程，L2為剎車(chē)制動(dòng)后車(chē)輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車(chē)距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。

第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車(chē)。

第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車(chē)順利穿過(guò)馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。DL返回馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的

將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

9、磚塊延伸返回將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到

飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設(shè)計(jì)一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個(gè)參數(shù)，至少要用儀器檢測(cè)兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。10、尋找黑匣子飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射出某種射線。為了方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的距離的平方成反比，即

黑匣子所在方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定距離。設(shè)在同一方向不同位置檢測(cè)了兩次，測(cè)得的照度分別為I1和I2，兩測(cè)量點(diǎn)間的距離為a，則有方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源黑匣子方法二在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子位于一直線上，這一點(diǎn)比較容易做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對(duì)照度測(cè)量的精度要求較高，很少的誤差會(huì)造成結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在A點(diǎn)測(cè)得黑匣子方向后，到B點(diǎn)再測(cè)方向，AB距離為a，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，當(dāng)黑匣子位于較遠(yuǎn)處而α又較小時(shí)，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而對(duì)結(jié)果的精確性影響也會(huì)很大，為了使結(jié)果較好，應(yīng)使a也相對(duì)較大。BACaαβ返回方法二在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子

11、艦艇的會(huì)合

某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。11、艦艇的會(huì)合某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘令：則上式可簡(jiǎn)記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護(hù)衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則匯合點(diǎn)p必位于此圓上。

（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用

返回令：則上式可簡(jiǎn)記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,12、價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)

問(wèn)題：兩個(gè)加油站位于同一條公路旁，為在公路上行駛的汽車(chē)提供同樣的汽油，彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈．一天，甲加油站推出“降價(jià)銷售”吸引顧客．結(jié)果造成乙加油站的顧客被拉走，影響了乙站的贏利．利潤(rùn)是受銷價(jià)和銷售量的影響和控制．他們?yōu)榱送旎負(fù)p失采取對(duì)策，決定也降低銷售價(jià)以爭(zhēng)取顧客．乙加油站如何決定汽油的價(jià)格，既可以同甲站競(jìng)爭(zhēng)，又可以獲取盡可能高的利潤(rùn)．分析：在這場(chǎng)“價(jià)格戰(zhàn)”中，我們將站在乙加油站的立場(chǎng)上為其制定價(jià)格對(duì)策．因此需要組建一個(gè)模型來(lái)描述甲站汽油價(jià)格下調(diào)后乙加油站銷售量的變化情況．為描述價(jià)格和汽油銷售量之間的關(guān)系，我們引入如下一些指標(biāo)：12、價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題：兩個(gè)加油站位于同一條公路旁，為

影響乙加油站汽油銷售量的因素

(1)甲加油站汽油降價(jià)的幅度；

(2)乙加油站汽油降價(jià)的幅度；

(3)兩站之間汽油銷售價(jià)格之差．影響乙加油站汽油銷售量的因素

在這場(chǎng)“價(jià)格戰(zhàn)”中，我們假設(shè)汽油的正常銷售價(jià)格保持定常不變，并且假定以上各因素對(duì)乙加油站汽油銷售量的影響是線性的．于是乙加油站的汽油銷售量可以由下式給出在這場(chǎng)“價(jià)格戰(zhàn)”中，我們假設(shè)汽油的正常銷售價(jià)格保持定常不變返回返回13、遺傳模型

1．問(wèn)題分析

所謂常染色體遺傳，是指后代從每個(gè)親體的基因中各繼承一個(gè)基因從而形成自己的基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和B控制的，那么就有三種可能的基因型：AA，AB和BB.例如，金魚(yú)草是由兩個(gè)遺傳基因決定它開(kāi)花的顏色，AA型開(kāi)紅花，AB型的開(kāi)粉花，而B(niǎo)B型的開(kāi)白花.這里的AA型和AB型表示了同一外部特征(紅色)，則人們認(rèn)為基因A支配基因B，也說(shuō)成基因B對(duì)于A是隱性的.13、遺傳模型1．問(wèn)題分析所謂常染色體遺傳，是指后當(dāng)一個(gè)親體的基因型為AB，另一個(gè)親體的基因型為BB，那么后代便可從BB型中得到基因B，從AB型中得到A或B，且是等可能性地得到.

問(wèn)題：某