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V:1.0精細(xì)整理,僅供參考《線性代數(shù)》常見(jiàn)證明題型及常用思路日期:20xx年X月《線性代數(shù)》常見(jiàn)證明題型及常用思路二、證明題題型1.關(guān)于線性相關(guān)性的證明中常用的結(jié)論(1)設(shè),然后根據(jù)題設(shè)條件,通過(guò)解方程組或其他手段:如果能證明必全為零,則線性無(wú)關(guān);如果能得到不全為零的使得等式成立,則線性相關(guān)。(2)線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可用其他向量線性表示。(3)如果,則可通過(guò)矩陣的秩等方面的結(jié)論證明。(4)如果我們有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)組,且是同一個(gè)線性空間的兩個(gè)子空間,要證線性無(wú)關(guān)。這種情況下,有些時(shí)候我們?cè)O(shè)。根據(jù)題設(shè)條件往往能得到,進(jìn)而由的線性無(wú)關(guān)得到系數(shù)全為零。題型2.關(guān)于歐氏空間常用結(jié)論(1)內(nèi)積的定義(2)單位正交基的定義(3)設(shè)是單位正交基,。則5題型3.關(guān)于矩陣的秩的證明中常用的結(jié)論(1)初等變換不改變矩陣的秩(2)乘可逆矩陣不改變矩陣的秩(3)階梯形的秩(4)幾個(gè)公式(最好知道如何證明):常用來(lái)證明關(guān)于秩的不等式(5)利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩(常用來(lái)證明關(guān)于秩的不等式)例:證明:。證:上面第二個(gè)等號(hào)是用左乘第一個(gè)分塊矩陣的第一行,然后加到第二行所得;第三個(gè)等號(hào)是用又乘第二個(gè)分塊矩陣的第一列,然后加到第二列所得。(6)利用齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(),此方法也可以用來(lái)證明關(guān)于向量組的秩方面的的問(wèn)題。(7)利用向量組的秩與維數(shù)主要是兩個(gè)結(jié)論:(i)矩陣的秩=列秩=行秩(ii)的定義域的維數(shù)(8)利用行列式秩(9)利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形題型4.關(guān)于可逆矩陣常用結(jié)論(1)結(jié)論:可逆有唯一解。(2)結(jié)論:可逆可逆。(3)結(jié)論:可逆當(dāng)且僅當(dāng)可以寫(xiě)為初等矩陣的乘積。(4)結(jié)論:可逆當(dāng)且僅當(dāng)0不是它的特征值。題型5.關(guān)于矩陣對(duì)角化的常用結(jié)論(1)結(jié)論:相似于。(2)結(jié)論:任一個(gè)復(fù)數(shù)域上的方陣都相似于一個(gè)若當(dāng)形矩陣。(3)特征值與特征向量的定義(4)結(jié)論:是的特征值。(5)結(jié)論:屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。(6)結(jié)論:特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)就是它的行列式,它的第n-1次項(xiàng)的系數(shù)就是對(duì)角線上元素之和。(7)結(jié)論:。(8)結(jié)論:課本P242定理7.8。(9)結(jié)論:課本P242推論。(10)結(jié)論:課本P243定理7.10。(11)結(jié)論:實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以通過(guò)正交矩陣對(duì)角化。題型6.關(guān)于二次型的常用結(jié)論:(1)定義:二次型的矩陣。(2)定義:相合關(guān)系。(3)實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形、相合標(biāo)準(zhǔn)形與相合規(guī)范形的區(qū)別。(4)定義:課本P263定義7.12與P269定義7.12(5)實(shí)對(duì)稱矩陣的正、負(fù)慣性指數(shù)與特征值的關(guān)系。(6)結(jié)論:課本P
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