《線性代數(shù)》常見證明題型及常用思路

V:1.0精細(xì)整理，僅供參考《線性代數(shù)》常見證明題型及常用思路日期：20xx年X月《線性代數(shù)》常見證明題型及常用思路二、證明題題型1．關(guān)于線性相關(guān)性的證明中常用的結(jié)論（1）設(shè)，然后根據(jù)題設(shè)條件，通過解方程組或其他手段：如果能證明必全為零，則線性無(wú)關(guān)；如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關(guān)。（2）線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可用其他向量線性表示。（3）如果，則可通過矩陣的秩等方面的結(jié)論證明。（4）如果我們有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)組，且是同一個(gè)線性空間的兩個(gè)子空間，要證線性無(wú)關(guān)。這種情況下，有些時(shí)候我們?cè)O(shè)。根據(jù)題設(shè)條件往往能得到，進(jìn)而由的線性無(wú)關(guān)得到系數(shù)全為零。題型2.關(guān)于歐氏空間常用結(jié)論（1）內(nèi)積的定義（2）單位正交基的定義（3）設(shè)是單位正交基，。則5題型3.關(guān)于矩陣的秩的證明中常用的結(jié)論（1）初等變換不改變矩陣的秩（2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩（3）階梯形的秩（4）幾個(gè)公式（最好知道如何證明）：常用來證明關(guān)于秩的不等式（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來證明關(guān)于秩的不等式）例：證明：。證：上面第二個(gè)等號(hào)是用左乘第一個(gè)分塊矩陣的第一行，然后加到第二行所得；第三個(gè)等號(hào)是用又乘第二個(gè)分塊矩陣的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（），此方法也可以用來證明關(guān)于向量組的秩方面的的問題。（7）利用向量組的秩與維數(shù)主要是兩個(gè)結(jié)論：（i）矩陣的秩=列秩=行秩（ii）的定義域的維數(shù)（8）利用行列式秩（9）利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形題型4.關(guān)于可逆矩陣常用結(jié)論（1）結(jié)論：可逆有唯一解。（2）結(jié)論：可逆可逆。（3）結(jié)論：可逆當(dāng)且僅當(dāng)可以寫為初等矩陣的乘積。（4）結(jié)論：可逆當(dāng)且僅當(dāng)0不是它的特征值。題型5.關(guān)于矩陣對(duì)角化的常用結(jié)論（1）結(jié)論：相似于。（2）結(jié)論：任一個(gè)復(fù)數(shù)域上的方陣都相似于一個(gè)若當(dāng)形矩陣。（3）特征值與特征向量的定義（4）結(jié)論：是的特征值。（5）結(jié)論：屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。（6）結(jié)論：特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)就是它的行列式，它的第n-1次項(xiàng)的系數(shù)就是對(duì)角線上元素之和。（7）結(jié)論：。（8）結(jié)論：課本P242定理7.8。（9）結(jié)論：課本P242推論。（10）結(jié)論：課本P243定理7.10。（11）結(jié)論：實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以通過正交矩陣對(duì)角化。題型6.關(guān)于二次型的常用結(jié)論：（1）定義：二次型的矩陣。（2）定義：相合關(guān)系。（3）實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形、相合標(biāo)準(zhǔn)形與相合規(guī)范形的區(qū)別。（4）定義：課本P263定義7.12與P269定義7.12（5）實(shí)對(duì)稱矩陣的正、負(fù)慣性指數(shù)與特征值的關(guān)系。（6）結(jié)論：課本P